涉及等分圆周的两个不等式

近期,在文[1]、[2]中给出了等分圆周的一个性质,即 引理 设A_1,A_2,…A_(2n 1)依次为⊙O上的(2n 1)等分点(n∈N),P是劣弧上的任意一点,则PA_1 PA_3 … PA_(2n 1)=PA_2 PA_4 … PA_(2n)。 借助上述恒等式,本文得到了等分圆周的两个不等式。     

一道数学竞赛题的推广

1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。     

解析法证康托尔定理及其推广

本文拟用解析法将康托尔(M.B.Cantor 1829～1920年,德国数学家、数学史专家)定理及其推广介绍如下: 1.引理求一点P(x,y),使到已知多边形A_1A_2…A_n的各顶点A_i(x_i,y_i)(i=1,2,…,n)的距离的平方之和为最小。解:PA_1~2 PA_2~2 … PA_Q~2=〔(x-x_1)~2 (x-x_2)~2 … (x-x_n)~2〕 〔(y-y_1)~2 (y-y_2)~2 … (y-y_n)~2〕=〔nx~2-2(x_1 x_2 … x_n)x x_1~2 x_2~2 … x_n~2〕 〔ny~2-2(y_1 y_2 … y_n)y y_1~2 y_2~2 … y_n~2〕,     

高中数学第二册(上、下)复习检测题

一、选择题1.直线Zx一y一4二O烧着它与x轴的交点逆时针方向旋转平,所得直线的方程是() 斗 (A)x一y一2二O (B)x一3少」一2=0 (C)3x y一6=O (D)3x一J 6=O 2.在直线y二x上求一点P,使它到两点A(l,2),B(2,4)的距离之和最小,则点P坐标是() ,31、、A)又丁,了)(C)(l,2)(B)(l,l)(D)(2,2)     

数学竞赛单元训练题(高中) 直线与圆

一、选择题1 .已知P1(x1,y1)、P2 (x2 ,y2 )分别是直线l上和l外的点 .若直线l的方程是 f(x ,y) =0 ,则方程f(x ,y) -f(x1,y1) -f(x2 ,y2 ) =0表示 (　　 ) .A .与l重合的直线B .过P1且与l垂直的直线C .过P2 且与l平行的直线D .不过P2 但与l平行的直线2 .已知三点A(-2 ,1 )、B(-3 ,-2 )、C(-1 ,-3 )和动直线l:y =kx ,当点A、B、C到直线l的距离的平方和最小时 ,下列结论中 ,正确的是 (　　 ) .A .点A在l上　　B .点B在l上C .点C在l上　　D .点A、B、C均不在l上3 .与圆 (x -a) 2 (y -b) 2 =4(a2 b2 )和圆 (x a) 2 (y b) 2 =4(a2 …     

1987年全国初中数学联赛试题

第一试 一、选择题(满分30分) 本题共有6个小题.每一小题都给出了以互,B,c,D为代号的四个答案,其中只有一个答案是正确的.请将正确的答案用代号填在各小题的圆括号内.答对的每一小题得5分,不答者得1分,答错者得。分. 1.已知实数a,b,c满足a+b+e=0,·““=8,那么含十分+含的值 (A)是正数;(B)是零;(C)是负数; (D)正、负不能确定. 2.在一条直线上已知四个不同的点依次是A,B,C,D.那么到A,B,C,D的距离之和最小的点 (A)可以是直线AD外的某一点; (B)只是B点或C点; (C)只是线段AD的中点; (D)有无穷多个。 3.如图,AB是半圆的直径,O是圆心,…     

多边形Menelaus定理的若干应用

对于平面几何中著名的Menelaus定理,文[1]曾将它推广到多边形,得到 定理 设n边形A_1A_2A_3…A_n的n条边A_1A_2、A_2A_3、…、A_(n-1)A_n、A_nA_1所在的直线都与直线l相交,交点分别为P_1、P_2、…、P_n(它们都不是已知n边形的顶点),则     

欧拉闭折线及其性质

本文约定:符号A(n)表示内接于⊙(O,R)的任意一条闭折线A_1A_2A_3…A_nA_1。由A(n)的所有顶点组成的集合{A_1,A_2,…,A_n},称为A(n)的顶点全集n。这个点集中任意除去一个点A_j(1≤j≤n),其余(n-1)个点组成的集合{A_1,A_2,…,A_(j-1),A_(j 1),…,A_n},称为A(n)的顶     

30分钟智力冲浪

.||||l|||es.土.拓l。2。若工减少a师得y.y增加b%得x,则a和b的关系是图1中正方形的边长为2a,则阴影部分的面积是3.从钟楼看体育馆是南偏西68“,则从体育馆看钟楼 是4.已知直线a上依次有5个点A、B、C、D、E.点P┌─┐│瓢│└─┘ 为直线a上任意选取的一点,假设s一不叭+尸召 .~,no .n。、r,。。、I,n_。、抉,、,、图1 +于℃十尸D十尸E,当且仅当尸点的位置在()因‘ 处时,S的值最小. (A)AE的中点(B)B点(C)C点(D)BD的中点5.江边有A、B两码头,一轮船从A到B需7小时,从B到A要9小时,现 有一浮标从A下水顺流漂到B需小时.6.直线l上有线段A…     

“直线外两点与直线上任一点距离之和最小”的空间推广

在平面几何中 ,经常碰到这样的问题 :“在平面上 ,已知直线 l外两点 A,B,在 l上求一点 P,使 PA PB的值最小”,利用“对称性”和“两点之间线段最短”即可解决问题 .而若把此问题推广到空间 ,如何求解呢 ?下文将作一探讨 .1　推广到空间问题 :在空间中 ,已知直线 l外两点 A,B,在 l上求一点 P,使 PA PB的值最小 .分析　若点 A,B和直线 l在同一平面内 ,则已解决 .下面研究点 A,B和直线 l不在同一平面上的情形 .先解决如图 1的问题 :简解　在 l上取两点C,D,使点 A,B在 l上的射影 A1 ,B1 在线段CD上 ,连结 AC,AD,BC,BD,构成如图 …     

形异质同的几道高考题——谈有心圆锥曲线的一个性质

2011年全国高考四川文科数学卷第21(2):如图1,过点C(0,1)的椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的离心率为e=√3/2.椭圆与x轴交于两点A(a,0)、B(-a,0),过点C的直线l交椭圆于另一个点D,并于x轴交于点P,直线AC与直线BD交于点Q. (1)略; (2)当点P异于点B时,求证:OP· OQ为定值. 2011年全国高考四川理科数学卷第21(2):如图2,椭圆有两个顶点A(1,0)、B(-1,0),过其焦点F(0,1)的直线l与椭圆交于C、D两点,并于x轴交于点P,直线AD与直线BC交于点Q.     

正多面体的一个有趣性质

定理若点P为正多面体外接球上任一点,则该正多面体各顶点到球的过P点的切面的距离之和为定值。事实上,设正多面体顶点为A_1,…,A_n(n=4,8,6,20,12),外接球心为O。过A_1,…,A_n分别作球O的切平面,得球O的外切正n面体B_1…B_m(m为A_1,…,A_n的面数,m=4,6,8,12,20)。这时,P为正n面体     

直线的向量参数方程式的应用

新人教必修4第二章平面向量,已知A,B是直线l上任意两点,O是l外一点,则对直线l上任意一点P,存在实数t,使O乙乙P关于基底{乙O乙A,O乙乙P}的分解式为乙O乙P=(1-t)乙O乙A+t乙O乙B此向量等式叫做直线l的向量参数方程式,其中实数t叫做参数,并且满足乙A乙P=t乙A乙B.应用一:乙O乙A,乙O乙B前面的系数之和为定值1(.2007·全国Ⅱ)在△ABC中,已知D是AB边上一点,若乙A乙D=2乙D乙B,乙C乙D=31C乙乙A+λ乙C乙D,则λ()     

解析几何复习检测题

一、选择题(每小题5分,共60分)1.过点M(2,1)的直线l与x、y轴分别相交于P、Q两点,且使P M=M Q,则直线l的方程是()A.x-2y-5=0 B.2x-y-3=0 C.2x y-5=0 D.x 2y-4=02.若直线l:y=kx-3姨与直线2x 3y-6=0的交点位于第一象限,则直线l的倾斜角的取值范围是()A.[π6,π3) B.(π6,π2) C.(π3,π2) D.[π6,π2]3.设m、n∈R,m≠n且mn≠0,则方程nx-y m=0和方程mx2-ny2=mn在同一坐标系下的图象大致是()4.若直线ax by=4与圆C:x2 y2=4有两个不同交点,则点P(a,b)与圆C的位置关系是()A.在圆内B.在圆上C.在圆外D.不确定5.我国发…     

关于若干几何不等式的猜想的思考

1.引言 文[1]中,蒋明斌老师给出如下两个猜想: 猜想1、设P,P′为△ABC内两点,XA=PA,XB=PB,XC=PC,XA′=P′A,XB′=P′B,XC′=P′C,则 (扫:㈠):(x:xi·x/,L:xB·x/,A。xc,xc/)≥(1:l。a’*A。x,b’ h寸指;)其中λ_1、λ_2、λ_3∈R~ 猜想2,设λ_1、…、λ_n∈R~ ,P、P′为凸n边形A_1A_2…A_n所在平面上两点,则: (三札)(君:xiPAitP/Ai)≥:≤i乏,≤nx山4i厶i’ 1‘2, 文[2]中,林祖成给出如下猜想: 猜想3,四面体A_1A_2A_3A_4存在棱切球,内切球半径记为r,则:     

一道极值问题的讨论

一、问题: 本文讨论下列问题: (Ⅰ):设P是凸n边形A_1A_2…A_n上(内部或边界上)任一点,x_i是P到A_iA_(i 1)的距离(i=1,2,…,n,A_(n 1)=A_1),求f(p)=x_1 x_2 … x_n的最大值和最小值,并问何时达到最大值和最小值? 二、特例: 先讨论n=3的特殊情形,此时问题(Ⅰ)转化为 (Ⅱ):在△A_1A_2A_3上找一点P,使它到三边距离和为最大、最小。     

直线与圆、圆锥曲线中的最值问题的求法

1应用均值不等式(a+b/2)≥ab~(1/2)(a>0,b>0)求最值例1过点A(1,4)的直线l在两坐标轴上的截距均为正数,则使两截距之和最小的直线l的方程?解析欲使直线l的两截距之和最小,即在x轴上截距为1+ta4nα,在y轴上截距为4+tanα,因而5+tanα+ta4nα最小,于是有5+tanα+ta4nα≥9.等号成立的条件:当且仅当tanα=tan4α,即tan2α=4,∴tanα=±2(舍去-2),∴k=tanβ=-tanα=-2,∴y=-2x+b.又直线l过(1,4)点,∴b=6.故所求直线l方程为2x+y-6=0.评注利用均值不等式一定要注意等号成立的条件及适用的范围.2利用数形结合求最值图1例2一束光线从A(1,-1)出发经x轴反射到圆C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是多少?解析圆C的圆心坐标为(2,3)半径r=1,点A(-1,1)关于x轴的对成点A′的坐标为(-1,1),因A′在反射线上,所以最短的距离为│A′C│-r-│A′B│,直线A′C的方程为4x-3y+1=0,即B-14,0,如图1.│A′B│=-1+412+12=45,│A′C│=(2+1)2+(3+1)2=5...     

圆锥曲线的弦对顶点张直角的一组性质

文[1]给出了关于抛物线的弦对顶点张直角的一个充要条件:设直线l与抛物线y2=2px相交于A、B两点,则OA⊥OB(O是坐标原点)的充要条件是直线l过定点(2p,0).文[1]还对有心圆锥曲线的弦对对称中心张直角进行了研究并获得了一组结论.本文给出关于有心圆锥曲线的弦对顶点张直角的充要条件.定理1设椭圆xa22+by22=1(a>b>0)的左、右顶点分别为A1、A,上、下顶点分别为B、B1,直线l与椭圆交于C、D两点,则(1)AC⊥AD的充要条件是直线l过定点M1(a(aa22+-bb22),0);(2)A1C⊥A1D的充要条件是直线l过定点M2(-a(aa22+-b b22),0);(3)BC⊥BD的充要条件是…     

高三数学测试题(文理)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知全集I:R,P={z I z=而1,行∈N),Q={z 1 z=鬲1, ,z∈N},则下列关系正确的是( ) (A)P n Q=0 (B)Cp n Q=0 (c)p f-I Cp:0 (D)C尸n C,Q=D2.过点(1,2)作直线,使其在两坐标轴上的截距相等,则满足此条件 的直线的斜率为( ) (A)一l (B     

2006年全国高中数学联赛浙江省预赛

一、选择题(每小题6分,共36分)1.下列三数32,log1682,log27124的大小关系,正确的是().(A)23相似文献