欧氏空间中保定角线性变换的刻划

引入欧氏空间的保持定角线性变换,得到一些重要结论,如：任一保定角θ线性变换都是正交变换与数乘变换的乘积。     

欧氏空间的保角线性变换的分解

<正> 在欧氏空间中任何一个正交变换(保持任何两个向量的内积不变的线性变换)一定保持任何向量的长度不变,也保持任何两个向量夹角不变。如所熟知,保持任何向量长度不变的线性变换一定是正交变换。但保持任何两个向量间夹角不变的线性变换未必是正交变换。那末保角线性变换究竟是什么样的线性变换呢?本文证明:一个线性变换是保角的,当且仅当     

关于n维欧氏空间子空间的正交补

分别从欧氏空间中的线性变换、正交变换,对称变换来讨论它们的不变子空间的正交补,并讨论了欧氏空间的子空间的正交补的交与和。     

关于n维欧氏空间子空间的正交补

分别从欧氏空间中的线性变换、正交变换、对称变换来讨论它们的不变子空间的正交补 ,并讨论了欧氏空间的子空间的正交补的交与和。     

欧氏空间中保定角线性变换的刻划

引入欧氏空间的保持定角线性变换,得到一些重要结论,如：任一保定角θ线性变换（θ≠０,π） 都是正交变换与数乘变换的乘积     

正交变换可对角化的几个充要条件

线性变换是否可以对角化的问题是高等代数中重要的研究对象之一,而正交交换是欧氏空间中一类重要的线性变换,当前所用高等代数教材只给出了正交变换的几个判别法,而没有讨论正交变换的对角化问题,本文将给出正交变换可以对角化的几个充要条件。     

关于线性代数中的两个结果

本文讨论正交变换的可逆性和分块对角阵的对角化。并得到如下结果:(1)有限性欧氏空间中的正交变换是可逆的。而无限维欧氏空间中的正变换是不一定可逆的。(2)分块对角阵可对角化的充要条件是它的每个子块阵可对角化。     

对一道高代习题的讨论

书[1]中的欧氏空间部分,有这样一道习题:“设σ是欧氏空间 V 到自身的一个满射,且对于任意ζ∈V,都有|σ(ζ)|=|ζ|.证明,σ是 V 的一个线性变换,因而是正交变换.”笔者认为题目的条件是不够的。例如,实数域 R 对于实数的加法和乘法,作成它自身上的一个向量空间.如果在其中还定义了内积任取 x,y∈R,规定     

正交变换及其推广

正交变换是欧氏空间中一类相当重要的线性变换,其性质应用十分广泛.本文将正交变换推广为满足|σ(ξ)|=α|ξ|(α>0)的一类线性变换,同时引进了α-正交组、α-正交基、α-正交矩阵的概念,然后讨论推广后的线性变换所具有的性质.     

欧氏空间的变换是正交变换的条件

本文给出了欧氏空间的变换是正交变换的两个判定条件，并修正了文[1]中的一个证明。     

欧氏空间的等角变换

通过给出欧氏空间上的一种不改变向量夹角的线性变换──等角变换的定义，由此导出一些有趣的结论，丰富了欧氏空间上的线性变换的理论，并有一定的应用意义．     

同构对线性空间和欧几里得空间的作用及推广

讨论了同构映射对线性空间及欧氏空间的作用,同构的线性空间及欧氏空间之间的性质; 通过同构映射来研究欧氏空间中线性变换的作用,并着重对对称变换进行了分析.     

正交变换的分类

正交变换是欧氏空间中一类非常重要的变换,在高等代数体系中起着重要的作用,根据本征值的不同,给出了正交变换在二维空间下的分类,得到四种不同的情形。     

欧氏空间的变换为线性变换的充要条件

借助内积关系，给出了欧氏空间的变换是线性变换的两个充要条件，并由此得到一些相关结论。     

欧氏空间的变换为线性变换的充要条件

借助内积关系 ,给出了欧氏空间的变换是线性变换的两个充要条件 ,并由此得到一些相关结论 .     

共轭变换的几个性质

文[1]给出了欧氏空间线性变换的共轭变换的定义及一些基本性质。本文将给出另外几个性质。 设V为一欧氏空间,T是V的线性变换,如果对于V的任意向量α,β均有 (Tα,β)=(α,T~*β) 则T~*是V的线性变换,并且T~*是由T唯一决定的。称T~*为T的共轭变换。 V中每一线性变换T都有共轭变换T~*,并且T与T~*互为共轭变换。(见文[1]习题993.994) 引理 设T为n维欧氏空间V的线性变换,且T在V的标准正交基e_1,e_2,…,e_n的矩阵为A,则T的共轭变换T~*在这个基下的矩阵为A'。     

欧氏空间的等积变换的性质

首先给出了欧氏空间的等积变换的定义.其次给出4个引理并利用这些引理给出了有限维欧氏空间的两个线性变换为等积变换的充要条件,其中一个充要条件反应了两个等积变换在规范正交基下的矩阵关系,另一个充要条件反应了两个等积变换之间的关系.最后给出了无限维欧氏空间为等积变换的一个充要条件及等积变换的一个性质.     

欧式空间上的变换是线性变换的充分条件

研究了欧式空间上线性变换的若干问题,推导出欧式空间上的变换是线性变换的充分条件。     

欧式空间的一个推广

欧式空间指出:若V是数域F上的一个n维线性空间,α1,α2,…,αn是V的一个基,那么对于V中的任意n个向量β1,β2,…,βn,恰有V的一个线性变换σ,使σ(αi)=βi(i=1,2,…,n);在欧式空间中把它给推广,即在一定的条件下,找到存在一个正交变换σ,使得σ(αi)=βi(i=1,2,…,m)成立的充分必要条件,并给出相关题目的证明。     

内积与线性变换初探

内积与线性变换是高等代数的两个重要内容.探讨内积与线性变换有助于深入理解二者之间的关系,促进知识体系的系统化、网络化.初步探讨了内积关系与线性变换,即当欧氏空间V的变换满足一定的内积关系时,它便是V的线性变换,并将线性变换作了进一步推广,推广至n维欧氏空间及酉空间.