微分方程a1（x）y’＋a2（x）y=b（x）通解再探

通过微分方程的降阶方法,揭示一阶线性方程a1(x)y' a2(x)y=b(x)通解公式的作用。     

二阶方程y″ py′ qy=f(x)通解的公式解法

用常系数p、q及函数f(x)直接给出二阶常系数线性微分方程通解的求解公式,并由此直接推出含参数又的二阶线性微分方程的解法。     

微分方程dy/dx=2√y通解的探讨

本文阐述了在用初等积分法得到微分方程的通解表达式后，还要考虑将结果做充分的延展，以便得到定义在更大范围内的积分曲线族。     

关于函数方程f（x＋y/2）=f（x）＋f（y）/2的通解

用分析方法给出了一个网上征解函数方程问题的通解。     

关于微分方程y″+py′+qy=f(x)解的积分公式

介绍关于微分方程y″＋py′＋qy＝f（x）的一种积分公式求解法。此法首先将该微分方程化为一阶线性微分方程,通过解两次一阶线性微分方程．得到该微分方程的积分公式,而后根据特征方程的三种情况,即相异实根、相等实根、共轭复根给出三个不同情形下的解的计算公式。最后村论了几种f（X）特殊情况下的微分方程解的公式。     

函数y=(a_1f~2(x) b_1f(x) c_1)/(a_2f~2(x) b_2f(x) c_2)值域的求法

本刊1985年第1期《论函数y=(ax~2 bx c)/(mx~2 nx l)(m≠0)值域的求法》中的方法可以推广,今用该法求函数y=(a_1f~2(x) b_1f(x) c_1)/(f_2f~2(x) b_2f(x)) c_2)的值域。一、如果f(x)的函数值可取一切实数。令u=f(x),转化为该文讨论的函数。 [例1] 求函数y=(sin~2x-2sinxcosx 3cos~2x)/(sin~2x 2sinxcosx-3cos~2x)的值域解:1°当cosx=0时,y=1。 2°当cosx≠0时,该函数可化为 y=(tg~2x-2tgx 3)/(tg~2x 2tgx-3) 因为tgx可取一切实数值,且该函数的分子分母无公因式,于是 (1-y)tg~2x-2(1 y)tgx 3(1 y)=0 则Δ=[-2(1 y)]~2-4×3(1 y)(1-y)≥0 2y~2 y-1≥0     

也谈y=a_1x~2 b_1x c_1/a_2x~2 b_2x c_2的极值

关于分式函数y=a_1x~2 b_1x c_1/a_2x~2 b_2x c_2,x∈X,其中分子分母中的系数均为实数且X为使分母不为零的实数集,其极值问题看起来的确比较复杂,本刊1990—10上有文章讨论了这个问题.设,     

函数y=f(x)、x=f-1(y)和y=f-1(x)的本质关系

函数ｙ＝ｆ（ｘ）（设它有反函数）和它的反函数ｙ＝ｆ－１（ｘ）,以及对换ｘ、ｙ之前的反函数形式ｘ＝ｆ－１（ｙ）这三者之间的关系,一直有很多同学含糊不清,本文简单归纳如下：１．从方程观点看,ｙ＝ｆ（ｘ）与ｘ＝ｆ－１（ｙ）是两个同解方程,而ｙ＝ｆ（ｘ）与ｙ...     

方程a(x)y″(x)+b(x)y′(x)+c(x)y=0的解法探析

通过变量代换对于形如a(x)y″(x)+b(x)y′(x)+c(x)y=0的函数系数二阶常微分方程,当系数函数满足一定条件时,可以化为二阶常系数齐次微分方程。     

微分方程y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)(特征实根r_1≠r_2)特解的多种求解法

求微分方程y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)(特征实根r_1≠r_2)特解的多种方法:待定系数法、算子法、迭代法、构造法的介绍。     

函数y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)(x∈A)的值域

形如y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)的分式线性函数的值域,特别是当x限制在某个区间上(x∈A)的值域问题是一个难点.一般是两边同乘以a_2x~2 b_2x c_2后整理成一个关于x的方程,通过研究该方程有解的条件(即     

再谈用函数y=x＋1／x的性质解题

本刊 2 0 0 2年第 9期刊登了《利用函数ｙ =ｘ 1ｘ 解题举例》一文 .笔者在此再谈谈该函数的性质及其应用 .一、ｙ=ｘ 1ｘ 的性质1 定义域为 (-∞ ,0 ) ∪ (0 , ∞ )2 奇偶性∵ｆ(-ｘ) =-ｆ(ｘ)　∴ｆ(ｘ)为奇函数 .3 .单调性、最值 :ｘ >0时 ,ｆ(ｘ)在ｘ=1时取得最小值 2 ,在区间 (0 ,1 ]上为单调递减函数 ,在 [1 , ∞ )上递增 .ｘ<0时 ,ｆ(ｘ)在ｘ =-1时取得最大值-2 ,在区间 [-1 ,0 )上单调递减 ,在区间(-∞ ,-1 ]上单调递增 .二、应用例 1　 (1 996年高考题 )甲、乙两地相距ｓ千米 ,汽车从甲地匀速行驶到乙地 ,速度不得超过ｃ千米 /小…     

公式法求y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)的特解

求微分方程y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)的特解y~*,传统的方法比较麻烦。本文为此导出求特解y~*之中多项式待定系数的公式,只需简单计算即可求解。     

关于方程y″+py′+qy=~φ_m (x)e~(λx)特解的再一点评注

统一给出二阶线性非齐次常微分方程y″+py′+qy=eλx∑mk=0akxm-k(p,q,λ,ak为常数)的解     

求函数y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2)极值中的两个问题

在统编教材数学第三册复习题二中涉及到了函数 y=(a_1x~2 b_1x c_1)/(a_2x~2 b_2x c_2),其中 a_1、a_2不同时为零(以后不再说明),求极值的问题。方法是求 y 的值域,即先将     

直线方程(x0x)/(a2)-(y0y)/(b2)〗=1几何意义

文[1][2]研究了当点P(x0,y0)分别在圆和椭园上及其内部、外部时,直线方程(x0x)/(a2)+(y0y)/(b2)=1的几何意义.本文将探讨点P(x0,y0)分别在双曲线(x2)/(a2)-(y2)/(b2)=1上及其内部,外部时,直线方程(x0x)/(a2)-(y0y)/(b2)=1的几何意义,并给出了它的一些实际应用.     

y=f(x)与y=f~(-1)(x)的图象交点探析

研究了y=f(x)与f-1(x)图象交点的关系;给出了交点必在直线y=x上的一个充分条件和它们存在交点的一个充要条件。     

x″+px′+qx=(a_2t~2+a_1t+a_0)e~(λ_0t)的特解公式的建立与应用

本文对二阶常系数非齐次线性方程x″＋px′＋qx＝（a_2t~2＋a_1t＋a_0）e~(λ0ｔ)建立了一组特解公式。欲求该方程的特解,只须应用公式就行了