一道自主招生试题的推广与加强

题目有小于1的正数x_1,x_2,…,x_n满足x_1+x_2+…+x_n=1.证明:sum from n to i=1 1/(x_i-x_i~3)>4.此题为2010年浙江大学自主招生试题.文[1]经过探究,发现可以加强为:命题1若x_1,x_2,…,x_n为小于1的正数,且x_1+x_2+…+x_n=1,则     

自然数的一种有趣的“最大积”分解

《教学与研究》86年第十二期刊登了这样一道迎新趣题:求正整数n和x_1,x_2,…,x_n,使x_1+x_2+…+x_n=1987,且积x_1·x_2…x_n尽可能地大。本题实际上是“把一个自然数分解成几个自然数的和使各加数的积尽可能地大。”(简称自然数的“最大积”分解)的问题。本文将给出解答这类问题的一般方法。把一个自然数写成几个自然数的和只有有限种写法,因而由各加数所构成的积也只有有限种,故必存在最大的一个。这说明自     

试论韦达定理及其应用

1559年,法国数学家韦达提出一个关于一元n次方程根与系数关系的定理:设方程a_0x~n+a_1x~(n-1)+a_2x~(n-2)…+a_(n-1)x+a_n=0的n个根为x_1,x_2,…,x_n,那么x_1+x_2+…+x_n=-(a_1)/(a_0)x_1x_2+x_1x_3+…+x_1x_0+…+x_(n-1)x_n=(a_2)/(a_0)     

从一道高考题的错证看学点数理逻辑的必要性

1986年全国高考试卷中有这么一道题: 已知 x_1>0,x_1≠1,且x_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)(n=1,2,3…) 求证数列{x_n}或者对任意自然数n都满足x_nx_(n+1)。这题有不少证法,拙作《递推式》(上海科技出版社1989年版)中曾引了五种证法。高考结束后,在一份数学杂志上曾刊登了一则利用反证法的证明。兹将它摘录如下: “证”若设{x_n}对任意的自然数n既不满足x_nx_(n+1),则应满足x_n=x_(n+1)。再由题设可得 x_n=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1) 3x_n~3+x_n=x_n~3+3x_n ∴x_n=0,1,-1。     

巧用配方法证不等式

本文利用配方法给出几个难度较大的不等式的简洁证明。例1 设x_1,x_2 …,x_n是正数,求证: ((x_1)~2)/(x_2)+((x_2)~2)/(x_3)+…+((x_n)~2)/(x_1)≥x_1+x_2+…+x_n(1984年全国数学联赛第二试最后一题)。证明:左=x_2((x_1)/(x_     

一个不等式及其应用

定理设x_1∈R~+(i=1,2,…,n),且p、q∈N,p≥q 则(x_1~p+x_2~p+…+x_n~p)/(x_1~q+x_2~q+…+x_n~q)≥(x_1x_2…x_n)~((p-q)/n)。 (当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。证明根据幂平均——算术平均不等式:若x_1∈R~+,m≥1(i=1,2,…,n),则(x_1~m+x_2~m+…+x_n~m)/n≥((x_1+x_2+…+x_n)/n)~m(当且仅当x_1+x_2=…=x_n时等号成立)。     

不等式multiply from i=1 to n X_i-sum from i=1 to n X_i>2~n-2n及其简单运用

本文介绍不等式∏≥2~n-2n,并且说明它的一些简单运用。定理设整数 x_1≥2,i=1,2,…,n,那么∏≥2~n-2n.i=1 i=1证明不失一般性,令 x_1≥x_2≥…≥x_n.对 n 用数学归纳法。当 n=2时,x_1·x_2-(x_1+x_2)=x_1(x_2-1)     

不等式(a+1/a)(b+1/b)≥25/4的再推广

目前已有人把(a+1/a)(b+1/b)≥25/4(a>0,b>0,a+b=1)推广为:设x_i>0(i=1,2,…,n)且x_1+x_2+…+x_n=k,则(x_1+1/x_1)(x_2+1/x_2)…(x_n+1/x_n)≥(n/k+k/n)~n当且仅当x_1=x_2=…=x_n=k/n时取等号。本文对该不等式进一步作了推广,得出两个新的结果。欲知情况如何,请看该文。     

有奖解题擂台(117)

<正>题设:x_i为正实数(i=1,2,…,n),且x_1x_2…x_n=1,n∈N,n>3,m是实数,则当m≥n-2或m≤-n+1时,有sum from i=1 to n x_i^m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2m/((1+x_1)…(1+x_(i-1)(1+x_(i+1)…(1+x_n))≥n/2^(n-1).第一位正确解答者将获得奖金100元.     

也谈1984年高考数学第八题的解法

题:设a>2,给定数列{x_n},其中x_1=a,x_(a+1)=x_n~2/2(x_n-1),(n=1,2,…)。求证(1) x_n>2,且x_(n+1)/x_n)<1(n=1,2,…);(2) 如果a≤3,那么x_n≤2+(1/2~(n-1)(n=1,2,…)(3) 如果a>3,那么当n≥lg(a/3)/lg(4/3)时,     

利用一个不等式巧解竞赛题

本文给出一个非常简单的不等式,并用于解证几道国内外数学竞赛题。由a~2+b~2≥2ab(a,b∈R),即a~2≥b(2a-b)可得推论若a,b∈R且b>0,则a~2/b≥2a-b。当且仅当a b时取等号例1 已知x>0,(?)1,2…,n,求证: x_1/x_2+x_2/x_3+…+x_n/x_1≥x_1+x_2+…+x_n。 (1984年全国高中数学联赛试题) 证明:由推论得 x_1/x_2≥2x_1-x_2,x_2/x_3≥2x_2-x_3,…,x(?)/x_1≥2(?)-x_1。将以上n个同向不等式两边相加,得     

Jensen不等式在处理一类竞赛题不等式中的应用

<正>Jensen不等式[1]:若函数y=f(x)是(a,b)上的凸函数,则对任意x_1,x_2,…,x_n∈(a,b)都有f(x_1+x_2+…+x_n/n)≤f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_n)/n.其中等号当且仅当x_1=x_2=…=x_n时成立.Jensen不等式反映了凸函数的一个基本性质,它有着极其广泛的应用.本文中我们利用此不等式     

从一道数学题的解答谈起

本刊1982年第3期“关于一道数学题的解答”一文中,认为“求 x~2+2xsin(xy)+1=0的一切实数解”一题的传统解法有问题。经笔者再三推敲,觉得传统解法是站得住脚的,并不存在“偷换概念”的原则错误。为叙述方便,我们将函数系数的方程 f(x_1,x_2…x_n)x~2+g(x_1,x_2…x_n)x+h(x_1,x_2,…x_n)=0(其中f(x_1,x_2…x_n)≠0,且x可为某个x_i,亦可不同于诸x_i,i=1,2,…n)称为类二次方程;同时,为了说明问题,先证如下的两个定理。定理1.实函数系数的类二次方程 fx~2+gx+h=0(f≠0)有实数解的必要条件为△=g~2-4fh≥0 证:∵f≠0,故由原方程可得     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题

第一天(1986年1月22日,8∶00-12∶30)一、a_1,a_2,…,a_n 为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足x_1+x_2+…+x_n=1的任意非负实数x_1,x_2,…,x_n,有不等式     

函数f(x)=1/(t-x)迭代周期的确定

有这样一个问题:是否存在互不相等的x_1,x_2,…x_n(n≥3),满足 x_1 1/x_2=x_2 1/x_3=…=x_(n-1) 1/x_n =x_n 1/x_1=t. 本文给出一个充要条件,从而解决这个问题。 定理 对t≠2,n≥3,函数 f(x)=1/t-x 在定义域内有n个两两不同的x_1,x_2,…,x_n,使     

凹凸函数性质的应用

定义.如果对于f(x)的定义域D中的任意x_1,x_2,有f(x_1+x_2)/2≥(≤)则把f(x)叫做D上的上凸(下凸)函数。定理.如果f(x)是D上的上凸(下凸)函数则对于x_1,x_2,…,x_n∈D,n∈N,有f(x_1+x_2+…+x_n)/n≥(≤)f(x_1)+f(x_2)+…+f(x_k)/n下面我们用凹凸函数的性质证明一类不等式。     

用不等式求三角函数式极值(最值)常见错误剖析

求三角函数式的极值,最常用的不等式及其性质、定理,可归纳为以下三个方面: 1.一元二次方程在实数范围内有解,则判别式大于或等于零,即b~2-4ac≥0; 2.三角函数具有有界性,如-1≤sinx≤1,-1≤cos≤1; 3.x_1 x_2 …x_n/n≥(x_1·x_2…x_n)~(1/n)(x_1,x_2,…x_n均为正数,n为正整数,当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立)。 利用不等式求三角函数式的极值时常见错误剖析如下:     

巧解一类复合最值题

若x_1,x_2,…,x_n（n∈N＊）为正实数,则max{x_1,x_2,…,x_n}≥（x_1＋x_2＋…＋x_n）/n≥（x_·x_2·…·x_n）~（1/2）≥min{x_1,x_2,…,x_n},当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立.这是一个浅显的结论,     

倒数关系不等式及其应用

本文旨在探讨不等式中一类常见、重要的不等式:(x_1 x_2 …x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2并通过例题,说明利用这个不等式求解含有分式的不等式有关的问题的求解,不仅有章可循,而且比用其它方法求解更为简洁.命题:设x_1,x_2, …,x_n是n个正实数,(?)∈N且n≥2测(x_1 x_2_…x_n)(1/x_1 1/x_2 …1/x_n)≥n~2当且仅当x_1=x_2=…=x_n时等号成立,这个不等式就是本文所要介绍的倒数关系不等式.     

一类循环不等式

从本世纪中期开始,人们曾极有兴趣地讨论过循环不等式(x_1/x_2 x_3) (x_2/x_3 x_4) … (x_(n-1)/x_n x_1) (x_n/x_1 x_2)≥n/2 (1)是否成立的问题.其中 n≥3,x_1(i:1,2,…,n)非负,且所有分母为正(即 x_1 x_(1 1)>0,此时 x_(n 1)=x_1).为了讨论方便,记(1)式左端为 f_n(x_1,…,x_n).