由一道“别题”引发的讨论

<正>学完七年级下册第一章后,进行章节过关测试时有这样一道题:若x~2+2(m-3)+16是关于x的完全平方式,则m=____.阅卷时发现许多学生没有填,填了的学生也回答错误.为什么会这样呢?仔细看题才发现其中的奥妙,原来本题应该是这样的:"若x~2+2(m-3)x+16是关于x的完全平方式,则m=____."可能是由于排版的缘故漏掉了"x",变成了试卷中现在的这道题,我们姑且称此题为"别题".对于这道别题,出现了下面几个答案:m     

对一道年号趣题的修改

拜读贵刊 2 0 0 0第 1期上刊登的一组新年趣题 ,不禁为各题的巧妙构思和深刻寓意所折服 ,但百密难免一疏 ,其中第 4题就出现了一个小小的疏忽 .第 4题的原题是 :对于互不相等的 xi∈ Z (i=1,2 ,… ,6 5 ) ,满足∑6 5i=1 =10 8,试求 ∑6 5i=1 x2i 的最大值 .其答案是 :取 x1 =x2 =… =x6 4 =1,x6 5 =44时 ,其平方和最大 ,且最大值为 2 0 0 0 .显然 ,这个答案与“互不相等”的假定是相违背的 .事实上 ,在互不相等的前提下 ,条件 ∑6 5i=1 xi=10 8是不可能成立的 ,因为∑6 5i=1 xi≥∑6 5i= 1 i=2 145 .所以 ,如果一定要满足 ∑6 5i =1 xi=10…     

三角中创新试题

一、开放性试题主要指条件开放题,结论开放题,条件与结论都开放的试题.例1设函数f(x)=sin2x,若f(x t)是偶函数,则t的一个可能值是.分析:本题是结论开放题,紧扣偶函数定义即可解决.解:若f(x t)是偶函数,则sin(2x 2t)=sin(-2x 2t),得2x 2t=2kπ (-2x 2t)或2x 2t=2kπ π-(-2x 2t)     

对一道最新赛题的商榷

当x=1,3时,为原方程的解,当x=2时,原方程无解。 故原方程有2个解。 笔者认为,此题有两处值得商榷:其一是原题中“已知[x]表示不超过x的整数”应为“已知[x]表示不超过x的最大整数”,否则原题无法求解;其二是此题答案应为4个解,而不是2个解。     

探索题的分类

近年来的中考命题出现了探索题.这种题分为两类,一类是探索条件,另一类是探索结论由于题目的条件或结论没有给出,需要我们去探索,所以难度较大这类题除了需要我们有较扎实的基本功以外,还要有一定的分析问题和解决问题的能力现以中考题为例,说明这类题的解法一、探索条件例1 已知数3、6,请再写出一个数,使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项,这个数是 (只需填一个数)分析：根据题中要求,所写的数可能是已知数3、6的比例中项,也可能不是已知数3、6的比例中项,若设这个数为x,则有x2=3×6或32=6x或62=3x,分别解之得x=±3 或x=或x=12由此可知,这是一道与众不同的条件开放型试题例2 同学们知道：只有两边和一角对应相等的两个三角形不一定全等,你如何处理和安排这三个条件,使这两个三角形全等？请你仿照方案(1),写出方案(2)、(3)、(4)解：设有两边和一角对应相等的两个三角形方案(1)：若这个角的对边恰好是这两个三角形的大边,则这两个三角形全等分析：这类题要求我们依据问题提供的题设条件,寻找多种途径解决问题我们要接受这种挑战,进入发明、创造的角色,要求我们要有较高的素质解答时,要着眼于弱化题设条件,以促使命题在一般情况下不成立,而在特殊情况下成立于是便有：     

代入法求分式值的几种途径

分式的学习中,经常遇到含条件的求分式值的问题,们,要注意根据题式和求式的特点,灵活利用代入法. 一、整体代入 1 例1 若x2+x-2=0,那么x2+x- =摇摇摇 摇. x2+x 解:视x2+x为一个整体. 1 1 ∵x2+x-2=0,∴x2+x=2, = . x2+x 2 3 则求式= . 2 二、公式代入 1 1 例2 设x- =1,则x2+ =摇摇摇 摇摇. x x2 1 1 解:由x- =1,得 (x- )2=1. x x 则求式=( x- )2+2·x·1 1 x x =3. 三、倒数代入 1 1 2 ab 例3 已知 - = ,…     

一类分段函数解析式的求法

分段函数是定义在不同区间上解析式也不相同的函数 .已知一个函数在某一区间上的解析式 ,求它在另一个区间上的表达式 ,这是分段函数中最常见的问题 .由于给出条件的不同 ,常有如下分类 .1　关于直线 x=a对称若题设中有函数图象关于直线 x=a对称的条件 ,则有 f (x) =f (2 a- x) ,特别地 ,当 a=0时 ,则 f (x) =f(- x) ,即此函数为偶函数 .例 1　已知函数 y=f(x)的图象关于直线 x=1对称 ,若当 x≤ 1时 ,y=x2 + 1,则当x>1时 ,y=.(1991年上海高考题 )解　当 x>1时 ,则 2 - x<1,依题设有f(2 - x) =(2 - x) 2 + 1.又 y=f (x)的图象关于 x=1对称 ,…     

2003年全国高考数学试题：基本解法与巧思妙解

数　学一、选择题 :本大题共 1 2小题 ,每小题 5分 ,共 60分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .(1 )已知x∈ -π2 ,0 ,cosx =45 ,则tg 2x =(　　 ) .A .72 4　　　B .-72 4C .2 47　　　D .-2 47基本解法 :由题设得sinx =-35 ,从而有tgx =-34.于是tg2x =2tgx1 -tg2 x=-2 47,应选D .巧思妙解 :解法 1 :由题设得sinx =-35 ,则sin2x=2× -35 × 45 =-2 42 5 ,cos2x =2× 452 -1 =72 5 .故tg2x =sin2xcos2x=-2 47.解法 2 :由题设得cos2x =2× 452 -1 =72 5 ,从而 -π2 <2x <0 ,则tg2x <0 .又tg2 2x =sec2 2x -1 =1cos2 2…     

是题型错误,还是认识解法错误?

文[1]列出了以下几种认为是有关函数定义域的错题. 题1 已知函数y=f(x)的定义域为[-3,√2],则y=f(√x-2)的定义域为____. 题2 已知函数y=f(lnx)的定义域为(0,1],则y=f(x)的定义域为____. 题3 已知函数y=f(2x)的定义域为[[1,2],则y=f(log2x)的定义域为____. 为了说明上述三题是错误题型,还举了反例1和反例2,也抄写于下.     

一元二次方程根的判别式应用四注意

一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式Δ=b2-4ac是初中数学的一个重要知识点,本文结合例题,说说应用一元二次方程根的判别式(以下简称判别式)解题时需注意的几点.一、使用判别式的条件方程ax2+bx+c=0(a≠0)的a≠0是使用判别式的前提条件.例1 关于x的一元二次方程k2x2-(2k+1)x+1=0有两个实数根,求k的取值范围.分析:根据题设条件,可知Δ=[-(2k+1)]2-4k2≥0且k2≠0,解得k≥-14且k≠0. 二、方程有两个实数根与方程有实数根区别方程ax2+bx+c=0有两个实数根,则必有≠0;但方程ax2+bx+c=0有实数根,则它可有两个实数根,也可能有一个实数根,…     

一九九三年香港中学会考生物试卷

注:本试卷各题全答.答案必须在答题纸上填写.注意:每题只可填写一个答案;若填写两个或多个答案,则该题不给分.本试卷各题占分相等.答案错误,不另扣分.1小时完卷.本试卷共设60题.试卷内的插图未必依正确比例绘成.指引:回答以下两题(1和2)时须参考下表.表内资料显示四种植物的一些特征:     

数学解题的几种常用方法

初中生的思路不开阔,思维逻辑性不强,这时就要老师帮助总结方法,通过教学培养思路的条理性,把已知条件与未知条件有机的揉合起来,把隐蔽的条件挖掘出来,从而全面地有效地获得所要求的答案。 下面举几个例子,不同的题应用不同的方法,并且灵活运用所学的知识。 一、应用性质。 例:①求x~(1/2)+2·x~(1/2)-2=0的根是_____ 看到这个题目有很多同学往往让x+2=0或x-2=0即:x=2或x=-2。但忽略了根式的性质,因此,我们应用性质来解:x+2≥0且x-2≥0.∴x只能等于2。     

至少有一个方程有实根问题的正面解法

先看下面三道题:(1)如果一元二次方程x2+4ax-4a+3=0,x2+(a-1)x+a2=0,x2+2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的范围.(2)已知p1p2=2(q1+q2),试证方程x2+p1x+q1=0和x2+p2x+q2=0中,至少有一个方程有实根.(3)若一元二次方程x2+ax+b=0,x2+bx+c=0,x2+cx+d=0的系数满足等式:bc+2d=(a-2)(b+c),则三个方程中,至少有一个方程有实根.这几道题属于“至少存在问题”,数学竞赛中常常见到.这类题若从正面考虑,大家认为几个方程中“至少有一个方程有实根”的情况复杂,解答易错.所以有关书刊及资料上介绍的解法都采用的是反证法,其思路是这样的:假定三个…     

值得重视的中考数学参数题

含参数的一元二次方程或二次函数题是中考常见的一类题型,由于参数值的不确定,它往往有较强的迷惑性,一不小心即掉入“陷阱”.下面略举数例,以引起同学们的重视和注意.例1关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0,则a的值为().(A)1(B)-1(C)1或-1(D)12解:选(B).评注:若只考虑题中的明显条件“一根为零”,而忽视了“二次项系数不能为零”这一隐含条件,则会误选(C).例2已知x1、x2是关于x的方程x2-x+a=0的两个实数根,且1x12+1x22=3,求a的值.解∵x1、x2是方程的根,∴x1+x2=1,x1x2=a,∴1x12+1x22=x12+x22x12x22=(x1+x2)2-2x1x2(x1x2)2=…     

两类函数图象对称轴的辨析

下面是两个常见的有关函数图象对称的问题: 1．定义在R上的函数y=f(x)满足f(a -x)=f(a-x),那么y=f(x)的图象关于直线 _____对称; 2．定义在R上的函数y=f(a x)与y= f(a-x)的图象关于直线_____对称．这两个问题,外形相似,极易混淆．实际上,第1题是一个函数的自对称问题,答案是关于直线x=a对称;第2题是两个函数的互对称问题,答案是关于直线x=0对称．     

忽视问题的存在性致错举例

因教学需要 ,笔者手头常备有几册数学题典及近年来全国各地的中考试卷 ,陆续发现其中一些数学题由于在命题时忽视问题的存在性而导致错误 .为引起大家对此问题的重视 ,避免误导学生 ,本文特择数例加以剖析 .例 1　已知直角三角形两条直角边的和为 7,面积为 10 ,则斜边的长为 (　 ) .(A)不能确定　 (B) 2 9(C) 3(D) 9题给答案为 C.设 Rt△直角边为 a,b,则 a+b=7,ab=2 0 .则 c= a2 +b2 =(a+b) 2 - 2 ab=49- 40 =9=3,故选 C.命题者忽视了勾股定理是在 Rt△存在的前提下适用的 .实际上 ,此题中符合题设的 Rt△是不存在的 .把 a,b看作方程 x2…     

函数开放题解析

2001年各地中考数学试卷中出现了以前少见的函数开放题,虽然有不少题只要求写一个答案,但是它们有着较好的复习功能,是复习巩固所学函数的性质及数形结合、待定系数法等数学思想方法的难得的好题,特举几例浅析如下 例1(济宁市)函数y=kx2 (2k 1)x 1的图象与x轴的交点的个数是____个.     

学习二次函数应注意的问题

学习二次函数应注意下面几个问题:一、注意函数定义中的条件例1 m为何值时,二次函数y=mx2-(2m+1)x+m的图象与x轴交于两点?解若函数图象与x轴交于两点,则△=[-(2m+1)]2-4m2=4m+1>0     

一类二次函数的定义域、值域的求法

江苏教育出版社《高中毕业班文科数学》第2页B组填空题第3题:“已知函数f（x）=x~2 4x 2的定义域是M,值域也是M,则数集M=______”. 该书给出的答案是“[-2,-1]”.不少同学还这样解答: “∵ f（x）=x~2 4x 2=（x 2）~2-2,当x≥-2时,f（x）≥-2,∴所求的M=[-2, ∞）.”正确答案到底是什么?请先看下面的问题:     

一道极易解错的题

<正> 下面这道求函数中自变量取值范围的问题,学生的答案错误率极高,几乎均为:x≤2,且x≠1,x≠-2.该题绵里藏针,不失为一道好题. 问题求函数y=1/x-2~(2-x)中自变量x的取值范围.