数学证明教学要教什么

数学证明在数学教学中占据着重要的作用．在数学教学中,数学证明要教些什么呢？本文从让学生顺利地从实用性证明过渡到理性证明,要淡化形式、注重实质,要善于揭示过程、培养推理能力以及把握好合情推理和演绎推理的关系四个方面进行了阐述．     

一个不等式的推广

从许多相关杂志上都能见到如下不等式 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,则 (ｘ2 +ｙ2 ) 12 >(ｘ3+ｙ3) 13. ( 1 )下面笔者给出式 ( 1 )的两个推广 :推广 1 :若ｘ、ｙ∈Ｒ+,ｍ、ｎ∈Ｎ且ｎ >ｍ ,则　 (ｘｍ+ｙｍ) 1ｍ >(ｘｎ+ｙｎ) 1ｎ . ( 2 )推广 2 :若ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ∈Ｒ+,且ｓ>ｔ>0 ,则事实上 ,式 ( 3 )又是式 ( 2 )的推广 ,因此我们只证明式 ( 3 ) .证明 :所证不等式等价于下列不等式∑ｎｉ=1ａｔｉ1ｔ∑ｎｉ=1ａｓｉ1ｓ>1 ,即　 ａｓ1∑ａｓｉｔｓ +… +ａｓｎ∑ａｓｉｔｓ1ｔ >1 .( 4)令 ａｓ1∑ａｓｉ1ｓ =ｂ1,… ,ａｓｎ∑ａｓｉ1ｓ =ｂｎ,则ｂｉ…     

一个有趣不等式的推广

对于任意实数a,b都有 ((a+b)/(2))((a2+b2)/(2))((a3+b3)/(2))≤(a6+b6)/(2),(1)当且仅当a=b时取等号.     

例说不等式证明的若干技巧

不等式的证明是高中数学的一个重点,也是一个难点.不等式的证明方法灵活多样,其中比较法、综合法、分析法是证明不等式最基本的方法.高考中不等式的证明经常出现在与其它知识如函数、数列、解析几何的综合题中,许多考生显得极不适应,觉得尤为困难.本文将通过具体的实例与读者一起探讨不等式的证明中经常用到的若干技巧:     

对一类极值问题的研讨--兼擂台题(60)的证明

2003年第2期<中学数学教学>由笔者提供的有奖解题擂台(60)是:     

一个三角形不等式的巧证

《数学教学》2 0 0 1年第 2期问题 532是 :在△ ABC中 ,∠ A,∠ B,∠ C的对边 BC=a,CA= b,AB=c,试证明 :2 bcos C2 +2 ccos B2 >a+b+c. (1 )这是一个形式优美的不等式 ,第 3期给出化边为角的常规的证明方法 ,下面我们给出另一种简便证法 .分析　观察不等式 (1 ) ,我们设想 ,如果能够构造出以 2 bcos C2 ,2 ccos B2 ,a+b+c为边长的三角形 ,则 (1 )式成立就不言而喻了 ,于是我们自然得到如下证法 .图 1证明　过 A点作直线 l∥ BC,BB′平分∠ABC,CC′平分∠ ACB,且 BB′∩ l=B′,CC′∩ l=C′.再过点 B作 BD∥ CC′,BD∩ l=D…     

有关数学证明的一次教师问卷调查

Mathematical proofs are not only the focus of every country’s mathematics curriculum reforms, but also the subject of research on mathematics education. This paper is based on a survey of mathematics teachers, the goal of which was to investigate the understanding of mathematical proofs of secondary school math teachers, their levels of mathematical proofs, and their ability to comprehensively teach mathematical proofs. Preliminary results of the survey provide insight into several characteristic aspects of Chinese secondary school teachers’ literacy of mathematical proofs.     

渗透数学文化的一则教学案例

数学是什么?笔者曾对学生做了口头调查,结果绝大多数学生说:数学就是解题.这是个多么令人心痛的回答!数学是什么?这是一个数学观的问题,但绝不仅仅是解题!事实上,数学是一种文化。如何弘扬这种文化,笔者一直思考着这个问题。当教学进度     

对若干数学问题的再感悟

笔者长期关注数学问题解答栏.多年来,笔者从研究这些优美问题的过程中吸收了不少的营养和财富,使学生开阔了视野,提高了他们的解题能力.现在再讨论几道不等式问题的解法(证明),并分析其来龙去脉;供读者参考.     

数学证明教学策略探索

证明可以分为实用性证明和理性的证明两类.学生学习数学证明前已有实用性证明观念,教师在数学证明入门教学中常常忽视学生的实用性证明观念.数学证明入门教学的有效策略是:实现由实用性证明到理性证明的过渡,并应有较为合理的证明教学观.     

一个不等式错证引起的思考

笔者在翻阅近期出版的一个杂志时 ,发现一篇题为《一个不等式的简证》的短文 ,全文如下 :已知 :ａ3 ｂ3=2 .求证 :ａ ｂ≤ 2 .证明 :由ａ3 1 1≥ 3 3 ａ3·1·1 =3ａ ,知ｂ3 1 1≥ 3ｂ ,两式相加得ａ3 ｂ3 4≥ 3 (ａ ｂ) .由ａ3 ｂ3=2 ,得ａ ｂ≤ 13 (ａ3 ｂ3 4) =13 × 6     

证明的作用和挑战对数学教学的影响

上个世纪,人们重新审视数学的本质,出现了很多的关于证明的观点,如:"证明是数学实践的反映","证明是促进数学理解的一个极其重要的工具","证明可以用来交流数学理解"等.最近,证明在数学和数学教育中的作用受到了质疑,甚至有人预测,证明将消失.这种质疑来自数学内部、数学教育、社会价值和经验科学的挑战,对数学教学产生了重要影响.     

角的问题之一——角的证明

（本讲适合初中） 综观近几年国内外各类数学竞赛，涉及角的问题常有出现．这主要表现在两个方面：[第一段]     

运用差异分析 证明不等问题

不等式的证明是数学证题中的难点，其原因是证明无固定的程序可循，方法多样(比较法、分析法、综合法、反证法、放缩法、换元法、数学归纳法、构造法等)，技巧性强，现介绍一种对于证明一类不等式普遍适用的策略——差异分析法．所谓差异分析，就是通过分析条件和结论之间的差异、并不断减少目标差来完成解题的策略．运用“差异分析”证题可以同时回答“从何处下手”与“向何方前进”这两个基本问题，     

几例有趣的数学现象

在数学大干世界中，有些现象仅凭想当然是不行的，当你初看时几乎是不相信，但经过计算和证明，却又不得不信．下面列举几种，以飨读者．     

初中生对几何证明的认识

直观实验和几何证明是几何教学中常用的两种重要方法.学生对几何证明的本质还缺乏认识.学生认为直观实验不能算是几何证明,一方面因为直观实验存在误差,另一方面直观实验只能从不完全归纳中得出结论.