第二届冬令营竞赛第四题探究

题目:在一个面积为1的正三角形内部,任意放五个点。试证:在此三角形内,一定可以作三个正三角形盖住这五个点,这三个正三角形的各边分别平行于原三角形的边,并且它们的面积之和不超过0.64。题中断言符合条件的三个正三角形的面积之和不超过0.64。实际上,这个数值并不     

一类正三角形面积的一般公式

“已知定点到正三角形三个顶点的距离分别是m、n、k，求这个正三角形的面积．”在竞赛题和训练题中常出现这类问题的特例或与之有关的变通题，现将此类正三角形面积的一般公式介绍如下．定理在平面上，如果定点到正三角形三个顶点的距离分别是m、。、k，且任意两个距离之和不小于第三个距离，那么（Ⅰ）、当任意两个距离之和大于第三个距离时，满足条件的正三角形有两个，它们的面积是（Ⅱ）、当某两个距离之和等于第三个距离时，满足条件的正三角形只有一个，其面积是证明：不妨设（Ⅰ）、当n＋k＞m时，有定点P在正面ABC的外接圆内或外两…     

一道课本例题的引申

<正> 人教版九年义务教育课本《几何》第三册第180页有一例:“已知正三角形的边长为a,求它的内切圆和外接圆组成的圆环的面积.”本题答案是s=πa2/4.由该例可引申出一系列问题: 题1 已知正三角形的边长为a,则它的外接圆与内切圆的面     

三角形内外接正三角形面积的最值

用几何方法证明任意三角形最大外接正三角形所处的位置和面积,并以此来推导出三角形的最小外接正三角形的位置和面积.证明任意三角形外接正三角形和内接正三角形位置和面积的关系,给出任意三角形内接正三角形的几何作法,推导出任意三角形最小内接正三角形和最大内接正三角形的面积和对应位置.     

一道二次函数应用题引发的思考

1.题目描述浙教版九上数学教材中有这样一道题:如图1,有一张边长为10cm的正三角形纸板,若要从中剪一个面积最大的矩形纸板,应怎样剪?最大面积为多少?     

关联三个三角形面积的一个命题

设△ABC的三边长分别为a、b、c ,面积为S ,△ABC的外接正三角形的最大面积为Smax,内接正三角形的最小面积为Smin.由文 [1 ]知 ,Smax=36 (a2 b2 c2 ) 2S ;①由文 [2 ]知 ,Smin=S236 (a2 b2 c2 ) 2S.②由此可知Smax·Smin=S2 .于是 ,有命题　一个三角形的面积是它的最大外接正三角形的面积和最小内接正三角形的面积的比例中项 ,即S2 =Smax·Smin.关联三个三角形面积的一个命题@张宁$宁夏回族自治区中卫县宣和镇张洪学校!751706[1]　张延卫.三角形外接正三角形的最大面积[J].中等数学,2002(5). [2]　邢进喜.三角形内接正三…     

由一道高考题引起的探究

题　 (Ⅰ )给出两块面积相同的正三角形纸片(如图 1 ,图 2 ) ,要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型 ,另一个剪拼成一个正三棱柱模型 ,使他们的面积都与原三角形的面积相等 ,请设计一种剪拼方法 ,分别用虚线标示在图 1、图 2中 ,并作简要说明 ;(Ⅱ )试比较你剪拼的正三锥与正三棱柱的体积的大小 ;(2 0 0 2年全国高考试题)图 1　　　　　　　　图 2解完此题之后 ,笔者又作了进一步探究 ,现摘录如下 ,供同行们教学时参考 .问题 1　上题中共有多少种剪拼方案 ?(1 )设给出正三角形纸片的边长为 2 ,剪拼成正三棱锥的底面边长为ｘ ,斜高为ｈ′,高…     

巧解难得 常规易求

2012年陕西省中考数学试题第25题,不但题型新颖,而且解题方法有所创新,对于开拓学生知识视野,促进思维的角度,丰富解题策略有积极的推动作用.原题是:如图,正三角形ABC的边长为3+3^1/2.（1）如图①,正方形EFPN的顶点E、F在边AB上,顶点N在边AC上,在正三角形ABC及其内部,以A为位似中心,作正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′,且使正方形E′F’P’N′的面积最大（不要求写出作法）.（2）求（1）中作出的正方形E′F’P’N′的边长;（3）如图②,在正三角形ABC中放入正方形DEMN     

由一道高考题引起的探究

今年高考江苏卷第21题是一道剪拼题,试题如下: 试题 (Ⅰ)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;     

三角形的最小外接正三角形

文[1]详细介绍了直角三角形的外接正三角形的纯几何作图方法,外接正三角形面积最大时的位置的确定、最大值求法,并解决了任意三角形的外接正三角形的最大值的求法.最后,提出如下问题:直角三角形是否存在最小面积的外接正三角形?若存在,位置何在?一般三角形是否存在最小面积的外     

一个四边形的面积引发的思考

<正>原题如图1,△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,△ABD,△ACE,△BFC都是等边三角形,求四边形ADFE的面积.分析由已知得△ABC为直角三角形,由等边三角形的性质易得△DBF≌△ABC≌△EFC.解法1最外沿大五边形等于一个正三角形+两个直角三角形,故可求其面积;用大五边形面积减去三个三角形面积即可求得结果(△ABD、△ACE、△ABC);     

妙用正三角形解题(初二、初三)

有一些平面几何题,可以通过构造正三角形,得到新颖、巧妙、简便的解法.本文说明在哪些情况下,可以构造正三角形. 1.题设中有60°角例1 六边形ABCDEF中,∠A=∠B=∠C=∠D=∠E=∠F,且AB BC=11,FA-CD=3,求BC DE的值.图1     

面积剖分理论与几何剪拼高考题

2002年高考数学试卷中有这样一道立体几何剪拼题(文科第(22)题、文理合卷第(21)题). 例1 (1)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三棱柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,设计一种剪拼方     

圆内接正多边形的一般性结论

<正>本文从一道典型的课本问题出发,通过改变原题的正三角形背景——将原题中的圆内接正三角形改变为圆内接正方形、正五边形、正n边形,得出一般性的结论;更进一步,将新问题的条件和结论互换,探究出的结论仍然成立.在此将探究的过程和结论整理成短文供读者参考,以期能给读者的教材研究和解题教学带来启发.     

由一道高考题引起的探究

题(Ⅰ)给出两块面积相同的正三角形纸片(如图1,图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一个剪拼成一个正三棱柱模型,使他们的面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;     

用数学知识解决实际问题四例

例1 如图1,用一块面积为80cm2的正三角形钢板制做一部件,要求从中截去一个小正三角形钢板,使小正三角形钢板外接于原正三角形的内切圆中,试计算出截去的小钢板后剩余部分的面积. 解:将小正三角形绕圆心旋转,使三个顶点与切点重合,易得出小正三角     

变式训练 提高效益

初三数学复习研讨课上,笔者针对任课教师给出的一道题目,灵感顿发,提出对该题进行适当的变式训练,既能巩固全等三角形的判定、性质,又能巩固正三角形、相似三角形、四点共圆、三角形的面积等有关知识;既能夯实基础,又能培养探究能力.加强知识间的内在联系,串紧知识链.实践证明,极大地提高了数学课堂教学效益.     

一道课本习题的变式探究

题目如图1,ΔOAB是边长为2的正三角形,设ΔOAB位于直线x=t(t>0)左侧的图形的面积为f(t),求函数f(t)的解析式,并画出函数y=f(t)的图象.这是人教版数学《必修1》第113页复习参考题B组第2题.     

波尔约—盖尔文定理与2002年高考（文）第22题

2002年全国高考(文)第22题(文理合卷第21题): (Ⅰ)给出两块相同的正三角形纸片(如图1、图2),要求用其中一块剪拼成一个正三棱锥模型,另一块剪拼成一个正三校柱模型,使它们的全面积都与原三角形的面积相等,请设计一种剪拼方法,分别用虚线标示在图1、图2中,并作简要说明;     

关于一道例题的探讨

九年义务教材《几何》第三册180页例1,原题及解法如下: 例1 已知正三角形的边长为a,求它的内切圆与外接圆组成的圆环的面积。