关于擂题(45)的对偶命题

《中学数学教学》2 0 0 1年第 4期“擂题 ( 4 5 )的评注”的文后刊出了王扬先生提出的关于擂题 ( 4 5 )对偶命题的一个猜想 :在△ＡＢＣ中 ,设ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 3,则ｓｉｎｎＡ ｓｉｎｎＢ ｓｉｎｎＣ≤ｃｏｓｎ Ａ2 ｃｏｓｎ Ｂ2 ｃｏｓｎ Ｃ2①事实上 ,以Ａ =Ｂ =ε,Ｃ =π -2ε代入①式 ,得2 ｎｓｉｎｎ ε2 ( 1 2 ｎｃｏｓｎε)≤ 2 ,分别令ε→ 0、ε→π/ 2 ,得 0 <ｎ≤ 2。因此 ,猜想不成立。本文提出并证明如下命题 :命题　设λ∈Ｒ ,0 <λ≤ 2 ,则ｓｉｎλＡ ｓｉｎλＢ ｓｉｎλＣ≤ｃｏｓλ Ａ2 ｃｏｓλ Ｂ2 ｃｏｓλ Ｃ2…     

巧用直线与圆的位置关系解题

直线与圆的位置关系有三种情形,若用圆心到直线的距离ｄ和半径ｒ间的大小关系来判断,则有ｄ＜ｒ直线与圆相交;ｄ＝ｒ直线与圆相切;ｄ＞ｒ直线与圆相离．解题中我们如果能够抓住题目的结构特征,通过化归,创设直线与圆的位置关系的解题意境,常常能为某些数学问题的解决开辟一条新的途径．下面通过实例加以阐述．１　求值例１　已知α、β∈０,π２且ｃｏｓα＋ｃｏｓβ－ｃｏｓ（α＋β）＝３２,求α、β．解　ｃｏｓα＋ｃｏｓβ－ｃｏｓ（α＋β）＝３２展开整理,得ｓｉｎαｓｉｎβ＋（１－ｃｏｓα）ｃｏｓβ＋ｃｏｓα－…     

圆锥曲线焦点弦的性质及应用

定理 1　过圆锥曲线焦点的直线ｌ对于过焦点的对称轴的倾斜角为α ,且与圆锥曲线交于Ａ、Ｂ两点 ,若焦点Ｆ分弦ＡＢ所成的比为λ ,则λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.(ｅ为离心率 )　　　　　图 1证明　过焦点Ｆ作准线的垂线 ,垂足为Ｋ ,以焦点Ｆ为极点 ,ＦＫ的反向延长线为极轴 ,如图 1,建立极坐标系 ,则圆锥曲线的极坐标方程为ρ=ｅｐ1 ｅｃｏｓθ(允许 ρ <0 ) ,∴ρＡ =ｅｐ1-ｅｃｏｓα,ρＢ =ｅｐ1-ｅｃｏｓ(π+α) =ｅｐ1+ｅｃｏｓα.∵ ＡＦＦＢ =λ ,ＡＦＦＢ =ρＡρＢ =1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα,∴λ=1+ｅｃｏｓα1-ｅｃｏｓα.说…     

两个重要的三角恒等式

两个重要的三角恒等式杨变清郭海萍ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ＋Ｂ－Ｃ）＋ｃｏｓ（Ａ－Ｂ＋Ｃ）＋ｃｏｓ（－Ａ＋Ｂ＋Ｃ）＝４ｃｏｓＡｃｏｓＢｃｏｓＣ……（＊）其正确性既可由左和差化积到右,也可由右积化和差到左。在（＊）中分别以π２＋Ａ、π２＋Ｂ、π２...     

构造直角三角形解题例说

在处理某些数学问题时,根据题目的结构特征构造出直角三角形,利用直角三角形的性质,常可使问题巧妙获解．本文仅根据解题实践中的积累,粗略地对此进行归纳试探,以做引玉之砖．１　利用锐角三角函数定义构造直角三角形例１　已知α、β、γ均为锐角,β＜γ,ｔｇα＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγｃｏｓβ－ｃｏｓγ,求证：ｔｇβ＝ｓｉｎα·ｓｉｎγｃｏｓα＋ｃｏｓγ．图１证明　根据题设构造Ｒｔ△ＡＢＣ,使ＡＣ＝ｃｏｓβ－ｃｏｓγ,ＢＣ＝ｓｉｎβ·ｓｉｎγ,∠Ａ＝α,如图１．∴ＡＢ＝ＡＣ２＋ＢＣ２＝１－ｃｏｓβ·ｃｏｓγ．∵ｃ…     

大豆β-1,3-葡聚糖酶基因转化烟草及抗病性的研究

构建了大豆β－１，３－葡聚糖酶（β－１，３－ｇｌｕｃａｎａｓｅ）基因的植物表达载体ｐＢＩ１２１－ｇｌｕ，并通过直接转化方法将其导入根癌农杆菌（Ａ．ｔｕｍｅｆａｃｉｅｎｓ）ＬＢＡ４４０４受体菌中，构建了用于植物遗传转化的工程菌株ＬＢＡ４４０４（ｐＢＩ１２１－ｇｌｕ），并以烟草为转化对象进行了遗传转儿，获得了大量再生的转基因烟草．ＰＣＲ，ＰＣＲ－Ｓｏｕｔｈｅｍ以及Ｓｏｕｔｈｅｍ杂交检测结果表明目的基因已整合到烟草基因组中．转基因植株苗期抗立枯病实验表明，部分转化β－１，３－葡聚糖酶基因的工程烟草对立枯丝核菌（Ｒｈｉｚｏｃｔｏｎｉａ　ｓｏｌａｎｉ．）表明出不同程度的抗性提高．     

与《对八个“互化”公式不要求记忆后的思考》一文商榷

《中学数学教学参考》１９９９年第５期发表了郭立军的《对八个“互化”公式不要求记忆后的思考》（以下简称《对》文）,文中的两个观点值得商榷．《对》文中的观点之一是：“不要求记忆”显然比“了解”的层次还低．１９９０年我在高考阅卷时发现,考生在做《对》文中的例２时,有的将和差化积公式记成了ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝１２ｃｏｓα＋β２·ｃｏｓα－β２,有的记成了ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝２ｃｏｓ（α＋β）ｃｏｓ（α－β）,还有的记成了ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＝－２ｃｏｓα＋β２ｃｏｓα－β２等．虽然考生的思路与方法都正确,…     

一个三角命题的推广及应用

命题ｃｏｓ（６０°－Ａ）＋ｃｏｓ（６０°＋Ａ）－ｃｏｓＡ＝０．（１）这一命题的证明是众所周知的，假如我们运用诱导公式以及改变自变量的值，就可以推导出一些熟悉的、常见的结论．它不仅能给解题带来极大的方便，也给众多题目找到了“同一根源”．１　推广若将（１）式中的Ａ用１８０°＋Ａ来代替即可得：推论１　ｃｏｓＡ＋ｃｏｓ（１２０°＋Ａ）＋ｃｏｓ（２４０°＋Ａ）＝０．（２）　　将（２）式的左边用倍角公式展开得：２ｃｏｓ２Ａ２－１＋２ｃｏｓ２６０°＋Ａ２－１＋２ｃｏｓ２１２０°＋Ａ２－１＝０，即ｃｏｓ２Ａ２＋…     

高考数学模拟试卷（一）

参考公式　三角函数和差化积公式　　ｓｉｎθ＋ｓｉｎψ＝２ｓｉｎ　θ＋ψ／２　ｃｏｓ　θ－ψ／２；　ｓｉｎθ－ｓｉｎψ＝２ｓｉｎ　θ＋ψ／２　ｓｉｎ　θ－ψ／２；　ｃｏｓθ＋ｃｏｓψ＝２ｃｏｓ　θ＋ψ／２　ｃｏｓ　θ－ψ／２；ｃｏｓθ－ｃｏｓψ＝－２ｓｉｎθ＋ψ／２　ｓｉｎ　θ－ψ／２．台体的侧面积公式　Ｓ＝１／２（Ｃ＋Ｃ＇）ｌ，其中Ｃ，Ｃ＇分别表示上、下底面周长，ｌ表示斜高或母线长台体的体积公式　Ｖ台体＝１／３（Ｓ＇＋√ＳＳ＇＋Ｓ）ｈ其中Ｓ＇，Ｓ分别表示上，下底面积，ｈ表示高。     

等差三角形中的一个定理及应用

我们把三边边长成等差数列的三角形叫做等差三角形．它有一个重要的性质如下：定理　在△ＡＢＣ中，角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａ、ｂ、ｃ，若ａ、ｂ、ｃ成等差数列，则有ｔｇＡ２ｔｇＣ２＝１３．证明　由题意知　２ｂ＝ａ＋ｃ，由正弦定理得　２ｓｉｎＢ＝ｓｉｎＡ＋ｓｉｎＣ，∴　４ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝２ｓｉｎＡ＋Ｃ２ｃｏｓＡ－Ｃ２．又∵　ｓｉｎＡ＋Ｃ２≠０，则有２ｃｏｓＡ＋Ｃ２＝ｃｏｓＡ－Ｃ２，即　２ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２－２ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２＝ｃｏｓＡ２ｃｏｓＣ２＋ｓｉｎＡ２ｓｉｎＣ２，∴　３ｓｉｎＡ２…     

构造解析几何模型巧解三角问题

有些三角问题 ,若能根据已知式的结构 ,挖掘出它的几何背景 ,通过构造解析几何模型 ,化数为形 ,利用数学模型的直观性 ,简捷地求得问题的解．一、构造“直线模型”例１已知ｃｏｓα -ｃｏｓβ＝ - ２３,ｓｉｎα -ｓｉｎβ,求ｃｏｓ（α +β）与ｃｏｓα ＋ ｃｏｓβｓｉｎα ＋ ｓｉｎβ 的值．解 :因为点Ａ(ｃｏｓα ,ｓｉｎα)、Ｂ(ｃｏｓβ,ｓｉｎβ)在单位圆ｘ２+ｙ２＝１上．所以直线ＡＢ的斜率ＫＡＢ＝ ｓｉｎα－ｓｉｎβｃｏｓα － ｃｏｓβ＝ - ３４．设直线ＡＢ的方程为 ｙ＝ - ３４ｘ+ｂ ,代入ｘ２+ｙ２＝１得 :２５ｘ２-２４…     

三角形内三角函数值的求法

在解决三角形中有关三角函数的求值问题时,要注意角的范围与三角函数值的联系与影响,通过对内在条件的挖掘,使隐含的条件显露出来。现就一常见类型问题的求解讨论如下：在△ＡＢＣ中,已知ｓｉｎＡ＝ｐ,ｃｏｓＢ＝ｑ,求ｃｏｓＣ。显然０＜ｐ≤１,－１＜ｑ＜１。　　（一）当ｐ＝１时,知Ｂ＋Ｃ＝π２,∴ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＢ＝１－ｑ２;　　（二）当ｑ＝０时,知Ａ＋Ｃ＝π２,∴ｃｏｓＣ＝ｓｉｎＡ＝ｐ;　　（三）当－１＜ｑ＜０时,知０＜Ａ＜π２,π２＜Ｂ＜π,∴ｃｏｓＡ＝１－ｐ２,ｓｉｎＢ＝１－ｑ２,∴ｃｏｓＣ＝－ｑ１－…     

玉米6-磷酸果糖-2-激酶/果糖-2,6-二磷酸酶基因的克隆

以玉米Ｆ１减弱表达基因的ｃＤＮＡ片段为探针，从建立的玉米ｃＤＮＡ的文库中分离到相应的ｃＤＮＡ克隆．经测序和序列同源分析证明，该ｃＤＮＡ编码６－磷酸果糖－２－激酶／果糖－２，６－二磷酸酶，其氨基酸序列与人类、大鼠、牛和鸡等动物肝脏相同基因对应区段的相似性分为为６５．７％，６３．４％，６３．７％和６１．２％．     

函数最值求法举隅

本文以“求函数ｙ＝４－ｃｏｓｘ２ｃｏｓｘ＋３的最值”为例,谈谈这种类型函数最值的几种求法：１利用弦的有界性此法是将原函数式变形,用ｙ表示某个角的弦,再利用弦的有界性,求出原函数的最值。解：由ｙ＝４－ｃｏｓｘ２ｃｏｓｘ＋３得ｃｏｓｘ＝４－３ｙ２ｙ＋１,∵｜ｃｏｓｘ｜≤１,∴４－３ｙ２ｙ＋１≤１。解得３５≤ｙ≤５,故ｙｍｉｎ＝３５,ｙｍａｘ＝５２万能置换法利用万能公式,将原函数式的分子、分母化为正切的二次式,再借助判别式,即可求得原函数的最值。解：令ｔｇｘ２＝ｔ,则ｙ＝５ｔ２＋３ｔ２＋５,即（ｙ…     

一个应用广泛的不等式

设ｘ、ｙ、ｚ是任意实数,Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,则ｘ２＋ｙ２＋ｚ２≥２ｘｙｃｏｓＣ＋２ｙｚｃｏｓＡ＋２ｚｘｃｏｓＢ．（＊）证　注意到Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π,将不等式（＊）移项、配方、整理,该不等式等价于（ｘ－ｙｃｏｓＣ－ｚｃｏｓＢ）２＋（ｙｓｉｎＣ－ｚｓｉｎＢ）２≥０．上面不等式显然成立,故不等式（＊）成立．不等式（＊）揭示了任意三个实数ｘ、ｙ、ｚ与满足条件Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝π的三个角Ａ、Ｂ、Ｃ的余弦值之间的一个重要关系．在解题中灵活地运用这个不等式,可使有些证明难度较大的不等式获得简洁、巧妙的证明．例１　在△ＡＢＣ…     

成果集锦

倒数方程的一种解法命题１ｘ＝ｃｏｓθ±ｉｓｉｎθ是方程ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ的解．代入计算即知,且由棣莫佛定理知命题２若ｘ＋１ｘ＝２ｃｏｓθ,则ｘｎ＋１ｘｎ＝２ｃｏｓｎθ（ｎ∈Ｚ）．由此即知形如ａ０（ｘｍ＋１ｘｍ）＋ａ１（ｘｍ－１＋１ｘｍ－１）＋…＋ａ...     

“sinnA+sinnB+sinnC”的最小值

ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的下界就一般△ＡＢＣ来说是０,而本文主要就非钝角三角形情况,来探讨幻ｓｉｎｎＡ＋ｓｉｎｎＢ＋ｓｉｎｎＣ的最小值问题． 当ｎ＝１或２的时候,易证所求的下界为２,本文着重于ｎ≥３的情况． 设ｙ＝ｓｉｎｎｘ,则ｙ’＝ｎｓｉｎｎ－１ｘｃｏｓｘ,再求导得： ｙ”＝ ｎ（ｎ－１）ｓｉｎｎ－２　ｘｃｏｓｘ－ｎｓｉｎｎｘ ＝ｎｓｉｎｎ－２ｘ［（ｎ－１）ｃｏｓ２ｘ－ｓｉｎ２ｘ］． 当 ｔｇｘ≤ 　　　　　ｙ”≥０,此时ｙ＝ｓｉｎｎｘ是凸函数,应用有关凸函数性质可知：（１）当ａｒｃｔｇ　　…     

利用平方关系巧解一类三角题

在三角函数的八个基本恒等式中 ,平方关系是最基本的同时也是应用最广泛的恒等式 ,特别是对于一些特殊的三角函数式的证明、计算、化简 ,如能巧妙地运用平方关系则可使解题过程大为简化 .下面从几个例子加以说明 .例 1　化简1 ｓｉｎｘ-ｃｏｓｘ1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ.解　注意到本题分子与分母中只有ｃｏｓｘ前符号相反 ,而其余各项对应相等 ,故而设法利用平方关系使得分子与分母相同 ,使本题得以化简原式 =( 1 ｓｉｎｘ -ｃｏｓｘ) ( 1 ｃｏｓｘ)( 1 ｓｉｎｘ ｃｏｓｘ) ( 1 ｃｏｓｘ)=ｓｉｎｘ( 1 ｃｏｓｘ) ( 1-ｃｏｓｘ) ( 1 ｃｏｓｘ)…     

Josephson结的理论模型和特性分析

对Ｊｏｓｅｐｈｓｏｎ结的一种理论模型进行了研究,通过求解其相应的Ｆｏｋｋｅｒｐｌａｎｃｋ方程,得到热涨落存在时Ｊｏｓｅｐｈｓｏｎ结的电流－电压特性曲线,结果表明：热涨落对Ｊｏｓｅｐｈｓｏｎ结的电流－电压特性会产生较大的影响。这个结果与已有的实验结果是完全一致的。     

单位根在计算三角函数连乘积中的应用

首先给出单位根的一个重要性质：性质１设ｎ∈Ｎ且ｎ＞１,εｋ＝ｃｏｓ２ｋπｎ＋ｉｓｉｎ２ｋπｎ（ｋ＝,０,１,２…,ｎ－１）是ｎ次单位根,则有εｋ＝εｎ－ｋ．（１）证事实上,有εｋ＝ｃｏｓ２ｋπｎ－ｉｓｉｎ２ｋπｎ＝ｃｏｓ２（ｎ－ｋ）πｎ＋ｉｓｉｎ２（...