数学归纳法浅谈

<正>数学归纳法是一种重要的数学思想方法,利用数学归纳法可以解决一些相对比较复杂的问题。同时,归纳法在数学研究中发挥了重要的作用,它是有着丰富内涵的思想工具,有着其他方法所不能替代的作用。华罗庚先生在《数学归纳法》一书中指出:"数学归纳法正是体现了人的认识从有限到无限的飞跃。"人类为了把握无限到有限的飞跃,离不开数学归纳法。本文从数学归纳法的理论基础着手,阐述了归纳法的原理及其表现形式,继而分析了归纳步骤的证明思路,提出一些粗略的认识,供大家研究探讨。一、数学归纳法的理论基础     

数学归纳法在数列求通项问题中的价值与局限——以2020年高考数学全国Ⅲ卷理科17题、2022年高考全国新高考Ⅰ卷17题为例

数学归纳法在证明与自然数有关的问题时简洁有力,是培养学生逻辑推理素养的重要工具.数列求通项问题是近年高考的常见考点,其考查形式灵活多变,涉及的方法多样.采用数学归纳法求数列通项问题能够降低学生的思维难度,是一个适用性极广的解题方法.同时,数学归纳法在处理求通项问题也具有一定的局限性.针对数学归纳法在数列求通项问题中的价值与局限,本文分析数学归纳法的优势所在,并提出数学归纳法的适用范围.     

归纳法的科学方法论渊源

从亚里士多德论述归纳法开始,关于归纳法是不是一种科学方法的问题就受到人们的关注。与斯多葛学派是方法论上的演绎派不同,亚里士多德认为归纳法是科学方法之一,伊壁鸠鲁学派、培根和穆勒都强调归纳法是唯一的科学方法。在休谟的"归纳问题"的拷问下,归纳逻辑由古典阶段发展到现代阶段,归纳的作用从科学发现和科学证明的方法退缩为科学确认的方法。归纳逻辑的历史表明,归纳法与科学方法论有着密切的联系,归纳法是作为一种科学方法被提出并加以发展的,科学方法论是归纳法本源。     

数学归纳法的再认识

本文试图通过第一、第二数学归纳法的逻辑推理证明过程,指出数学归纳法的实质和逻辑原理,并通过各种典型的例子对数学归纳法归纳推理的方法和技巧问题进行了探讨和剖析.     

用数学归纳法解组合问题

（本讲适合高中） 数学归纳法是数学解题的一种重要方法,在数学竞赛的各分支中有着广泛的应用。这种方法也经常用来解竞赛中的组合问题,实质就是将一个无法穷尽验证的命题转化为普通命题进行证明,从而达到证明的目的。数学归纳法有以下几种形式：第一数学归纳法,跳跃数学归纳法,第二数学归纳法。本文通过具体实例例述数学归纳法在解组合问题中的几种应用。     

数学归纳法在数列问题中的应用

数学归纳法是解决有关数列问题的一种重要的方法．只有理解数学归纳法中的递推思想，理解数学归纳法的原理与实质，掌握两个步骤，才能灵活地运用数学归纳法解决有关数列问题．利用数学归纳法解决有关数列问题，有利于培养同学们观察、分析、论证问题的能力，培养同学们大胆猜想、小心求证的辩证思维素质，以及发现问题、提出问题的意识．     

博弈视野中逆向归纳法的逻辑分析

逆向归纳法是一种求解完全且完美信息下的动态博弈的方法,由于逆向归纳法在逻辑上和现实性方面都是有条件成立的,因此它的分析预测能力就有局限性,它就不可能适用于分析所有完全且完美信息的动态博弈;如果不恰当地运用了逆向归纳法,就会在一些博弈问题中造成矛盾和悖论。逆向归纳法悖论的产生其实是源于逆向归纳法的适用范围问题,即逆向归纳法只是在一定的条件下和一定的范围内有效,正确把握逆向归纳法在动态博弈中的运行特征,可以帮助我们分析悖论或有效地避免悖论。     

数学归纳法的逻辑原理及其在图论中的应用

本文系统地介绍了数学归纳法的逻辑原理、图论证明中运用数学归纳法的类型问题,使读者对数学归纳法及数学归纳法在图论中的应用问题有一个全面的认识.     

慎用不完全归纳法解题

由个别到一般或由特殊结论推出一般结论的推理方式叫归纳法.归纳法可分为完全归纳法和不完全归纳法.与正整数n相关连的归纳法又称数学归纳法.不少物理问题涉及到正整数n,比如碰撞次数问题.在解答这类问题时,不少教师和学生使用归纳法而得出了错误的答案,甚至一些教学资料也犯同样的错误,先请看下例.     

关于数学归纳法的再思考

数学归纳法是数学中的一个重要的证明方法,也是中学数学的一个重要内容.多年以来,国内有众多的文章讨论数学归纳法是否是归纳法或者演绎法的问题[1],对数学归纳法在中学数学中的教学亦产生了不小的影响.通过对国家高中数学课程标准[2]和普通高中课程标准实验教科书——《数学》以及与     

归纳法的若干问题研究

1 问题的提出 归纳法是一种特殊的推理方法。归纳法的定义通常有: 定义1.归纳就是由特殊推到一般的过程。 定义2.归纳就是通过对某类事物中的若干特殊情形的分析得出一般结论的思维方法。 遵此定义,有的数学读物认为归纳法只包括简单归纳法与完全归纳法,不包括类比法;有的资料将“归纳法”与“归纳推理”视为相同概念;还有的认为归纳法是一种特殊的推理和论证方法……由于逻辑学中的归纳法是中学数学体系中重要的思想方法之一,澄清对归纳法的种种模糊认识,对数学教育工作是确有必要的。     

归纳法在初中物理教学中有哪些应用

为培养学生科学探究精神、实践能力和创新意识。帮助学生提高素质,我们在教学中要十分重视科学方法的培养。在科学研究中,归纳法发挥着重要的作用．许多物理概念、物理规律的获得都是借助了归纳法的力量．由实验（演示实验或学生实验）归纳获得的．利用归纳法对物理现象或物理规律进行归类。还可以利用归纳法对同种类型的问题进行分类。因而归纳法的教学是中学教学中的一个重要方面。本文从运用归纳法形成物理概念、获得物理规律：运用归纳法对物理现象和物理规律进行归类：运用归纳法对同一类题进行分类三个方面进行了阐述．     

从椭圆性质讨论飞行物封闭式轨道

由个别到一般或由特殊结论推出一般结论的推理方式叫归纳法。归纳法可分为完全归纳法和不完全归纳法。与正整数n相关连的归纳法又称数学归纳法。不少物理问题涉及到正整数n。比如碰撞次数问题。在解答这类问题时，不少教师和学生使用归纳法而得出了错误的答案。甚至一些教学资料也犯同样的错误，先请看下例。     

数学归纳法应用举例

数学归纳法是高考考查的重要内容之一。归纳、猜想、证明是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想。有很多问题难以用直接推导或证明的方法解决，而用数学归纳法求解，则简明扼要。因此，数学归纳法是数学方法中的一种无可替代的重要方法。     

《数学归纳法及应用举例》第一课的教学设计

教学目标一、知识目标 1．了解归纳法的意义． 2．理解数学归纳法的实质,掌握数学归纳法证题的两个步骤,初步会用数学归纳法证明与正整数有关的命题．二、能力目标 1．通过探索有关的命题的证明方法的过程, 让学生体验严密的逻辑推理的数学思想． 2．学生经历对问题的探究过程,让学生感知科学的研究方法,并培养学生提出问题、思考问     

用数学归纳法证题需当心这几点

数学归纳法是数学论证的一个基本工具,是非常重要的证明方法,用途很广．但在运用数学归纳法证题时。需要注意的问题很多,本文从三个方面进行了论述．     

波普尔与归纳问题

归纳法在西方科学哲学史上占有重要地位,自休谟提出归纳的合理性问题后,哲学家们展开了一系列有关归纳的辩护与批判。波普尔对归纳法持全盘否定态度,他对归纳法的批判正是建立在其对休谟归纳问题的分析和反对逻辑经验主义对归纳法的拯救的基础之上的。     

波普尔与归纳问题

归纳法在西方科学哲学史上占有重要地位,自休谟提出归纳的合理性问题后,哲学家们展开了一系列有关归纳的辩护与批判。波普尔对归纳法持全盘否定态度,他对归纳法的批判正是建立在其对休谟归纳问题的分析和反对逻辑经验主义对归纳法的拯救的基础之上的。     

以有限把握无限——"数学归纳法"第一课时教学片段与反思

在探究式学习中,学生主动参与知识的发生、发展过程,培植创新精神,习得科学研究的方法,锤炼坚韧不拔的意志,形成良好的思维品质.在"数学归纳法"第一课时的教学中,以问题为中心,以探究解决问题的方法为主线,按照"创设情境→提出问题→探索方法→形成方法→巩固认知→应用→小结"的流程,引导学生认识数学归纳法思想的形成过程,并基于数学归纳法的源头与本质,有效地突破了难点,实现了对书本知识的再创造、再发现.     

悠久的历史文化，精彩的数学归纳法

数学归纳法是数学中重要的证明方法,有限把握无限的工具．多米诺骨牌的游戏、烽火台敌情的传递、逢年过节燃放的鞭炮等形象地揭示数学归纳法．从递归的萌芽、数学归纳法的运用,再到数学归纳法的命名,还有双基、反向数学归纳法等方法的发展,倾注了众多数学家的精力,聚积了人类无限的智慧,折射出数学归纳法悠久的历史,璀璨的文化．