“妙线”生成的前前后后

<正>三角形中有很多十分重要的线,例如三角形的高可以将它分割成两个直角三角形,三角形的中线可以将它分割成两个面积相等的三角形,三角形的角平分线将它割成的两个三角形中的线段还存在一定的比例关系等等.笔者在等腰三角形的教学过程中,发现了一条奇妙的"线",并和学生一起对这条"线"做了深入的探究,现将探究过程阐述如下:     

浅议三角形的高

<正>同学们在学习"与三角形有关的线段"时,往往对"三角形的高"总是似曾相识而频频出错.究其原因大致有三种情形:一是找不到高的位置;二是不知道如何作高;三是不知道怎么利用高解题.实际上,根据定义,三角形的高也是与三角形有关的一种线段,对于任意三角形来说,其高有三"兄弟",分属于三条边.并且,三角形的高并不一定在三角形的内部,可能在三角形的外部,也可能与三角形的边重合.但不管位置如何,三角形的三条高与三条中线、三条角平分线一样,其所在的     

等腰三角形“三线合一”的妙用

等腰三角形底边上的中线、底边上的高及顶角的角平分线是互相重合的.我们把等腰三角形的这一性质简称为"三线合一",这是等腰三角形的重要性质.本文例说这一性质在解题中的运用.一、求线段最值在处理线段问题时,如果既能运用全等三角形的知识,又能运用等腰三角形的知识,则应尽可能地运用"三线合一"的性质.这样,还能帮助同学们熟练掌握"三线合一"性质的转化.     

巧用特殊线段 妙证几何命题

<正>三角形中的特殊线段有三角形的中线、角平分线、高线和中位线.利用三角形中的特殊线段,可以将三角形分割成特殊的三角形或有特殊关系的三角形.笔者在实际教学中发现,利用三角形中的特殊线段可以证明一些常规方法不易证明的几何命题.三角形中的特殊线段可以将三角形进行有效的分割.与"割"相对的是"补",分割和补形这两种图形的基本处理方法是相辅相成的,应根据具体问题情境合理选用.一、四个几何命题的证明1. 勾股定理的逆定理证明勾股定理的逆定理     

《几何画板》在数学教学中的应用两例

1定理"任意三角形的三条高相交于一点"的证明 传统教学是利用直尺作出一个锐角三角形、一个直角三角形、一个钝角三角形,再分别作出它们的三条高得出结论:"任意三角形的三条高相交于一点",然后给出证明.让学生从三个特殊图形的观察得出对所有图形都适用的几何规律,显然是十分抽象.     

三角形三边关系的应用

三角形的三边关系是:"三角形任意两边之和大于第三边","三角形任意两边之差小于第三边",它是平面几何中最基本、最重要的结论之一,是今后学习推理时常用的依据,在     

学问之道=基于儿童的探究之路——《认识三角形》教学设计

【设计理念】苏教版四年级下册第三单元系统教学三角形的知识,本课《认识三角形》为该单元第一课时。课堂充分基于儿童立场展开教学,探究知识和启迪思维明暗两线相得益彰,特别在"探究并发现三角形三边关系的基本特征"这个教学重难点上有了一定突破。先由问号"是不是任意三条线段都能围成三角形"经历猜想、验证的探究过程后变成句号"不是任意三条     

圆内三角形的探究

一、圈内两对三角形的相关定义定义1：三角形三个内角平分线的延长线与其外接圆相交,交点构成的三角形叫做原三角形的角线三角形．定义2：三角形三条边上高线或其延长线与其外接圆相交,交点所构成的三角形叫做原三角形的高线三角形．     

“三角形的有关概念”教学设计与思考

"三角形的有关概念"是一节有许多基本概念的新授课,在40分钟的课堂上,既要学习基本概念,又要探究三角形的三边之间的关系,还要探究三角形的三条中线、三条角平分线、三条高,所在直线的交点情况,同时还要完成三角形的两种分类.现基于教学实践,对本课教学内容的本质、地位、作用,教学目标的制定,教学难点,教法等,说明教学心得,并给出"三角形的有关概念"的教学设计及学习任务单.     

听课手记三则

<正>一、老师,你会"问"吗?启发式容易被误读,以为启发式就是问答式嘛。一节课不停地问,少则十几个,多则几十个,但没有一个"真问题",大半是些无须思考的"问"——"老师给你们讲个故事好不好?想听不想听?"(废话,不想听也得听啊,谁让你是老师,我是学生呢?)"三角形是不是由三个角、三条线段组成呢?"(白痴也知道!三角形上了好几节课了,还不知道几条线、几个角?)一节课充斥着"是     

“可解三角形”与“需解三角形”

所谓"可解三角形",是指已经具有三个元素(至少有一边)的三角形;而"需解三角形"则是指需求边或角所在的三角形.当一个题目的图形中三角个数不少于两个时,一般来说其中必有一个三角形是可解的,我们就可先求出这个"可解三角形"的某些边和角,从而使"需解三角形"可解.在确定了"可解三角形"和"需解三角形"后,就要正确地判断它们的类型,合理的选择正弦定理或余弦定理作为解题工具,求出需求元素,并确定解的情况.     

趣话线段的“倒数”

<正>我们对于线段的和(差)、倍(倍数关系)、分(分数关系)的相关结论或证明都比较熟悉.但我们在数学学习中,也常常会遇到线段的"倒数"及其相关的和(差)、倍(分)的证明(必须指出,这里所说的线段的"倒数",是指该线段长度的倒数,它是一个数).最为常见的一个问题是:任意三角形的三条高能否构成一个新的三角形?以任意三角形的三条高的"倒数"为长度的线段能否构成一个新的三角形?对于第一个问题,我们很容易举出一个反例来,例如,对于两腰很长而底边很短的一个等腰三角形来说,它的三条高显然不能构成三角形.但对于第二个问题,我们却可以十分肯定地讲:任意三角形的"三条高的倒数"一定能构成一个新的三角形,即这个新三角形的三边,就是由原三角形的"三     

"费马点"数学模型在中考中的应用

法国数学家费马曾提出一个历史名题:在三角形所在平面上求一点,使该点到三角形三个顶点的距离之和最小,人们称这个点为"费马点",它有如下结论: 结论1 三角形的三个角都小于120°时,费马点是三角形内与三个顶点的连线两两夹角为120°的点.     

在追问中生成——以“三角形认识”为例浅谈图形的概念教学

"万丈高楼,平地起",坚实的地基是建设高楼的关键,图形教学尤其如此。如果概念课能上好、上透,使概念在学生脑中真正内化,不但能突破教学难点,凸现教学重点,而且能对后续教学起到事半功倍的作用。因此,在教学实践中,我一直很重视起始课的概念教学,尝试从不同角度突破陈规。如教学"三角形的认识"一课,我发现通过追问更有利于学生对三角形意义的理解。传统"三角形的认识"一课的教学,总把三角形意义和三角形的特征进行割离,重点一般都放在三角形意义中"围成"两字的突破上,对三角形具有三条边、三个角、三个顶点     

关于三角形等积线问题的一点探讨

以多边形的一边为底边作一个三角形,如果这个三角形的第三个顶点在多边形的内部,或者在多边形的其它边上,使得三角形的面积等于原来多边形面积的一半,那么,我们就把这个三角形的第三个顶点所在的线段称为三角形等积线,简称等积线.之所以称其为等积线,是因为以这条线上的点为第三个顶点的三角形,把多边形分成了两部分:三角形的内部和外部,而且这两部分的面积相等.     

我教“三角形的两边之和大于第三边”

在小学四年级,学生通过小木棒的摆放,已经知道了结论:"三角形的两边之和大于第三边"(简称"结论",以下同),并能运用这个"结论"判别已知三条线段能否构成三角形.到了初中,有些教师简单重复小学的教学方法,也让学生通过小木棒的摆放来获得结论:"三角形的两边之和大于第三边",接着便是运用"结论"进行解题训练,忽视了对"结论"的引申过程.也有些教师虽然进行了"结论"的引申,但没有注意到运用数学符号推理是教学的难点,于是在教学中,像"放电影一样"的快速推进,学生被动地接受,没有自己的     

关于三角形等积线问题的一点探讨

<正>以多边形的一边为底边作一个三角形,如果这个三角形的第三个顶点在多边形的内部,或者在多边形的其它边上,使得三角形的面积等于原来多边形面积的一半,那么,我们就把这个三角形的第三个顶点所在的线段称为三角形等积线,简称等积线.之所以称其为等积线,是因为以这条线上的点为第三个顶点的三角形,把多边形分成了两部分:三角形的内部和外部,而且这两部分的面积相等.本文试图研究,哪些凸多边形一定有等积线;如     

三角形三边非齐次不等式的证明

巧用"三角形两边之和大于第三边",不难发现如下一个漂亮的条件不等式:     

一道调研试题的别解、变题及其背景

南通市2009届高三第一次调研测试卷中最后一道解答题是: 如果对任意一个三角形,只要它的三边长a,b,c都在函数f(x)的定义域内,就有f(a),f(b),f(c)也是某个三角形的三边长,则称f(x)为"保三角形函数". (1)判断下列函数是不是"保三角形函数",并证明你的结论:     

解三角形攻略——从2010年高考解三角形问题谈起

解三角形是指已知三角形的三个元素(至少有一条边),求解三角形的其他元素.在高考中主要以中档题形式出现,通常是结合题设条件运用正、余弦定理,将边(角)转化为角(边)求解,近年来有与恒等变换等知识综合考查的趋势.2010年高考考题主要考查利用正(余)弦定理、三角形面积公式及三角公式进行恒等变换、化简、求值或判断三角形的形状.本文以题型为"经",方法为"纬",重点解析