三角形方程是存在的

《中等数学》1986年第5期刊登的杨之先生的文章《关于“绝对值方程”的几个问题和猜想》中,提出了这样一个猜想:,“奇数条边的多边形的方程不存在,特别,三角形方程不存在.”这个猜想是不正确的.我们可构造出如下三角形方程:     

半正多边形

若干条线段首尾顺次相接,构成折线,每个顶点都关联两条边的折线,称为闭折线,无自交点的折线称为简单折线,简单闭折线称为多边形。如果折线一条边的两邻边折向同侧,就称之为单折边,否则,称为双折边。     

探讨圆内接多边形的边角关系

正我们在初中时就已经学过圆内接正多边形的一些性质和计算,本文将要探讨的是关于一般圆内接多边形的边角关系,包括边与角的关系和边与边的关系.以下n3且nN.1边与角的关系对于边与角的关系,我们在这里只研究关于已知各内角,求各边.通过作图、计算、分析,我们可以总结出圆内接奇数边多边形和偶数边多边形的边与角的关系的差异.1.1奇数边多边形的边与角的关系定理1.1:若已知半径为R的圆的内接奇数边多边形A1A2…An各内角,则它各边的公式为:     

两条封闭折线交点个数的最大值

定理 分别有m、n(m,n≥3)边的两条平面闭折线(无公共边),它们之间交点个数的最大值记为P(m,n)。则 mn,m、n均为偶数; P_(m,n)= (m(n-l),m为偶数,n为奇数; m(n-1),m、n均为奇数且m≥n. 我们采用典型的证明方法:先估计,再构造,但关键还需要如下的引理。 引理 直线l与闭折线L的交点数为偶     

试析多面体的定义

有这样一道竞赛题:“证明不能有这样的多面体存在,它有奇数个面,而它的每一个面都有奇数条边。(1956年北京市数学竞赛题)”其证明如下:“设有一多面体,它的面数F为奇数,各面的边数e_1、e_2、……e_F都是奇数。将各面的边数加在一起,就得到棱数E的2倍:e_1 e_2 … e_F=2E,这是由于每一条棱曾作为两个相邻面的边数两次。但左端是奇数个奇数的和,因而是奇数;而右端是偶数;所以得到矛盾     

对《浅谈折线与多边形的定义》一文的商榷

《天津教育》去年第九期《浅谈折线与多边形的定义》一文,对折线、凸折线、多边形等概念进行了探讨,作者的精神虽然可佳,但其思想方法和论点则是不科学、不确切的。作者要重新给折线下定义,是作者本人对定义中“若干不在同一直线上的线段”这段话理解错了,片面理解成若干线段中的任意两条线段都不能在一条直线上。定义的原意是非常清楚的,即指这些线     

关于圆外切闭折线的一个性质

对于三角形,下面的结论是熟知的[1]: 命题1 平分三角形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 这一性质可以推广到任意的圆外切多边形中[1]: 命题2 平分圆外切多边形的周长和面积的直线必经过三角形的内心. 本文拟将这一性质作进一步推广,证明关于圆外切闭折线的一个性质. 约定 符号121nAAAADL表示闭折线12AA 1nAAL的有向面积[2],ABCD表示△ABC的有向面积. 定理 设闭折线121nAAAAL有内切圆⊙(,),,IrMN分别是边12AA、1kkAA (1,kn相似文献   

浅谈折线与多边形的定义

在初中平面几何三角形一章的教学中,翻阅有关书籍时,发现对折线、多边形的定义问题阐述得不确切,所以提出个人的一些看法与老师们探讨。一、有关折线的定义 1.教科书对折线没做文字阐述,只在图1—8中有两条折线作为与线段比较长短而出现。《几何辞典》(上海科学技术出版社1981年版)中折线的定义是: 折线:[英]Broken line许多直线端与     

例谈求多边形边数的不同思路

求多边形边数是中考的常见考点,也是初中数学知识中重要的一部分.考查多边形边数的形式多种多样,相关的问题也都十分灵活.求多边形边数的基本方法有:利用内角和求多边形边数、利用内角和外角相互转化求多边形边数、列方程求多边形边数等.本文以不同例题为分析对象,具体分析解答求多边形边数问题常见的解题思路与详细解答步骤,以便于学生学习和熟悉掌握.     

奇偶性分析、数字化方法和不变量——存在性问题的解法之一

论证某种对象的存在或不存在,称为存在性问题。简单的奇偶性分析(即分析有关整数的奇偶性),常是解决存在性问题的有力手段之一。作奇偶性分析时,用到的是一些熟知的奇数和偶数的性质,如: 奇数±奇数=偶数;偶数±偶数=偶数;奇数±偶数=奇数;奇数个奇数之和=奇数; 奇数×奇数=奇数;奇数×偶数=偶数。 -1的奇数方为-1;-1的偶次方为1等等。例1 求证:不存在这样的勾股三角形(即三边长都是整数的直角三角形),它的两条直角边长是两个相差为2的质数。     

成果集锦

成果集锦关于正规闭折线的几个等周定理如果一个点位于一条闭折线所有顶角的内部，就称其为正规内点．有正规内点的单折边封闭折线，称为正规闭折线，ｋ环正规闭折线Ａ１Ａ２…Ａｎ论证Ａｋ（ｎ），任一Ａｋ（ｎ）总可看成ｋ个大小不同的多边形连结而成，其中较小的含在较...     

n边闭折线的计数问题

定理　平面上三三不共线的n(n≥3 )个点,可确定T(n) =12 (n -1 ) !条n边折线.证明:n边闭折线的顶点分别记为1 ,2 ,…,n -1 ,n .那么任一条闭折线都对应着这n个顶点的一个环形排列,这排列数为(n -1 ) !.但是,由于与环绕顺序无关,比如,排列1 ,2 ,3 ,…,n -1 ,n和n ,n -1 ,…,3 ,2 ,1对应同一条闭折线,因此(n -1 ) !这个数,多算了一倍,从而T(n) =12 (n -1 ) !.并进一步猜想正n边闭折线的类数L(n)有如下表达式:L(n) =[n2 ]·L(n -1 )=[n2 ]·[n -12 ]…[32 ][22 ].( [x]表示不大于x的最大整数)n边闭折线的计数问题$江苏省江阴市祝塘中学@张心…     

圆内接闭折线的一个美妙性质

众所周知,关于三角形有如下命题: 定理1 设△ABC三条边BC、CA、AB 的中点分别为D、E、F,则△ABC的外心是△DEF的垂心．本文拟应用向量方法,将这个定理推广到一般圆内接闭折线中．为了叙述简便起见,本文约定:符号A(n)表示任意一条平面闭折线     

n边闭折线计数问题的解答及猜想

杨之在《n边闭折线的计数问题》(见《中学数学教学参考》2 0 0 3年第9期)一文中提出:问题　平面上三三不共线的n(n≥3 )个点,可确定多少条n边闭折线?解:设n边闭折线条数为T (n) ,则T (n)=(n -1 ) !2 .证明如下:在n点确定的n边闭折线中,把任一顶点打开,加入第n 1边,即可得n条n 1边闭折线,且从不同顶点打开,所获n 1边闭折线不同,因此,有T(n 1 ) =nT(n) (n≥3 ) ,又T( 3 ) =1 ,故T(n) =(n -1 )T(n -1 )=(n -1 ) (n -2 )·T(n -2 )=(n -1 ) (n -2 )…3T( 3 ) =(n -1 ) (n -2 )…4·3=12 (n -1 ) (n -2 )…4·3·2·1=(n -1 ) !2 .关于正…     

也谈圆外切闭折线的优美性质

贵刊文[1]揭示了圆外切闭折线的一个优美性质,读后得盖匪浅.本文试对该性质作进一步的推广. 我们约定:符号()An表示外切于⊙(,)Ir的任意一条闭折线1231nAAAAAL. 在闭折线()An的两条边上各取一点M和N,为了确定起见,不妨设点M在边12AA上,点N在边1kkAA+上(1kn#,且1nA+为1A,如下图).于是 (i)M和N两点将()An分成两条开折线,即 23kMAAANL ① 和 121kknNAAAAM++L. ② 本文约定:这两条开折线的长分别记作1l和2l. (ii)在开折线①和②中连结MN,可以得到两条闭折线,即 23kMAAANML …     

成果集锦

关于闭折线的“可对称化”问题随着闭折线研究的深入,其应用前景日益看好．由于“对称的”闭折线有着多方面的应用,因此,什么样的闭折线可画成对称形的问题,引起关注．比如,边数为３,４,５的闭折线,均可用适当方式画成（轴）对称形（图１）：图１图２但有的六边闭折线（如图２所示）,只要不改变每条边的折性,则无论如何,画不成对称形．定义　如果不改变闭折线任一条边的折性,而通过适当改变边的长度和顶角的大小能把它画成轴对称图形的,就称为可对称化的闭折线．定理１　对ｎ≥３,凸ｎ边形可对称化．我们业已证明［１］,ｎ边…     

皮克定理的推广

由[1]我们知道格点多边形的面积公式,即:皮克定理如果格点多边形A1A2A3An面积为A,内部格点数和边上格点数分别为N和L,则12A=N L?.本文试将上述公式推广到格点广义回形折线.定义若广义回形折线的顶点全是格点,则称之为格点广义回形折线.(关于格点广义回形折线及其面积等概念,请参看文[2])定理若k环n边的格点广义回形折线A1A2A3An A1(简记为A(n)k)的同侧域至少包含一个格点,则该广义回形折线的面积为1()(1)2njk jjLA n N=?=∑ ?其中N j、L j分别为A(n)k的第j层多边形内部和边上格点数.证明如图,设格点M是封闭折线A(n)k的同侧点.由文…     

再谈相似三角形共线边定理

《数学教学通讯》2000年第1期《相似三角形共线边定理及其应用》一文中的相似三角形共线边定理,没有考虑三角形全等是相似的特殊情况,不具有一般性。本文给出使此定理具有一般性的两种表达形式和跟射影定理等价的定理——直角三角形共线边定理。同一平面内,一个多边形的一条边在另一个多边形的一条边所在的直线上,这两条     

n边闭折线的计数问题

一个看似简单的问题 :平面上三三不共线的n(n≥ 3 )个点 ,可确定多少条n边闭折线 ?记条数为T(n) ,认为 :至少有一条边不同的两条 ,算做是不同的 ,那么要求的是T(n)的一个解析式或计算程序 ,提出这样一个问题 ,是基于这样一个假定 :因为对于三三不共线的n点中的每一点 ,从连接(或从n阶完全图的C2 n 边中抹去C2 n-n条边 )这个意义上看 ,是完全一样的 ,因而 ,对这n点中无论怎样分布 ,T(n)总是一样的 .我们通过构图、观察和归纳 ,获得了如下资料 :T( 3 ) =1 ,T( 4 ) =3 ,T( 5 ) =1 2 ,T( 6)≥ 5 4,T( 7)≥ 2 76 T(n)大小与n点分布无关这个…     

多边形问题的解法例举

已知多边形的边、内角、外角、对角线、内角和外角和中的一些元素,求另一些元素的过程叫解多边形,求解多边形问题需综合运用多方面知识.且解题方法灵活多样,技巧性强.下面就常见的多边形解法举例如下:一、运用多边形内角和定理直接解多边形