对一道2011年数学联赛数列题解法的探究及思考——兼谈递推数列问题的解题策略

递推数列问题是高考和竞赛中的常见问题,在解决此类问题时许多教师仅仅介绍构造法,而构造法在思维层次上有较高的要求,学生在理解、掌握和运用中都有一定的困难．文中认为,归纳法是首选之法,迭代法是通解之法,构造法是智者之法,文章为广大师生解决递推数列问题提供了系统的解题思路．     

"点列"问题的解题思路

纵观近年全国各省高考数学试题、高考数学模拟试题,"点列"问题悄然兴起.这类问题通常以"点列"为载体,将函数、数列、不等式、方程、向量、解析几何等知识有机地交汇在一起.因而极富思考性和挑战性.下面笔者选出三道典型例题并予深刻剖析,旨在探索题型规律,揭示解题方法.     

反射点列问题新探

文[1]通过对2003年全国高考第一(10)题的引申推广,得到一类新数列,其中问题4是:     

求递推数列通项公式的十种策略

递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法的方法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明,因而求递推数列的通项公式问题成为了高考命题中颇受青睐的考查内容.笔者试给出求递推数列通项公式的十种方法策略,它们是:公式法、累加法、累乘法、待定系数法、对数变换法、迭代法、数学归纳法、换元法、不动点法、特征根的方法.仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键.1利用公式法求通项公式…     

数列递推式中不等关系的证明

数列递推式中不等关系的证明问题，由于涉及的知识面广，综合性强，一直是数列中的重点和难点，近年来，亦逐渐成为高考命题的热点．对于这类问题的证明策略主要有：通项法，数学归纳法，递推法．     

双数列问题的类型及解题策略

研究近几年的高考试题、模拟试题可以发现,在一段时间内,某一部分的试题形式会表现出一定的规律,如数列部分,递推数列曾经风靡一时,然后有观察归纳＋数学归纳法一统天下,而近两年有90％以上的数列解答题属于双数列问题!所谓双数列问题,就是在一个问题中出现两个（或两个以上的）数列．这类问题既可以扩大试题的覆盖面,     

求点列通项公式若干方法

按一定次序分布的若干个点P1,P2…,Pn,…叫做点列.同一平面上的点列P1,P2…,Pn,…置于平面直角坐标系后,分别对应坐标(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),…,该点列的横、纵坐标分别排成一列数就形成两个数列｛xn｝,｛yn｝.若limn→ ∞xn=a,nl→im ∞yn=b,则称点列P1,P2…,Pn,…存在极     

例谈解析几何中的点列问题

解析几何中的点列问题,把握了数列的内在联系,体现了数列的函数性质,它对培养学生综合运用知识解决问题的能力是大有裨益的.解决这类问题的关键是把几何中的点列问题化归为代数中的数列问题,而实现这一转化的方法有很多种,下面例举说明.     

数列与解析几何的交融——点列问题

近几年高考题中出现了一种以点的坐标为项的点列问题，它是以解析几何为背景，用数列的有关知识来解决的一类综合性试题，解决点列问题的关键是把几何中的点列问题化归为代数中的数列问题，下面举例说明几种常用的转化方法。     

例谈递推数列的解题模式

<正>递推数列是高考数列压轴题的主要类型之一,也是数列中一类比较难于处理的问题,学生得分率普遍较低.因此,有必要研究这类问题的解题模式,只有掌握这类问题的思路模式,才可能突破这类题型的束缚.下面举例     

例谈递推数列中不等关系的证明

在近年的高考数学试题中 ,常以数列递推式中不等式的证明作为能力型试题 .这类问题综合性强、思维容量大、能力要求高 ,是同学们感到很棘手的一类问题本文通过具体的例子说明解这类问题的几种常用方法 .一、数学归纳法例 1　已知数列 an ,对任意n∈N ,均有an >0 ,且a2 n ≤an-an + 1 ,求证 :当n≥ 2时 ,an <1n +1.证明　 ( 1)当n =2时 ,a2 ≤a1 ( 1-a1 )≤ a1 +( 1-a1 )22=14 <13 =12 +1.命题成立 .( 2 )假设当n =k(k≥ 2 )时 ,命题成立 ,即有　　　ak <1k+1≤ 13 (k≥ 2 ) .当n =k +1时 ,由题设有ak+ 1 ≤ak-a2 k.令 f(x) =x-x2 ,则f(x) =…     

例谈依托函数背景的坐标数列

曾一度降温的递推关系求通项问题，又悄然升温．并且在近几年的高考题中出现了以点的坐标为项的递推数列的新题型，备受教师和学生的关注．在浙江卷自主命题的四年中，数列题有三年以压轴题的“面孔”出现：2007年在倒数第二大题出现，而其中的“第3步却是2007年数学试卷的最难题”；而2004年、2005年、2006年的数列都是在函数背景下的坐标数列问题．     

2006年高考点列问题

“点列”问题能融函数、解析几何、数列、不等式以及导数等知识于一题，综合性强，表述起来简单易懂。以点列为载体考查数列知识的题目在2006年的高考题中颇受青睐，共有7个省市11套文理科试卷均有以点列为背景的题考查学生的能力。点列问题常以填空或解答题的形式出现在试卷中，尤以全卷压轴题为多，共有7套试卷的最后1题是点列题。点列试题的条件特点是：点列在给出已或易求出解析式的函数图像或曲线上；比较复杂的问题设问特点是：先求出或求证递推关系，再求出或求证通项公式，最后是利用前面已解或证明的结论解决数列求和、不等式、恒成立等问题，入口容易，层层递进．处理点列问题的通法是：第一步是完成由点列问题到数列问题的转化；第二步是在数列知识这个层面解决问题。关于求通项公式不再赘述，在此重点谈点列中的求和与不等式的证明两大问题。     

一类递推数列收敛性的证明

本文证明了满足某些条件的一类递推数列的收敛性质。     

数列通项式求解方法

求数列通项式，在中等学校数学教学中是一个难点，又占有一定的重要位置．笔者就数列通项式的求解方法归纳整理为累加法、递推式法、数学归纳法和待定系数法，提出了典型例子，并就待定系数法进行了较深入的探讨．     

浅析高中数学中数列的解题方法

数列是高中数学的重要的基础知识和技能,是刻画生活中离散现象的数学模型,它可以帮助我们解决日常生活中的存款利息、资产折旧等多种问题,而且它对学生进一步理解函数具有重要的意义。在高中数列学习的过程中,面对不同问题,学生应学会灵活运用不同的解题方法完美的解答数列问题。下面,本文将对高中数学中数列的解题方法进行简要的概括,并以实例强化学生对不同方法的理解,为高中学生解决数列问题提供相应的帮助。     

求递推数列通项的特征根法

递推数列的题型多样,求递推数列的通项公式的方法也非常灵活,往往可以通过适当的策略将问题化归为等差数列或等比数列问题加以解决,亦可采用不完全归纳法,由特殊情形推导出一般情形,进而用数学归纳法加以证明．因而求递推数列的通项公式问题成为高考命题中颇受青睐的考查内容．下面给出求递推数列通项公式的几种常用特征根法．通过仔细辨析递推关系式的特征,准确选择恰当的方法,是迅速求出通项公式的关键．     

高考中递推数列问题的求解策略

递推数列问题在考试大纲中只要求了解，而在近几年高考试题解答题中经常出现此类问题，这类问题常见求解策略是：观察、归纳、猜想，然后用数学归纳法证明．但这并不是唯一的方法，尤其是规律隐藏在深处，猜想起来就比较困难．学生对这类问题的求解感到困难较大，下面对这类问题的求解策略作一归纳．     

用二阶递归数列的转化解题

由a_(n+2)=pa_(n+1)+qa_(n)+r(p,q,r是与n无关的常数,a_(1),a_(2)是已知数)确定的二阶递归数列{a}_(n)的各项容易用递推法求出,但有时把其中的一类等价变形为分式型二阶递归数列(见定理1)就不容易用递推法求出其各项了.如果读者能发现它们之间的联系,就可以解决后面这个困难的问题了.     

求数列通项的常用方法

已知数列的递推关系式,求数列通项公式的方法一般分为两类:一类是根据前几项的特点,归纳猜想出通项的表达式,然后用数学归纳法证明;另一类是将已