澄清容易混淆的数学概念

九年义务教育三年制初级中学教科书中的部分易混淆概念.1 近似值,近似数,精确度“近似值”接近准确值的数值(比准确值略多一些或少一些).在实际计算上经常使用,它分为过剩近似值和不足近似值.“近似值”一个数和原来实际的数很接近的,这个数叫做近似数.例如一所学校约有900人这个900人是近似数.“精确度”表示近似值近似的程度.例如精确到0.01是要求计算结果保留两位小数,从第三位小数四舍五入.     

为什么近似值5．0比5精确——关于“积或商的近似值”的教学设想

对于小学生来说，学会求积或商的近似值并不困难，但是对为什么近似值5．0要比5精确，为什么近似值5．0末尾的零不能去掉，却比较难以理解。为了突破这一教学难点，教师可以采用逐步铺垫的教学策略：通过具体实例，使学生感受到一个近似值所表示的是一个数的范围。再让他们借助于生活经验，去体验一个近似值保留的位数越多，则它的精确度就越高。进而凭借数轴进行探究活动，并获得真正意义上的理解，即“一个近似值的数域大，则精确度就低：一个近似值的数域小，则精确度就高“。     

誤差及簡單的近似值运算(續)

Ⅳ簡單运算的誤差在近似值的运算中,一般总有这样兩个基本問題: 第一个問題是如何由已知近似值之誤差限(或誤差)來估計运算后之誤差限(或誤差)。第二个問題是每个近似值应有几位有效或可靠数字,則运算的結果有預先給定的誤差限。这里我們將只討論加、減、乘、除、开方等簡單运算;并且在加法中,除非特別声明,所要加起來     

几个容易混淆的问题

教学中,常遇见有的老师与学生由于概念不清;或对问题解答过了繁琐;或判断、解答错误;或编造一些模棱两可的问题;或臆造一些用语,因而造成失误。举例如下。不能随便取近似值有个习题是“已知5个8.4与x的7倍的和等于50.24,求x”,列出方程为8.4×5 7x=50.24,解时x=8.24÷7。此时有的同学就对x取近似值,这是不妥的。因为原题要求“求x”,而不是求x的近似值。在这种情况下,x最好用分数1 (31)/(175)表示。平行四边形不是对称图形吗     

"割圆术"蕴涵的两个结论

众所周知,我国古代数学家刘徽创造的"割圆术",是用圆内接(或外切)正多边形的周长和面积作为圆的周长与面积的近似值.那么,刘徽为什么要用圆内接(或外切)正多边形的周长和面积,而不用圆的其它内接(或外切)多边形周长和面积作为圆的周长与面积的近似值呢?其实,"割圆术"蕴涵了如下两个结论:     

潜伏——近似值背后的真实值

近似计算是中学物理问题中一种常用的估算方法,由此求出的物理量是近似值.近似值的背后潜藏着一个确定的真实值,近似值是对物理问题近似的描述,近似值与真实值存在着差值.一类差值来源于物理模型的近似,另一类差值来源于数学方法的近似.如果我们拨开包围在真实值周围的层层迷雾,就可以找寻出近似值背后的真实值.     

计算机数学基础例题解析

例 1　设x =π=3.1 4 1 5 92 6… ,求x 的近似值及有效数字。解　若取x 的近似值x =3.1 4 =0 .31 4 × 1 0 1 ,即m =1 ,它的绝对误差是 - 0 .0 0 1 5 92 6… ,有x -x =0 .0 0 1 5 92 6… ≤ 0 .5× 1 0 1 -3 ,即l=3,故近似值x =3.1 4有 3位有效数字。或x =3.1 4的绝对误差限 0 .0 0 5 ,它是x 小数后第 2位的半个单位 ,故近似值x =3.1 4准确到小数点后第 2位。若取近似值x =3.1 4 1 6 ,绝对误差是 0 .0 0 0 0 0 74… ,有x-x =0 .0 0 0 0 0 74…≤ 0 .5 × 1 0 1 -5,即m =1 ,l =5 ,故近似值x =3.1 4 1 6有 5位有效数字。或x=3.1 4 1 6的绝对误…     

计算机数学基础(2)典型题例1

例1 设X~*=π=3.141 592 6…,求X~*的近似值及有效数字。 解 若取X~*的近似值X=314=0.314×10~1,即m=1,它的绝对误差是-0.001 592 6…,有|X-X~*|=0.001 592 6…≤0.5×10~（1-3）,即L=3,故X=3.14有3位有效数字。X=3.14准确到小数点后第2位。 若取近似值X=3.1416,绝对误差是0.000 007 4…,有: |X-X~*|=0.000 007 4…≤0.5×10~（1-5）即 m=1,l=5 故近似值X=3.141 6有5位有效数字,或X=3.141 6的绝对误差限0.000 05,它是X~*的小数后第4位的半个单位,故近似值X=3.141 6准确到小数点后第4位。 若取近似值X=3.141 5,绝对误差是0.000 092 6…,有: |X-X~*|=0.000 092 6…≤0.5×10~（1-4）即 m=1,l=4,故近似值 x=3.141 5只有4位有效数字,或x=3.141 5的绝对误差限0.000 05,它是x~*的小数后第3位的半个单位,故近似值X=3.141 5准确到小数点后第3位。     

细究“近似值”

【第065题】近似值为6．89的三位小数是否包括6．8907（吉林省四平市铁西区教师进修学校王红钧供题） 【解答综述】近似值是无法得到或无须采用准确值时,所取的接近准确值的数值,如3．14是圆周率的近似值,10/6保留一位小数得到近似值1．7,6．893保留两位小数得到近似值6．89。部分教师认为,6;890=6．89,因此6．890不是6．89的近似值。我们认为,近似值为6．89的三位小数包括6．890,并建议大家关注以下内容：①6．890是三位小数,用四舍五入法保留两位小数能得到6．89,而用四舍五入法、     

巧取商的近似值

今天，我们学习求商的近似值时，老师让我们根据求积的近似值的方法，试着独立探索，然后进行小组合作学习，共同探讨求商的近似值的方法。老师给我们出了两道题。     

一类微分算子特征值的算法

采用Galerkin方法来构造适当的基函数,计算一类微分算子特征值的近似值,且可用第n次近似值来估计第n-1次近似值的精确度.随着n的增大,特征值λk的精确度逐步提高,只要适当选取n,就可以求得所需精确度的特征值的近似值,此算法具有一定的实用价值和理论价值.     

1234567890数之10 (初一、初二、初三)

(5)无理数的近似值无理数的近似值是和无理数近似相等的有理数。例如 3,3.1,3.14,3.141,3.1415都是圆周率π的近似值.可以看出它们都是有理数; 它们都比π小,所以叫做π的不足近似值;     

介绍利用余数求商的近似值的方法

在统编小学《数学》第七册课本第二单元,第3小节“小数除法”这一章节中,安排了按照“四舍五入法”求商的近似值这一内容。除了“四舍五入法”取近似值外,这里谈谈如何利用余数求商的近似值的方法。第一步:按照题目要求除到需要保留的小数位数。第二步,将余数乘以2(要求口算算出),如果所得的积等于或大于除数,那么,就在需要求的商的末位加1;如果所得的积小于除数,就不能加1,所得的     

如何取近似数

正同学们都知道,近似地表示某一个量的准确值的数叫做近似数。那么,如何取近似数呢?其一,要弄清求商和积近似值的异同点。求商的近似值和求积的近似值通常都是按"四舍五入法"取近似值,但不同的是,取商的近似值时,计算所求的商比要保留     

计算机数学基础(2)典型题例

例1设x*=π=3.141 592　6…,求x*的近似值及有效数字。 解 若取x*的近似值x=3.14=0.314×101,即m=1,它的绝对误差是-0.001 5926….有|x-x*|=0.001592 6…≤0.5×101-3,即l=3,故x=3.14有3位有效数字。x=3.14准确到小数点后第2位。 若取近似值x=3.141　6,绝对误差是0.000　007 4….有:|x-x*|=0.000 007 4…< 0.5×101-5即m=1,l=5 故近似值x=3.141有5位有效数字。或x=3.141的绝对误差限 0.000 05,它是x*的小数后第4位的半个单位,故近似值x=3.1416准确到小数点后第4位。     

某类六阶微分方程带权特征值的算法

构建了计算某类六阶微分方程带权特征值的近似值的算法。主要结果的证明基于变分原理。首先证明了三个引理；其次采用Galerkin方法来构造适当的基函数，利用Cauchy不等式给出了其特征值计算的误差估计式；最后得到计算某类六阶微分方程带权特征值的近似值的算法，而且可以用第n次近似值来估计第n-1次的近似值的精确度。只要适当选取n，就可以求得所要精确度的特征值的近似值，这个算法具有广泛的实用价值和理论价值。     

细品方知味 深研便得法——高考试题中数列和不等式的定积分证明赏析

定积分背景源于曲边梯形面积的计算.其计算方法是,将它分割成许多小曲边梯形,每个小曲边梯形用相应的小矩形(或梯形)近似代替,把这些小矩形(或梯形)面积累加(求和)起来,就得到曲边梯形的一个近似值,当分割无限变细时,这个近似值无限趋近于所要求的曲边梯形的面积.而数列是自变量取正整数集的一特殊函数.若对数列和     

《数学》第六讲 实数的运算

一、实数加、减、乘、除的意义 我们先介绍无理数的近似值。 用无限不循环小数表示的一个无理数,如果把它的十分位、百分位、千分位等后面的所有数字都舍去,就分别得到这个无理数精确到0.1、0.01、0.001等的不足近似值。如果在不足近似值的最末一位加上这一位的一个单位,就得出精确度相同的过剩近似值。     

彰显个体思维的独特性

教学五年级（上册）《求商的近似值》。例题教学之后,学生们总结出了求商的近似值的方法：在竖式计算时,除到比要求保留的小数位数多一位,再利用“四舍五人”的方法取商的近似值。     

梁横向振动问题的特征值的一种算法

本文考虑计算梁横向振动问题的特征值的近似值的一种算法 .主要结果的证明运用变分公式 .首先利用Cauchy不等式证明了一个基本不等式 ;其次采用Galerkin方法来构造适当的基函数 ,并利用Cauchy不等式给出了其特征值计算的误差估计式 ;最后得到计算梁横向振动问题的特征值的近似值的算法 ,而且可以用第n次近似值来估计第n - 1次的近似值的精确度 .随着n的增大 ,特征值λk 的精确度逐步提高 ,只要适当选取n ,就可以求得所要精确度的特征值的近似值 .这个算法具有广泛的实用价值和理论价值