从一个假命题说起

1 一个假命题命题:任一个三角形是等腰三角形.已知:△ABC(如图1).求证:△ABC 为等腰三角形.证明:如图2,作 AB 的中垂线 MD 交∠ACB 的平分线于 D 点,分别作 DE⊥BC,垂足为 E,DF⊥AC,垂足为 F,连结 BD、AD,则易知:DE=DF,BD=AD.     

解读四边形

【知识归纳】~~【例题分析】例1.已知:如图,四边形ABCD中,AD∥BC,点E是BC上一点,AE的垂直平分线分别交AD、AE、BC于点M、O、N,试判断四边形AMEN的形状并给出证明.解:四边形AMEN是菱形3/2005山西教育·初中版证明:AD∥BC∠1=∠2,MN垂直平分AE∠AOM=∠EON=90°OA=O△AOM≌△EON(AAS)OM=ONOA=O四边形AMEN是平行四边形AE⊥MAMEN是菱形例2.根据下列不同条件,计算梯形的面积.(1)如图1,梯形ABCD中,AD∥BC,AD=1,BC=4,AC=4,BD=3,求梯形ABCD的面积.(2)如图2,梯形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于点E,AE=12,BD=15,…     

值得一练的两道考查逻辑思维的几何证明题

一、试题1.试题1已知:如图1,四边形ABCD中,CB⊥BA于B,DA⊥BA于A,BC=2AD,DE⊥CD交AB于E,连接CE,求证:DE~2=AE·CE证明延长BA、CD相交于点F∵CB⊥BA,DA⊥BA(已知)∴DA//CB(同垂直于一条直线的二直线平行)在Rt△DAF与Rt△CBF中,∠CFB=∠DFA(公共角)∴ADAF~ACBF又∴DA=1/2CB(已知)∴CD=DF又∵ED⊥CF(已知)     

从一道中考题谈起

20 0 3年北京市中考题第 2 2题 :如图 1 ,在 ABCD中 ,点E、F在对角线AC上 ,且AE =CF .请你以F为一个端点 ,和图中已标明字母的某一点连成一条新线段 ,猜想并证明它和图中已有的图 1某一条线段相等 (只须证明一组线段相等即可 )连结 :　　　　 ;猜想 :　　　　 =　　　　 ;证明 :分析 　 若连结BF ,则可证明BF =DE ;也可连结DF ,证明DF =BE .证明 　 连结BF ,∵四边形ABCD是平行四边形 ,∴AD =BC ,AD ∥BC ,∴∠DAE =∠BCF ,又AE =CF .∴△ADE ≌△CBF(SAS) ,∴BF =DE .点评 :本题所给出的图形是一个平行四边形中…     

利用三角形全等证明有关问题

利用三角形全等可证明线段相等,以及证明与线段相等有关的线段和、差、倍、分等问题;还可证明两角相等,以及证明与两角相等有关的线段平行、线段垂直等问题.例1如图,∠BAC=90°,AB=AC,F是BC上一点,BD⊥AF于D,E为AF延长线上一点,CE⊥AE,求证:DE=AE-CE.证明:∵CE⊥AE,BD⊥AF于D,∴∠AEC=∠BDA=90°.∴∠1=90°-∠3=∠2.在△AEC和△BDA中,∵∠1=∠2,∠AEC=∠BDA,AC=AB,∴△AEC≌△BDA.∴CE=AD.∵DE=AE-AD,∴DE=AE-CE.例2如图,在△ABC中,D是AB的中点,DE∥BC交AC于E,F是BC上的点,BF=DE,求证:DF∥AC.证…     

一道三角形内接矩形问题的变式探究

<正>一、例题呈现及一般结论例1如图1,在等腰△ABC中,底边BC=60cm,高AD=40cm,四边形PQRS是正方形.(1)△ASR与△ABC相似吗?为什么?(2)求正方形PQRS的边长.解∵四边形PQRS是正方形,所以SR//BC,∴∠ASR=∠ABC,∠ARS=∠ACB. ∴△ASR∽△ABC.可得AE/AD=SR/BC.设正方形的边长为x cm,则AE=(40-     

一道有趣的平面几何小题

如图1,在四边形ABCD中,∠ABC=∠D=90°,AB=BC,BE⊥AD,垂足为点E,则结论1 BE=DE.证明:过点C作CG⊥BE于G,如图2,则有矩形CDEG,CG=DE.易证△BAE≌△CBG,所以BE=CG=DE.结论2(1)BE=AE+CD;(2)2BE=AD+CD.证明:(1)由矩形CDEG得GE=CD.由△BAE≌△CBG得AE=BG,所以BE=BG+GE=AE+CD.     

构造基本图形灵活运用性质

如图1,若OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分别是D、E,则PD=PE;反之,若PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,且PD=PE,则点P在∠AOB的平分线上,即OC平分∠AOB.这就是角平分线的性质定理及其逆定理,图1是定理的基本图形,很多几何题都含有该图的“影子”,因而可以简捷地利用基本图形来解题.例1已知:如图2,BD平分∠ABC,AD=CD,求证:△ABD≌△CBD.分析:直接证明这两个三角形全等缺少条件,由BD平分∠ABC联想到角平分线性质定理的基本图形,过D作DE⊥AB,DF⊥BC,垂足分别是E、F,则DE=DF:由“HL”易证Rt△DFC≌Rt△…     

试卷评阅后之所思

原题已知AB=AC,CD⊥AB于点D,BE上AC于点E,BE与CD相交于点O,(1)求证:AD=AE.(2)连接OA、BC,试判断直线OA、BC的位置关系并说明理由.提供的标准答案:(1)证明:如图1中,在△ACD与△ABE中,∵.∠ADC=∠A EB=90°,∠A=∠A,AC=AB,∴△ACD≌△ABE.∴AD=AE.(2)互相垂直;证明连接OA、BC,如图2,在Rt△ADO与Rt△AEO中,     

三角形内角平分线定理在几何题中的应用

1.证明线段成比例 例1 在△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥C,∠ABC的平分线交AD于F,交AC于E,求证:DF:FA=AE:EC.(初中《几何》第二册总复习题18题)。 思路:如图1,由本题结论特点,可寻找第三个比:分别在△ABD和△ABC中应用三角形内角平分线定理,得DF/FA=BD/AB和AE/EC=AB/BC.如果BD/AB与AB/BC相等,问题即解决。由直角三角形比例中项定理可得AB~2=BD×BC,即BD/AB=AB/BC.     

一道中考题的面积解法

题目:(2001年无锡市27题)如图1,已知在梯形ABCD中,AD//BC,BC=3AD,E是腰AB上的一点,连结CE,(1)略.(2)设△BCE和四边形AECD的面积分别为S1和S2,且2S1=3S2,试求BE/AE的值.     

多姿的梯形面积公式

梯彤的面积S=1/2(上底+下底)×高,是大家都知道的,本文介绍另几种计算方法,并举例说明它的应用,供读者参考. 定理1 已知ABCD是梯形,AB//CD,E是BC中点,EF ⊥DA,F是垂足,则梯形ABCD的面积S=AD·EF. 证明:如图1所示,经过C作CG//DA交AB于G,交EF于H,连结EG,则AGCD是平行四边形,CG=DA,其面积S1=AD.FH.因为E是BC中点,所以△CBG的高是△CEG的高的2倍,而它们共底CG,所以S△BcG=2S△EGc,故梯形ABCD的面积S=S1+ S△BCG=AD· FH+2S△EGC=AD·FH+CG· HE=AD· FH+AD· HE=AD(FH+HE)=AD.EF.     

一道美国数学竞赛题的巧证

贵刊81年第五期刊登了《一道美国数学竞赛题的简证》.在教学活动中.发现我的学生对这个题目的原命题有更巧妙的证明,现介绍如下: 已知:空间四边形ABCD中(A、B、C、D不共面)AD=BC,AB=DC,AM=MC,DN=NB 求证:MN⊥AC, MN⊥BD 证明:连结AN,NC,把△ABD绕BD平放到△BCD所在的平面内(注意,AB,AD、AN的长度未变).这时以ABCD是一个平面四边形.∵ AD=BC,AB=DC ∴ABCD是一个平行     

对一道预赛试题的进一步探究

<正>1 原题再现(1)试题(2018山西省预赛第10题)如图1,圆内接四边形ABCD中,自AD的中点M作MN⊥BC,ME⊥AB,MF⊥CD,N、E、F为垂足.证明:MN过线段EF的中点.(2)参考解答如图2,在线段AB、CD上分别取点G、H,使AE=GE,DF=HF,则A、G、H、D四点共圆(以M为圆心),所以∠BGH=∠ADC=180°-∠ABC,于是GH//BC,则MN⊥GH,设垂足为X,于是X为GH的中点.     

巧用角平分线性质证明

角平分线是指把一个角分成两个相等的角的射线.关于角平分线具有如下重要的性质:角平分线上的点到角的两边的距离相等.对于一些含角平分线条件的证明问题,巧用这个性质,能简化解题过程,达到事半功倍的效果例1如图,△ABC中,AD平分∠BAC交BC于D,且BD=CD,DE、DF分别垂直于AB、AC,垂足为E、F,求证:EB=FC.证明:∵AD平分∠BAC,又DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,∴DE=DF.在△BDE和△CDF中,∵∠DEB=90°,∠DFC=90°,DE=DF,BD=CD,∴Rt△BDE≌Rt△CDF(HL).∴EB=FC例2如图,△ABC中,O为∠A、∠B平分线的交点,OD⊥BC于D,OE⊥…     

巧添辅助圆

许多几何问题,若能恰当添出辅助圆,充分利用圆的丰富性质,便能获得简捷巧妙的解法.　例1　在△ABC中,∠ABC=∠C,∠A=100°,BE是∠B平分线,求证:AE+BE=BC.图1证明　作△ABE的外接圆交BC于D,连结ED.∵∠A=100°,AB=AC,∴∠ABC=∠C=40°.又∵BE平分∠ABC,∴∠EBD=20°,AE=DE,∴AE=DE.又∵四边形ABDE为圆内接四边形,∴∠DEC=∠ABC=40°,∴∠DEC=∠C.∴DE=DC,∴AE=CD.∵∠BDE+∠A=180°,∠A=100°,∴∠BDE=80°,∴∠BED=80°,∴BE=BD,∴BC=BE+AE.　例2　已知等腰梯形ABCD中,AD∥BC.AD=a,BC=b,AB=CD=…     

一道国家集训队选拔考试题的简证

题目　在锐角△ABC中 ,AD是∠BAC的内角平分线 ,点D在边BC上 ,过点D分别作DE⊥AC、DF⊥AB ,垂足分别为E、F ,连结BE、CF ,它们相交于点H ,△AFH的外接圆交BE于点G .求证 :以线段BG、GE、BF组成的三角形是直角三角形 .( 2 0 0 3,IMO中国国家集训队选拔考试 )图 1证明 :如图1 ,作DG′⊥BE于G′ ,AM⊥BC于M ,连结FG′.记∠ABC =α ,∠ACB =β,则BM =AMcotα ,CM =AMcotβ.由已知得BF =DFcotα,CE =DEcotβ ,DE =DF ,AF =AE .故 BFCE=tanβtanα=BMCM.因此 ,BF·CM·AECE·BM·AF=1 .在△ABC中 ,由…     

三角形的内接正方形的若干结论

三角形中内接正方形是常见的基本图形,它的一些结论有着广泛的应用.本文就三角形内接正方形的作图,面积关系及其应用作一探讨.1　三角形内接正方形的作法如图1,在锐角△ABC中,以BC为边作正方形BCDE,连AE、AD,交BC于F、G,分别过点F、G作FM⊥BC,GN⊥BC交AB于M,交AC于N,连MN,则四边形FGNM为△ABC的内接正方形.证明:由作法可得:MF∥BE∥NG∥DC,FG∥DE.所以MFBE=AFAE=FGED=AGAD=GNDC所以MF=∥NG且FM=FG,∠MFG=90°.　　所以四边形FGNM为△ABC的内接正方形.由作法可知,锐角三角形的内接正方形有3个.对于直角…     

中考中的四边形新题赏析

一、与平行四边形有关的问题例1(2012福建南平)如图,已知四边形ABCD是平行四边形,若点E,F分别在边BC,AD上,连接AE,CF,请再从下列三个备选条件中选择添加一个恰当的条件.使四边形AECF是平行四边形,并予以证明.备选条件:AE=CF,BE=DF,∠AEB=∠CFD.我选择添加的条件是:(注意:请根据所选择的条件在答题卡相应试题的图中,画出符合要求的示意图,并加以证明)解析添加的条件可以是BE=DF(答案不唯一).证明如下:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AD∥BC,AD=BC.∵BE=DF,∴AF=CE,即AF=CE,AF∥CE.     

“相似图形”易错题选析

[例1]已知两数3a和27a,那么这两数的比例中项是.[错解]9a.[剖析]此题错解的原因是把“求两个数的比例中项”与“求两条线段的比例中项”相混淆.两个数的比例中项应有正、负之分,而线段的比例中项只能为正.[正解]设这两个数的比例中项为x,则x2=3a·27a=81a2得x=±8a正解:±8a.[例2]如图,梯形ABCD中,AD//BC,对角线AC、BD相交于O,试问△AOB和△DOC是否相似?[错解]相似,理由如下:∵AD//BC∴AOOC=DBOO又∵∠AOB=∠COD∴△AOB△DOC[剖析]在比例线段AOOC=DBOO中,AO与DO夹的是∠AOD,BO与CO夹的是∠BOC,再由∠AOB=∠COD…