关注圆锥曲线的“通径”

《解析几何》(必修 )第 1 0 1页介绍了抛物线的通径 :经过抛物线y2 =2px的焦点F ,作一条直线垂直于它的对称轴 ,和抛物线相交于P1 、P2 两点 ,线段P1 、P2 叫做抛物线的通径 .类似的 ,我们也可以定义椭圆和双曲线的“通径” :过椭圆 (双曲线 )的焦点 ,作垂直于长轴 (或实轴 )的直线 ,则直线被椭圆 (双曲线 )截得的线段叫做椭圆 (双曲线 )的“通径” .不难求出抛物线的通径长为 2p ,椭圆和双曲线的“通径”长都是2b2a .圆锥曲线的“通径”是一条重要的线段 ,值得我们重视 .现举例说明如下 :一、“通径”在高考中的体现【例 1】　 ( 1 995年…     

与椭圆有关的一类张角问题

文[1]给出定理: A1A2是椭圆的长轴,M1、M2是长轴上关于中心O对称的两点.P是椭圆上任意一点,当张角∠M1PM2最大时、P与椭圆短轴端点重合. 文[1]对该定理的证明过于复杂,本文给出一个简证.并对相关的一类张角问题作出进一步的探讨.     

椭圆的一个几何特征

圆锥曲线有很多优美的几何特征,随着对其研究的逐步深入,新的几何性质不断被发现.下面就是笔者新近发现的椭圆的一个独特性质.定理椭圆的长半轴为a,短半轴为b,中心为O,过椭圆上一点P作长轴的垂线交辅助圆于点A,B,延长半径OA交P点的法线于点C,半径OB交P点的法线于点D,则OC=a b,OD=a-b,CP=PD.图1证明如图1,分别以椭圆的长轴、短轴所在直线为x轴、y轴建立直角坐标系.设椭圆的方程为b2x2 a2y2=a2b2(a>b>0),辅助圆的方程为x2 y2=a2.设P点坐标为P(x0,y0),则b2x20 a2y20=a2b2,过切点P的法线方程为a2y0x-b2x0y=(a2-b2)x0y0.因为AB垂直于x…     

判定直线与椭圆、双曲线位置关系的一种几何方法

文[1]曾介绍了判定直线与椭圆、双曲线位置关系的两个重要结论: 定理1直线上一点到椭圆两焦点的距离之和的最小值(1)小于长轴长则直线与椭圆相交;(2)等于长轴长则直线与椭圆相切;(3)大于长轴长则直线与椭圆相离.     

关于圆锥曲线顶点的一个几何特征

文 [1]揭示了圆锥曲线离心率ｅ的几何性质 ,读文联想 ,发现圆锥曲线的顶点也有一个美妙的几何特征 .定理 1　设Ｐ是椭圆上 (除长轴端点 )任意一点 ,Ｆ1、Ｆ2 是椭圆的两个焦点 ,则△ＰＦ1Ｆ2 的与焦半径相切的旁切圆切长轴于相应的顶点 .　　　　　图 1证明　如图 1,设△ＰＦ1Ｆ2 的旁切圆⊙Ｉ切焦半径ＰＦ1于点Ｑ ,切另一焦半径Ｆ2 Ｐ的延长线于点Ｍ ,与长轴Ａ1Ａ2 所在直线切于点Ｎ .根据椭圆的定义和圆的切线长定理 ,得2 ｜ＮＦ1｜ =｜ＮＦ1｜ ｜Ｆ2 Ｑ｜=(｜ＮＦ2 ｜-｜Ｆ1Ｆ2 ｜) (｜ＰＦ1｜-｜ＰＱ｜)=｜ＭＦ2 ｜- ｜ＭＰ｜ ｜ＰＦ1…     

椭圆和双曲线的性质与应用

本文介绍椭圆和双曲线的一个垂直性质与应用,供读者参考. 定理1 经过椭圆x/a2+y/b2=1(a＞b＞0)准线和x轴的交点E且倾斜角为θ的直线与椭圆相交于A,B两点,O是椭圆中心,则OA上⊥OB的充要条件是sinθ=b/a√a2-b2/a2+b2.     

把握核心知识 彰显教育价值——道课本例题引发的探究与思考

正椭圆是圆锥曲线的核心内容之一,椭圆的方程、几何性质等核心知识与圆有很多相似之处.最近,笔者遇到了一次学生的追问,引发了一场意外的探究,感触颇深.现整理出来,与同行们交流探讨.1问题再现人教A版选修2-1第41页例2及题后思考:题目如图1,在圆x~2+y~2=4上任取一点P,过点P作x轴的垂线段PD,D为垂足.当点P在圆上运动时,线段PD的中点M的轨迹是什么?为什么?     

圆锥曲线焦点弦的一个统一结论及其应用

寻求较好的解题途径是解决解析几何问题的关键.本文探讨一类焦点弦问题的几何解法,并给出相应结论. 引例过椭圆 x~2/4 y~2=1左焦点 F 引直线截椭圆的弦被 F 分成上、下两段之比为2∶1,则该直线的斜率为_______.分析:有的学生是这样考虑的:先求得F(-3~(1/2),0),再设直线 AB 的方程为 y=k(x 3~(1/2)),再将该方程与椭圆方程联立,求出 A、B的坐标,最后由|AF|∶|FB|=2∶1求出斜率k.     

基于旦德林双球模型的椭圆定义教学

历史上,古希腊人先是从圆柱或圆锥的截口上发现椭圆.公元前3世纪,阿波罗尼斯（Apollonius）在《圆锥曲线》中采用了截线的定义,并由多个命题导出椭圆焦半径之和等于常数这一性质.如图1,点O为椭圆的中心,AB为椭圆的长轴,F₁和F₂为焦点,AC和BD与AB垂直,点P为椭圆上异于A、B的任意一点,椭圆在点P处的切线分别与AC和BD交于点C和点D.过     

椭圆专题探析

椭圆是人教版教材选修2-1第二章第二节的内容,是高考重点内容,本文作者多年从事高中教学,现就椭圆做专题研究.     

对《撑一支长篙,向更青处漫溯》一文中两个引申的纠正

正笔者拜读文[1]后发现,文中引申1与引申3的结论有误,现给出以下更正结论与作者商榷.文[1]引申1已知椭圆x~2/a~2+y~2/b~2=1(ab0)的左、右焦点分别为F_1(-c,0),F_2(c,0).A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,且直线AF_1与直线BF_2平行,AF_2与BF_1交于点P,则点P的轨迹是以F_1、F_2为焦点的椭圆.事实上,引申1是由2012年江苏高考数学第19题直接推广所得,由于A,B是椭圆上位于x轴上方的两点,所以满     

一脉相承 星火燎原——对两道姊妹题的探究

一、从联赛到自主招生,一脉相承题1(2010年全国高中数学联赛江西省预赛试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,若直线PQ在x轴、y轴上的截距分别为m,n,证明:(a~2)/(n~2)+(b~2)/(m~2)=(a~2)/(b~2).题2(2014年华约试题)已知椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1(a>b>0)和圆x~2+y~2=b~2,经过椭圆上的动点M作圆的两条切线,切点分别为P,Q,直线PQ与坐标轴的交点分别为E,F,求AEOF面积的最小值.     

圆与椭圆几何性质的类比探究

在椭圆方程b^2x^2＋a^2y^2=a^2b^2中,当a=b时,椭圆就变成了圆x^2＋y^2=b^2．因此,可以把圆看作是椭圆的一种特殊情形．椭圆的某些几何性质,利用“一般性寓于特殊性之中”,可以类比圆的几何性质而得到．事实上,圆的某些重要的性质推广到椭圆中仍然有类似的结论,这充分说明了椭圆与圆之间具有密切的内在联系．     

有感于“一道错误习题”所引发的探索

笔者曾碰到这样一个问题:已知椭圆x~2/b~2+y~2/b~2=1的右焦点为F,右准线与x轴的交点为D.在椭圆上存在一点P,使得∠PFD=60°、∠PDF=45°,求该椭圆的离心率e.解题过程如下:     

圆锥曲线的一个几何性质

众所周知,圆有以下几何性质:由圆心向圆的切线引垂线,其垂足在圆周上.与此类似,圆锥曲线亦有如下性质:从椭圆、双曲线侏点向任一切线引垂线,垂足的轨迹为圆;过抛物线焦点向切线引垂线,垂足的轨迹为过抛物线顶点且与轴垂直的直线.为证明此结论,先证明:引理1:椭圆 x~2/a~2 y~2/b~2=1上任一点 P(x_0,     

几何方法在最值问题上应用点滴

最值问题是初等数学中经常碰到的一类问题 .有些最值问题用常规代数方法较难入手 ,但若把问题适当变形 ,揭示其相应的几何意义 ,问题实质就直观清楚 ,易于解决 .例 1　已知ｘ2 +2ｙ2 =1 ,求ｚ =ｘ2 + ｙ2 -4ｘ + 4最值 .解　由条件知ｘ2+ 2 ｙ2 =1是中心在原点 ,长轴在ｘ轴上的椭圆 ,它与ｘ轴交于Ｍ(-1 ,0 ) ,Ｎ(1 ,0 ) .设Ｐ(ｘ ,ｙ)是椭圆上任一点 ,则ｚ =(ｘ-2 ) 2 + ｙ2 就是Ｐ(ｘ ,ｙ)与点Ａ(2 ,0 )距离 ｜ＡＰ｜ ,由图易知 ｜ＰＡ｜≤｜ＡＭ ｜ ,｜ＰＡ｜≥｜ＡＮ｜ .∴ｚｍａｘ =｜ＡＭ｜=2 + 1 =3 ,　ｚｍｉｎ =｜ＡＮ｜=2 -1 =1 .…     

直线与椭圆相切条件的几种几何解释

受直线与圆的位置关系判断方式有代数法和几何法两种的启发,笔者从直线l:Ax+By+C=0与椭圆E:x2/a2+y2/b2=1相切的条件"a2A2+b2B2=C2"出发,通过代数式的变形,发现了有趣的几何意义,在此与大家共享.1结论     

辅助圆的应用四例

一些从表象上看与圆无关的问题,可以充分利用有圆特性的有关条件,巧妙引入辅助圆,利用圆丰富优美的几何性质解决,这真可谓锦上添花.一、求解点的坐标例1(2010年高考天津卷)%已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率e=3%姨2,连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.(1)求椭圆的方程;(2)设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B,已知点A为(-a,0),点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分线     

简化解析几何计算的若干策略

一、巧妙运用定义例1已知点F是椭圆x^2/25=1的右焦点,M是该椭圆上的动点,A（2,2）是一个定点,试求｜MA}＋5/4｜MF｜的最小值．     

一堂“精彩”叠出的探究课

近日,在《椭圆的几何性质》一节（人教A版选修2—1）的教学课堂上,我举了下面例题：放在地面上的铁球在太阳光的照射下得到一个离心率为√3／2的椭圆,求此时太阳光与水平面所成的角α的大小．