按段光滑函数定义的探讨

一按段光滑函数的两种定义的比较多数《数学分析》教程是这样定义按段光滑函数的: 定义1如果函数f(x)在区间(a,b)上除可能有有限个第一类不连续点外,处处都连续,则称函数f(x)在(a,b)上按段连续。定义2 如果函数f(x)满足以下条件:1)函数f(x)在区间(a,b)上按段连续;2)导函数f′(x)在区间(a,b)上也按段连续,则称函数f(x)在区间(a,b)上按段光滑。有的《数学分析》教程,如华东师范大学数学系编《数学分析》下册里,又是这样定义按段光滑函数的: 定义3 若f(x)的导函数f′(x)在区间(a,b)上连续,则称f(x)在(a,6)上光滑.但若定义在(a,b)上的函数的导函数,f′(x)在(a,b)上除了至多有限个点外都存在且连续,在这有     

联想导数运算法则 合理构造函数解题

著名数学家波利亚在《怎样解题》一书中明确提出,联想是解题计划的重要一环,学会联想是数学解题成功的一大关键.因此,在解题过程中,要善于观察题设条件与所求结论的结构特征,分析题设与结论之间的联系,联想题目与已有知识结构的相似性.本文结合联想导数运算法则,举例说明之.一、联想和、差函数的导数运算法则例1设函数f(x)、g(x)在区间[a,b]上连续,在区间(a,b)上可导,且f′(x)g(x)(B)f(x)g(x)+f(b)(即选项     

关于导函数极限的研究

1导函数f′(x)在x=x0处的极限与函数y=f(x)在x=x0处的可导性定理1若函数f(x)在(a,b)内连续,在(a,b)中除点x0外处处可导,且li mx→x0f′(x)存在,那么函数y=f(x)在x=x0处可导,且f′(x0)=lxi→mx0f′(x).证明:任取异于x0的x∈(a,b),在[x0,x]或[x,x0]上应用lagrange中值定理,有f(xx     

一类导数创新题的构造求解

1逆用导数运算法则构造例1(2011年广东佛山模考)设函数f(x),g(x)在R上的导函数分别为f′(x),g′(x),且满足f′(x)g(x)+f(x)g′(x)<0,则当af(b)g(x)(B)f(x)g(x)>f(b)g(b)(C)f(x)g(a)     

用求导法证明恒等式——从一个定理的使用谈培养能力

一点疑问在第九章导数和微分的应用“函数的增减性”一节,给出拉格朗日中值定理后,用它证明了下述定理:“设函数f(x)在区间(a,b)内可导,如果在(a,b)内f′(x)>0,那么f(x)在(a,b)内是增函数;如果在(a,b)内f′(x)<0,那么f(x)在(a,b)内是减函数;如果在(a,b)内恒有f′(x)=0,那么f(x)在(a,b)内是常数。”定理中的前两种情况(即f′(x)>0、f′(x)<0时),在此后判断函数的增减性、求函数的极值等有关章节中,进行了广泛的使用,显示了它的巨大作用,给人们留下了深刻的印象。相形之下,最后一种情况(即f′(x)=0时),却弗如远甚,它除了在定理中昙花一现外,此后就默默无闻了。莫非它真的是同胞三兄弟中的一个平庸无为的小弟弟?     

柯西中值定理的别证衍化及应用

“若函数f(x)与g(x)满足下列条件:①在闭区间[a,b]上连续;②在开区间(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b),g′(x)≠0。则在(a,b)内至少存在一点ξ,使 (f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))=f′(ξ)/g′(ξ) (*)” 众所周知,这是微分学的基本定理之一:柯西中值定理((*)式称为微分中值公式)。关于它的证明,关健是在于恰当地构造一个辅助函数,再利用罗尔定理。一般教科书上构造的辅助函数是:F(x)=f(x)-f(a)-(f(b)-f(a))/(g(b)-g(a))[g(x)-g(a)]     

在知识交汇处设计概率题

一、与函数、导数和方程的交汇例1已知函数f(x)=(1/3)x~3+(1/2)ax~2+bx,a,b∈R,f′(x)是函数f(x)的导数。若-1≤a≤1,-1≤b≤1,求函数f′(x)在R上有零点的概率。分析:函数f′(x)在R上有零点即要求x~2+ax+b=0有实数根,只需根据一元二次方程有实数根的条件得出相应的不等关系,画出     

函数严格单调充分性定理的证明

文[1]给出了柯西中值定理的一个新证法。该证法一反常规,不是利用罗尔定理进行证明,而是以文献[2]给出的: (1°)予备定理 设函数f(x)在点x_o处有有穷导数。若这导数f′(x_o)>0f′(x_o)<0),则当x取右方充分接近于x_o的数值时就有f(x)>f(x_o)(f(x)f(x_o))。 (2°)达布定理 若函数f(x)在区间[a,b]上有有穷导数,则函数f′(x)必至少有一次取得介于f′(a)及f′(b)     

一类二次函数零点存在性的简捷证法及其探究

例1已知函数f(x)=ax3+bx2+(b-a)x,(a,b是不同时为零的常数),导函数f′(x),求证:函数y=f′(x)在(-1,0)内至少有一个零点.     

微分中值定理证明中的辅助函数

本文阐述了用辅助函数证明拉格朗日中值定理的重要性,并得出两个结果: ①证明拉格朗日中值定理的辅助函数为:4(x)=[f(x)-((f(b)-f(a))/(b-a))x]+C;证明柯西中值定理的辅助函数为:相似文献   

应用微分中值定理证明不等式

本文着重说明应用微分中值定理证明不等式时,函数f(x)的选取方法,介绍一些用初等数学方法不易证明的或证明步骤较繁的不等式,而用微分中值定理可以简捷地解决的情形,其中关键是要选择好函数f(x)。微分中值定理是:“若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,则在开区间(a,b)内至少有一点ξ,使得 f′(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)”。用微分中值定理证明不等式的主要依据是选定符合微分中值定理条件的函数f(x)后,若在所讨论的区间内有m相似文献   

导数中一个重要定理的应用

在以前高中数学教材中,我们往往只能用一些代数的方法来研究函数的单调性问题.由于教材内容的限制,这些方法往往运算繁琐,不易掌握其规律.例如,给出一个在某区间上可导的含参数的单调函数,要我们求参数的范围问题,大家往往解答不够完整.下面给大家引入一个定理,能为我们解决这类问题提供依据.定理若函数f(x)在(a,b)内可导,则函数f(x)在(a,b)内单调递增(或单调递减)的充要条件是在(a,b)内f′(x)≥0(或f′(x)≤0).证明必要性:设函数f(x)在(a,b)内单调递增,对任意x∈(a,b)及自变量的改变量Δx,(使x Δx∈(a,b)),由于函数f(x)在(a,b)内单调递增,…     

2017年高考数学江苏卷第20题的赏析与思考

<正>1原题再现2017年高考数学江苏卷第20题如下:已知函数f(x)=x~3+ax~2+bx+1a>0,b∈(R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(2)证明:b~2>3a;(3)若f(x)、f′(x)这两个函数的所有极值     

关于微分的一个不等式

在古典数学分析中,Cauchy中值定理是:若函数f(x)与(?)(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且对任意x∈(a,b)(?)′(x)≠0,则在(a/b)内存在一点C,使得f(b)-f(a)/(?)(b)-(?)(a)=f′(c)/(?)′(c)如果令(?)(x)=x,得     

微积分中值定理的反问题

本文考虑了微分中值定理及积分中值定理的反问题,证明了下述结果:定理1 设函数f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)上可导.且对任意ξ∈(a,b).g′(ξ)>0,F(x)=F(x)-F(ξ)/g(x)-g(ξ)为x的严格增函数(除ξ点外)。那么存在x_1,x_2∈(a,b),x_1<ξ相似文献   

能取等号吗?

函数 y=f(x)在 x=x_0处有极值,则它的导数 f′(x)在这点的函数值为零,即 f′(x_0)=0,反过来,函数 y=f(x)的导数在某点的函数值为零时,这点却不一定是函数的极值点.因此,我们必须具体问题具体分析.例1 已知 b>-1,c>0,函数 f(x)=x b 的图象与函数 g(x)=x~2 bx c 的图像相切.(1)求 b 与 c 的关系(用 c 表示 b)(2)设函数 F(x)=f(x)g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,求 c 的取值范围.分析:(1)(略);(2)函数 F(x)=f(x)·g(x)在(-∞, ∞)内有极值点,即存在 x_0使F′(x_0)=0,亦即一元二次方程 F′(x)=0有实     

一个最值定理的证明

对于可导函数,我们知道:只要把(有限个)驻点及区间端点上的函数值进行比较,其中最大的即为函数的最大值,最小的即为函数的最小值。在应用中经常遇到的仅有一个驻点的函数,求其最值极其重要,在[1]中有极其简单的方法,并附以图形作了定性说明。本文将给以严格证明。为此,先给出下列引理。 引理1 如果函数f(x)在[a,b)上可导,f′(a)·f′(b)<0,则在(a,b)内至少存在一点c,使f′(c)=0     

怎样用导数证明不等式

<正>1.差函数法。若证明f(x)x-1。(1)求函数f(x)的最大值;(2)设g(x)=     

根据f(x)的图象画出f′(x)的图象

一、关系结论设f(x)是定义域区间上的可导函数.1.(单调性)若函数f(x)的图象在某区间(a,b)内单调递增,则其导函数f′(x)在该区间内的图象必在x轴上方(或与x轴相切);若     

利用导数探究抽象函数的单调性从何处入手构造函数

有一类导数条件下的抽象函数问题,需要构造抽象函数,方能获解.许多同学找不到突破口,构造不出合理的抽象函数.下面就此问题作一些探讨.一、从和差的求导法则入手例1设函数f(x),g(x)是定义在[a,b]上的连续函数,在区间(a,b)内可导,且f′(x)