活用知识多角度解题

中学数学教材知识的编排是按章节分类的 ,知识点之间缺乏相互联系 .活用所学知识 ,把章节之间的知识相互渗透 ,多角度解答数学问题 ,是学好初中数学的关键 .1　利用三角形面积证明几何题例 :求证等腰三角形底边上任一点与两腰的距离的和等于腰上的高 .已知 :如图 1△ABC中 ,AB =AC ,DE⊥AB ,DF⊥BC ,CG⊥AB .求证 :DE +DF =CG图 1分析 :连结AD ,易知S△ABD =12 AB·DE ,S△ADC =12 AC·DF ,S△ABC=12 AB·CG ,AB·DE +AC·DF =AB·CG ,而AB =AC ,故DE +DF =CG .2　利用辅助圆解答几何题例 :如图 2等腰△ABC…     

关于三角形面积比的定理及其应用

本文给出三角形与其内接三角形而积比的一个定理,并举例说明它的一些应用。 定理设D、E、F分别在△ABC的BC、推论2锐角△ABC,,(J三条高线分别文啥各边于D、E、F,则矛、AB边上,并且名召二‘1,入。,连接DE、万F、FD,妇① 502,:F S‘刁,。 于企论3D、E、F, S。,,:, S。刁,‘;=Zco“A·CO”B·eo、C③ △A刀C的内切圆分别切各边于则有 一一FBAF2(s一a)(s一b)(s一e) abc① +入·)(‘洛八1八S‘。。;_亏石品一(I一子一入证明如图一,连接CF,设+入,)(1+翻丝EA则51=S‘;。z,,52=S‘。,。,s。=S‘,;。于是有501,:r=S‘刁:e一(S;+…     

相似形的考点分析及复习研究(续)

(接上期) 例3(2000年河北省)已知:如图,在△ABC中,D是BC的中点,且AD一AC,DE上刀C,DE与AB相交于点E,EC与AD相交于点F.(1)求证:△ABC的△FCD;(2)若S△;e。=5,BC=10,求DE的长. (1)略. (2)略解作AM土BC于M.,.’ BC一ZCD,D MC:.概一(器{’一4.·、凡一20二,.A“一‘·‘:D“刀A“,.’.篇-BD二~二,ZX了5 n.,15.~。8丽·‘:DM一着一言,BM一管,·,. DE一着· 评注本例运用了三角形相似的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线分线段成比例等知识,有一定的能力要求.在第(2)问中,作了AM土BC后,就构造出与△EBD相似的…     

三角形单元测试

.,--。--。,月·-,·--,月.…刀。月月.‘:,.1.,‘‘;‘巨;;:tl 一、填空题 1.在△ABC中,已知乙A=800,乙B二700,则乙C= 2.小明想用三根木条围成一个三角形框架,他现有的两根木条长分 别为6和8,那么他应找的第三根木条的长度范围是(不改变木条 长短). 3.如果△ABC中,乙A=2乙B=3乙C,则△ABC是三角形(按 角分类). 4.如图,乙1=乙2,Ac=DF,那么只需再补充一个条件气就能使 △ABc鉴△2〕EF,其理由是_.A EB (第4题)(第5题) 5.如图,铁路上A、B两站相距25km,C、D为两个村庄刀月上AB于 A,C召土AB于B.已知口月=巧km,C刀=10 km,现在要在铁…     

梅涅劳斯定理及其应用

(本讲适合初中)1梅氏定理及其逆定理1·1梅氏定理一条直线截△ABc的三边BC,CA,AB或其延长线于D,E,F,则刀DC五AF一.一-一二二._刀C石A FB=工。证法一(平三二*一‘/月BD_S△FBDDes全;ne’CE_S△cE,_S△cED石亘一s△丽蔽一亏乙而石,仁里=芝叠‘些迎土S全卫旦D=逻些卫卫少刀且S△人;:+S△人EDS△人;D,AF_S么人牙D尸丑S△二BD,BDDCCEEAAF_;乡石一人·行线成比例法) 如图1,过C作CK才AB,交FD于K,则1·2梅氏逆定理在△ABC的边B矶CA,AB或其延长线上分别取点D,刀,F.如果有BDDCCE AF刀AF刀“1,那么D,E,刀DDC_刀F…     

三角形内接三角形的周长

命题设△D刀F为△ABC的内接二角形,BC=、.C几=乙,刀B=:,l为△D刀尸r认周长,叮l,} l一口c。:魂{一乙cosB十cc。:C.(1)其中等号当且仅当八ABC为锐角三角形,且△D刀F为垂足三角形时成立. 证设R为△ABC外接圆的半径,其它字母含义如图示,则 (a, 夕; ,7) (a: 口: 了2)F刀尸厂声」 =36     

对一个猜想的探索

设△ DEF 为锐角△ ABC 的垂足三角形,并设 BC = a,CA = b,AB = c; A EF = a0,FD = b0, DE = c0 . F分别设△ ABC 、△ DEF 、 E△ AEF 、△ BDF、△CDE B的外接圆半径、内切圆半径、     

关联周界中点三角形的一个性质

文[1]给出了关于三角形外角平分线构成的三角形的一个性质,将其推广到周界中点三角形中得到.定理如下图,设D、E、F分别为△ABC的边BC、CA、AB上的周界中点,且△ABC与△DEF的三条中线长分别为ma,mb,mc,及ma1,mb1,mc1,则有222ma+mb+mc111≤4(ma2+mb2+mc2),(1)当且仅当△ABC为正三角形时取等号.为行文方便,约定BC=a,CA=b,AB=c,s=(a+b+c)/2,EF=a1,FD=b1,DE=c1且AE=BD=s?c,AF=CD=s?b,BF=CE=s?a,△ABC的面积、外接圆半径、内切圆半径分别为?,R、r.证明如上图,在△AEF中应用余弦定理及cos2()2A s s abc=?,?2=s(s?a)(s?b)(s?c…     

1986年全国高中联赛第二试第二题必要性的几种证法

题:己知锐角三角形姓方口的外接圆半径是R,点D,E,F分别在边刀C,C月,AB上. 求证:AD,刀皿,口尸是△了飞刀c的三条高的充要条件是乙尸AB,乙A召刀.又B,c,刀,F四点共圆:.艺ACB,匕通F刀.乙尸AB,艺AF刃.:.p口//F刀,OA土FE.s二旦一(刃F、FD一{一。: 匕:.名四边形。E人r 1。二二:.~;犷嘴、声 匕生·刃F式中刀是△」BC的而积 证明:设刀四边形。创m_鱼一艺O刀。FDS四边形。DcE 1二~百()子少. 心D刃//"△AB口的外接圆的圆心为。,三个内角为J‘1、B、C,B口““,口_1二b,_注刀“c. 丫沙、一1刀C是锐角三角形, .’.点O在△」B口内.从…     

一个命题的纯几何证法

命题AC=b, 证 在△A BC中,BC=a,AB=匕A=20’,求证a“+b3=3ab2.交则如图,作BD=aAC于D,作DE土AB于E,△BDC伪△A BC,。c=丁.:t△。。。中,匕D召君=6。。,”“=普,”E二定理:a,在R、△AED中用勾股一3亿(“一普)“+(誉·)’、./az一b 一 ,口了、化简即得欲证. (作者单位:浙江温州师专)一个命题的纯几何证法@郭培仁$浙江温州师专~~     

切点三角形的几个性质

三角形的内切圆与各边相切于三点所构成的三角形我们称之为切点三角形.文[1]给出了外角平分线三角形几个有趣的性质,本文将其推广到切点三角形中得到定理设I为?A BC的内心,I切边BC、CA、AB于点D、E、F,记BC=a,CA=b,AB=c,EF=a1,DF=b1,DE=c1,△ABC与△DEF的面积、半周长、外接圆半径、内切圆半径分别为?、P、R、r,及?'、P'、R'、r',则'2r?=R?;(1)'1p≤2p;(2)'1r≤2r;(3)22211122214a b ca b c++++≤;(4)当且仅当△ABC为正三角形时(2)、(3)、(4)取等号.证明(1)如上图,连结ID、IE、IF,易知ID=IE=IF=r=R',由Euler不等式:R…     

巧用面积公式证明几何题

用三角形的面积公式S△A BC=12aha=21bhb=21chc,证明几何题,过程简捷,思路清晰,方法奇妙独特,对解决问题有事半功倍的效果。现略举几例供同学们参考。一、证线段相等例1已知梯形ABCD中,AB‖BC、M在CD上,且S△A B M=21S梯形A BCD,求证:M为CD的中点。分析:由图1,若过D、M分别作DE‖MF‖AB交BC于点E、F,要证M为CD的中点,只需证EF=FC,也就是证S△AEF=S△DCF即可。证明:如图1,过D、M分别作DE‖MF‖AB交于BC于点E、F,连结AE、AF、DF,则S△AB M=S△ABF(等底等高等面积)图1又S△AB M=12S梯形ABCD∴S△ABF=12S…     

一个问题的推广

1问题的提出问题1526:△ABC中,∠C=90°,BC=a,AC=b,AB=c.D、E、F分别是AB、AC、BC上的点.若△DEF为等腰直角三角形,且∠EDF=90°,求△DEF面积的最小值.《数学通报》2005年第1期给出了该问题的解答,本文对该问题进行推广,得到以下定理△ABC中,∠C=θ,BC=a,AC=b,AB=c.D是线段AB上的点,E、F分别是直线AC、BC上的点.若△DEF满足条件:DE∶DF=k(k为正常数),∠EDF=180°-θ,则△DEF面积的最小值是k8abcR(a kb)2sinθ(其中R是△ABC外接圆的半径).(1)当△ABC为锐角三角形时,如图,设∠FDB=α,则∠DFB=180°-(α B).由于…     

数学问题与解答——2004年第2期问题解答

606.设锐角△ABC的外接圆00的半径为R,AO、BO、CO的延长线分别交BC、CA、AB于D、E、F,求证: 1 1 12 丽+丽十厉=元·因而,二下二+二二二十入刀万刀 1CF一矗(3+。。t口一‘:+一‘甲。。‘a+C。‘a一‘口,一是,这里用到三角形中的恒等式eo七口eot甲+eot守eot。+eot a eot口=1607.在△ABC中,C AB CO石二,CO不一口左nZ,2{-曰声目—万呼—气一 口一CC一aC()t, 2a一b=0,求证: 证:如图1,延长AD交庆少于点M,连CM,过A作AN一BC,垂足为N.设乙BAC=a,艺ABC二刀,乙ACB二7,由正弦定理AN=AB Sin月=ZR sin守sin尽 又乙M=乙ABC,乙A…     

数学单元测试题（课标人教版）

一、填空题(每题3分，共3o幻1.如图1，△ABC哭△刀召刀，AB=刀乙乙E二乙ABC，则乙c的对应角为_一，BD的对应边为_. 2.如图2，根据sAs，如果月B=Ac，_=_，即可判定△ABD鉴△ACE. 3.在△A Bc中，乙A=900，‘刀是乙C的平分线，夕讨B于刀点，DA=7，则刀点到BC的距离是4.如图3，△A召C中，乙C=goO沐C绍C，注D平分乙CA刀交刀C于点刀，DE土AB于点E，AB=1 Ocm，则△DEB的周长是_. 5.在△ABC和△刀君尸中，乙C=乙F=90o，AC二DF，若要证△ABC哭△DEF，则需增加一个条件为泻出三种情况)_. 6.如图4，AD是△ABC的高，A刀二…     

数学问题与解答：2003年第8期问题解答

591.AD、BE、CF是锐角△ABC的三条高,M、N分别是BE、CF的中点,求证:△DMN仍△ABC. 证:如图1,取BC、CA、AB的中点尸、Q、5.易知p、M、S和P、N、Q分别共线.连SQ、DS、DQ. A 尸/飞 592.设四面体ABCD的对棱AB、CD互相垂直,AB与CD的距离为d,四面体ABCDd一乃匕 相似文献   

不等式a~2+b~2≥2ab取等号条件的应用

众所周知不等式a艺十乙’卜2“b当且仅当a=b时取等号.1:面举例说明其应用. 例1.△ABC花条高为h、h。、h。,内切圆半径为:,若h才+hl,+h。=9:.则△ABC为lIi三角形. 证:设△AB口而积为S,则由已知条件得 25 25 259·25 不一+万一+。一=。十b十。,。。、‘:十。、·)(扣;·:)一,·、。+。·。)(;·;·:) /ba、二3十火。十b少、/c刀十.十/\叮当且仅当争异乡二抑一。二·时取等号. …△AB口为正三角形。 例2.解方程:二·‘nZ一‘n(誓一2·)二:.解:方程左边一4〔51一(飞一)勺·〔C。一‘n(梦一)〕..助............. 2簇4 ,万s‘n劣cosL万一劣)…     

探索三角形全等的条件检测题

一、坟空题1.判定两个三角形全等,必须具备件是个条件,其中至少有A个条河’2.如图l,A召//A‘B,,AC//A’C‘,AB=A’B,.若乙A二28“,则乙A’=_. 3.在△ABC和△DEF中,AB二刀E,乙A=乙D,AC二DF,则根据判定方法可以说明△ABC望△刀EF. 4.如图2,△ABC是不等边三角形,DE二Bc,分别以点D、点E为顶点作位置不同的三角形,使所作的三角形与△ABC全等,这样的三角形最多可以画出个.△二B CB‘C,图1月少。_ Ec月毛.,.!﹄口J.,乙口D尸.、门、︸rL,﹄洲︸、目口5.如图3,BC平分乙ABD,AB=刀刀,P为BC上任意一…     

巧构造 妙证题

不少几何题,虽然在给定的图形中没有明显的全等三角形,但我们可根据题目的特征巧妙地构造全等三角形,从而找到证题的思路. 一、平移法例1 已知△ABC中,AB=AC,E在AB上,F在AC的延长线上,且BE=CF,EF交BC于D,求证:DE=DF 分析:欲证DE=DF,图中无明显的全等三角形,这时可考虑去构造,过E作EG∥AF,交BC于G,只须证△DCF(?)△DGE即可.     

比例线段问题求解的基本思路

一、直接寻求相关相似三角形例1从直角三角形ABC的斜边AB的中点D引AB的垂线,分别与AC和BC的延长线交于E、F点,求证:CD2=DE·DF.分析:要证CD2=DE·DF,即证CDDE=DFCD,对照图1,易看出只要证C、D、E三点和C、D、F三点分别对应的三角形相似即可,即证△CDE∽△CDF。为此,还需证另一对角相等,易知∠A=∠F,而∠A=∠ACD,所以,∠F=∠ECD,得证。二、先寻找相等线段,替换求证式中的一条或两条线段,再寻求相关相似三角形例2CD是△ABC的∠C的平分线,它的垂直平分线和AB的延长线相交于E点,求证:DE是AE和BE的比例中项。分析:D…