教给转化方法 培养转化能力

求解数学问题有时如将问题转化,可达到化难为易、化繁为简的目的。转化的思想有助于培养学生灵活运用知识和提高解题的能力。1 利用结构特征实现转化 例1 解方程[1 (1/x)]~(1/2)-[x/(x 1)]~(1/2)=[2~(1/2)/2]. (1996,江苏省盐城市中考题) 分析:直接两边平方求解较繁冗.用换元法也有一定的计算量,注意到方程左边呈倒数差的形式,可将右边也拆成两倒数差的形式2~(1/2)/2=     

一题偶得

正1.问题的提出已知f(x)=ax~2+bx+c(a≠0),且方程f(x)=x无实数解,下列命题:①方程f[f(x)]=x也一定没有实数解;②若a0,则不等式f[f(x)]x对一切实数x都成立;③若a0,则必存在实数x_0,使f[f(x_0)]x_0;④若a+b+c=0,则不等式f[f(x)]     

1999年天津市初中毕业高中招生考试数学试题

一、填空题(每空3分,共36分) 1.若a、b两实数互为倒数,则ab=__________. 2.如果F=(GmM)/(d~2)(G≠0,M≠0),那么m为________. 3.64的算术平方根是________. 4.若代数式(2x 1_)~2的值为9,则x的值为__________. 5.如果方程(1/3)(x~2)-2x a=0有实数根,     

黄金双曲线的若干性质探求

文[1]、文[2]、文[3]给出了黄金双曲线的定义及证明了其若干性质如下:定义若双曲线x~2/a~2-y~2/b~2=1的离心率为黄金比的倒数(记ω=(5~(1/2)-1)/2,e=c/a=1/ω= (5~(1/2) 1)/2),则称双曲线为黄金双曲线.性质1黄金双曲线都具有方程x~2-ωy~2 =a~2的形式.     

30分钟“智力自测题”

1.若关于x的方程3k+x一。的解与3x+1一O相同,则k一若三士里~6的倒数是一2,则x若3“习一‘与合二sb!十·是同类项,则(xy十5)2“01一4.若。是负整数,且:o,且关于x的一次方程3m(x一3)一4m(1一x)一1有正整数解,则x(答案在本期找)30分钟“匆力良测惬…     

30分钟“智力自测”

1.已知:关于x的方程3二一1~o的解与sx+2一O相同,则a则(2,若x一2 5的相反数的倒数是一3,则x一3.若关于x的方程m(x一m)+n(x+动~o有无穷多个解,(A)m一n一O,(B,m+n一。‘C,臀=0(D)”扮理一0方程}鲁阵1的解是 fQ}.若粤。2‘二‘。5与一4a“。3犷 [是同类项,则2 001十丫一 6.若m是负整数且Zx一1活O,则关于x的方程!Zx一1}一m一2一O的解是x- 7.若二(5x+1)一b(3尹十1)一。是关于x的一元一次方程,且x有惟一解,则x~ 8.已知(l kl一1)扩一(k+l)x+6一0是关于x的一元一次方程,求代数式200(Zk十工)(x一k)十2j走!的值. ,.关于x的方程(2一b)(二一1)一O的…     

1999年初中总复习质量检测题(数学)

一、填空题(共36分,每小题3分) 1.-0.5的相反数的倒数是______. 2.若分式(x~2-1)/(2x 2)的值为零,则x=______________. 3.在实数范围内分解因式:x~2-2(2x)~(1/2)-6     

一道课本例题的推广和应用

《义教本》在学习分式方程内容时有这样 一道例题:解关于x的方程:x+1/x=c+1/c,得 其解为x1=c,x2=1/c仔细观察、比较,此方程 很有特点,方程的左边是未知数与其倒数的和, 右边的形式与左边的形式完全相同,只是把未 知数换成了某个常数,而其解有两个,是这个常 数和它的倒数．这个结论简单易记,而且还可 以加以推广并应用． 例1 (2004年福建莆田的中考题):阅读 《义教本》在学习分式方程内容时有这样 一道例题:解关于x的方程:x+1/x=c+1/c,得 其解为x1=c,x2=1/c仔细观察、比较,此方程 很有特点,方程的左边是未知数与其倒数的和, 右边的形式与左边的形式完全相同,只是把未 知数换成了某个常数,而其解有两个,是这个常 数和它的倒数．这个结论简单易记,而且还可 以加以推广并应用． 例1 (2004年福建莆田的中考题):阅读     

黄金双曲线的几个性质

文[1]给出了黄金椭圆的若干性质,笔者读后深受启发.经过类比研究,笔者发现离心率为(5~(1/2) 1)/2的双曲线具有与黄金椭圆类似的性质,现阐述如下,供大家参考.定义:若双曲线 x~2/a~2-y~2/b~2=1(a>0,b>0)的离心率为黄金比=(5~(1/2) 1)/2的倒数(记ω:c/a=(5~(1/2) 1)/2),则称双曲线为黄金双曲线.性质1:黄金双曲线都具有方程 x~2/a~2-y~2/(ωa~2)=1的形式.证明:因为 b~2=c~2-a~2=(ω~2-1)a~2=     

倒数及应用(初二、初三)

当α≠0时,1/α表示α的倒数,由此,不难发现倒数有如下性质: (1)若α=b≠0,那么1/α=1/b. (2)若α>b>0。或6<α<0,那么1/α<1/b.以上性质在解答某些分式问题时很有用. 1.求值例1 如果x+(1/x)=3,则x2/(x4+x2+1)=——. (96年四川省初中数竞) 解由x+(1/x)=3,得(x+(1/x))2=9,     

周期函数f(x)的倒数函数1/f(x)的周期性

关于周期函数f(x)的倒数函数1/(f(x))的周期性,文[1]是这样叙述的:“若f(x)是集M上的周期函数,则1/(f(x))是集{x|f(x)≠0,x∈M}上的周期函数。若f(x)有最小正周期T则1/(f(x))也有最小正周期T。”该定理的后半段是不正确的。文[2)曾给出一反例如下。     

不等式|f(x)|+|g(x)|>|φ(x)|的同解定理及其应用

设绝对值不等式|f(x)|+|g(x)|>|φ(x)|(1)的定义域为A。用分段讨论的方法去解(1),比较烦琐,因此,下面给出两个同解定理,并以例示其解法。 [定理1] 若x∈A时有[f(x)+g(x)]~2≤[φ(x)]~2,则(1)与[f(x)-g(x)]~2>[φ(x)]~2同解。下面为书写简便,记f(x)、g(x)、φ(x)为f、g、φ。用“←→”表示两不等式组同解。     

利用倒数关系解方程

题目 解方程:x (1/x)=c (1/c).(c≠0) (1) 这是一种具有倒数关系的方程. 按照解分式方程的一般步骤,最后解得此方程的根为x_1=c,x_2=1/c.其实,这个方程左、右两边分别是一对互为倒数的代数式之和,经观察可直接得到结果x=c或x=1/c.     

山西省1988年初二数学竞赛试题

一、填空题 1.若x=0.5能使方程2x~2-3x+α=0成立,则α=____,方程的根是____. 2.已知3.65~(1/2)=1.910,36.5~(1/2)=6.042,则365000~(1/2)=___,0.000365~(1/2)= 3.任意一个三角形的外角中,至少有____个钝角,至多有____锐角. 4.如图,x=____.     

2006年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题

第一试一、选择题(每小题5分,共50分)1.a、b 为实数,集合 M={b/a,1},P={a,0},f:x→x表示把集合 M 中的元素 x 映射到集合 P 中仍为 x,则 a+b 的值等于().A.-1 B.0 C.1 D.±12.若函数 f(x)满足 f(2/(x+|x|))=log_2(x|x|)~(1/2),则 f(x)的解析式是().A.log_2x B.-log_x C.2~(-x) D.x~(-2)3.若关于 x 的方程(3/2)x=(2+3a)/(5-a)有负数根,则实数 a 的     

习题引出的思考

题目:阅读问题与解答,然后回答问题: 关于x的方程k2x2+2(k-1)x+1=0有实数根。(1)求k的取值范围; (2)如果这个方程的两个实数根的倒数和的平方等于8,求k的值。解:(1)△=[2(k-1)]2-4k2=-8k+4>0,所以k<1/2     

一道方程题的推广及其应用

初中《代数》第三册126页有这样一个方程:x 1/x=c 1/c(一般称为倒数方程),它的根是x_1=c,x_2=1/c 若将此方程及其根加以推广,则有方程 x b/x=c b/c的根是x_1=c,X_2=b/c (解略) 应用上述两个结论解某些方程或方程组是非常简捷的,下面以初中《代数》第三册中的例题和习题为例来说明,以供读者参考。     

1991年上海市初三数学竞赛试题及解答

一、填空题(本题10小题,前5小题每题6分,后5小题每题8分;共70分) 1.实数x使x-1/x=5~(1/2),则x+1/x=____。 2.若a、b是二次方程x~2-x+g=0的两个根,则a~3+b~3+3(a~3b+ab~3)+6(a~3b~2+a~2b~3)的值是____。 3.设m为实数,方程x~2-5x+m=0有一个根的相反数是方程x~2+mx+5=0的一个根,则m=____。 4.用[a]表示不超过实数a的最大整数,{a}=a-[a]表示a的小数部分,则方程[x~3]+[x~2]+[x]={x}-1的解是____。     

一个定理的背景及再推广

文[2]对文[1]中的定理推广为:若方程x f(x)=m和x f~(-1)(x)=m分别有唯一根a,b.则a b=m.文[3]又对文[2]进行了再推广,得到了结论:若方程x·f(x)=m和x·f~(-1)(x)=m分别有唯一根a,b.则a·b=m.笔者对[2]、文[3]的两个结论进行再探究.     

利用倒数方程解中考题

《代数》第三册上有这样一道题：解方程x+1/x=c+1/c,易解方程的根为：x1=c,x2=1/c,若仔细观察不难发现,方程的左边含x的两项互为倒数,右边的常数也分为互为倒数的两项．据此特点称这个方程为倒数方程．