巧用例题结论证明相关不等式

不等式的证明历来是中学数学中的难点，要学好这部分内容，不仅要掌握好不等式的基础知识、方法、和技能，在平时的学习中还要善于反思和总结，进而提高我们探索、研究、分析和解决问题的能力．下面仅以教材（高中数学第二册（上））P12的两道例题结论的应用为例，谈谈如何将例题结论推广应用的问题．     

柯西不等式的教学实践及反思

柯西不等式是普通高中课程标准实验教科书·数学[1]（选修4—5，人教A版）的“不等式选讲”中的重要内容．笔者发现，不少教师在教这一内容时基本上是按照教材的呈现方式：先给出二维形式和三维形式的柯西不等式，再要求学生归纳猜想一般形式的柯西不等式（如果学生归纳不出，教师就直接告诉学生），而后通过“引导”学生如何构造二次函数，利用判别式法来证明（更多的是教师直截了当地告诉学生或自己直接操作）．教材的这种处理方式有一定的优点，     

二次函数、二次方程与不等式关系举隅

高三复习阶段的学生在二次函数、二次方程与不等式的处理和应用上含糊不清，遇到这类问题往往不知所措也无从下手．笔者回顾自己多年的高三教学，在这个问题列举几道例题并进行分析，以起到抛砖引玉的作用．     

浅析不等式解实际问题的几种类型

强调数学的应用和培养学生的数学意识,是中学数学教学的重要任务之一,近年来在高考试题中考查应用问题的力度越来越强.不等式在实际生活中具有广泛应用,在解决实际问题时常常用到不等式的理论和方法,建立不等式数学模型解实际问题是中学数学应用问题的重要题型之一,而且近年来很受高考命题者的亲睐.为了能够更好地理解和处理好这类问题,笔者下面通过几道例题浅析运用不等式解实际问题的几种类型,供大家参考.     

用凸函数证明一类三角不等式

在中学数学课本中，凸函数这一概念虽未曾出现，但观察历年中学奥林匹克数学竞赛及近几年全国各地高考试题，涉及凸函数知识的题目已频繁出现．事实上，让中学生掌握一些凸函数的简单应用，能起到承上启下，启迪学生思维，增强学生数形结合能力的作用．特别是一些三角不等式，往往看起来很复杂，甚至无从下手，但如果利用凸函数的性质给予证明，则会起到简捷明了、事半功倍的效果．本文通过例题分析，说明凸函数在不等式证明中的巧妙作用．     

竞赛中不等式证明的一些典型方法（上）

对于比较复杂的不等式问题,不仅要用到一些重要的定理和性质,而且需要多种方法和技巧的灵活运用。下面通过例题来介绍不等式证明（包括一些最值问题）中一些典型的方法和技巧。     

把数学教学与现实生活联系起来

１．教学内容从师生共同探讨的问题中产生。教学内容如能从师生共同探讨的问题中产生，学生已有的知识和生活经验就能被激活，枯燥的数学问题就会变得有趣、生动，易于理解。例如简单归一应用题的教学，教师可先选出有代表性的５位同学进行口算题测试，经统计在１分钟内５位同学共口算７０道题。于是师生共同编出了下面这道例题：在１分钟内５位同学共口算７０道题。照这样计算，全班４５位同学在１分钟内共能口算多少道题？由于这个例题是师生共同探讨产生的，所以学生对例题的结构、数量关系更亲近，很快就掌握了这类题的解题思路。２．教…     

不等式的恒成立、恰成立与能成立

例题 对于不等式x^2-（a＋1）x＋a〈0，求涟足下列条件时，实数a的取值范围：（1）对x∈（1，2），不等式恒成立；（2）不等式的解集是（1，2）；（3）存在x∈（1，2），使不等式成立．     

例谈对一个解法的教学引导

笔者在讲授必修5（人教A版）“基本不等式”及其应用时，有针对性地布置了一道思考题让学生去做．原题如下：“已知正数x、y满足x＋y=1，求1/x＋1/y的最小值．”检查后发现很多学生都是这样做的，实录如下：     

谈谈初中数学教学中对学生问题解决能力的培养

在初中数学教学中，问题解决能力的培养是课堂教学的重要任务之一。教学中，培养学生问题解决能力的策略有：（1）立足基础，发挥课本例题的作用；（2）创设恰当的数学情境；（3）精心设计提问内容；（4）让学生学会反思；（5）提倡求异思维。     

课本例题的挖掘与拓展

笔者经常去本市的一些重点学校听示范课、观摩课．发现一些教师在教学中并不太喜欢使用课本中的例题,而往往是从一些教辅材料中转引例题或者干脆使用高考题．与其交流得知他们普遍认为教材中的例题过于简单,对训练学生（特别是好学生）的数学思维并没有多大帮助．对此,笔者并不苟同．笔者通过多年的教学实践认识到．教材中的多数例题具有较强的基础性,入口浅,     

函数的思想在方程与不等式中的应用

函数是高中数学的重要内容，也是高考必考的内容；而学生对函数的理解更多的还是停留在感性认识上，缺乏必要的理性认识．函数的思想主要指用函数的概念和性质以及图象的特征去分析、转化问题，进而解决问题．本文以一些例题来阐述函数思想在解有关方程和不等式问题中的应用．     

二次方程性质的应用

（本讲适合初中）二次方程最重要的性质是判别式和韦达定理，下面通过一些例题给出关于二次方程性质的应用．     

数学5“不等式”内容分析及教学建议

“不等式”是高中数学的传统内容,与传统教材（指老人教版教材）相比,课标教材必修数学5（以苏教版和人教A版教材为例,以下简称“课标教材”）在这一章的内容安排、编写思路、教学目标与要求上都有较大变化．本文对这些变化作以分析,并就教学中应注意的问题谈一些想法和建议,供大家参考．     

“平面几何中的向量方法”教材分析与教学设计

＂平面几何中的向量方法＂是高中数学人教A版必修4（以下简称＂教材＂）第2.5节＂平面向量应用举例＂第一课时的内容.从实际教学来看,不少教师对本节课不够重视,通常只是简单地讲解几道例题、布置几道练习,然后让学生自己＂了解、感受＂向量法是解决平面几何问题的另一种方法,缺乏对教学目标任务的深刻理解和准确把握,表现出较大的随意性.现笔者将自己的教材分析与教学设计概述如下,与同行交流.     

二元一次不等式（组）表示平面区域的教学设计

一、教学内容分析 本节课是《普通高中课程准标实验教科书·数学（必修5）》（人教A版）第三章不等式中的二元一次不等式（组）表示平面区域第一课时．主要内容是二元一次不等式的几何意义,二元一次不等式（组）与由若干直线围成的平面区域互相转化,它是进一步学习简单线性规划内容必备知识．     

“精确到”“精确度”似同实不同——对新教材中“用二分法求方程的近似解”的思考

在讲完人教A版新教材中用二分法求方程的近似解的步骤要求及例题后，笔者编拟了一道例题：借助计算器或计算机用二分法求函数f（x）=log,x＋x-2的零点（精确到0．01）．学生的解答却出乎意料．经询问得知，错因在于把“精确到0．01”，误解为“精确度0．01”，经提示后还是不能得到正确答案．后来翻看多种教辅资料和相关教学刊物，     

课本例题的价值在拓展中提升

课本是学生知识资源的依据,课本中的例题、习题是学生务必要掌握的．因考虑到教学的阶段性要求,课本中的例题一般或体现某个定理（公式）的应用,或体现某种解题（思想）方法,具有基础性和示范性,有利于学生模仿、操练．笔者以为,适时、适度地对课本例题（习题）进行拓展,值得提倡．通过拓展,建立联系,整合知识,提炼思想方法,有利于学生开阔视野,学会借鉴,学会欣赏,激活其思维发散．本文就人教社《全日制普通高级中学教科书·数学》第二册（上）第六章“不等式”中的小结与复习中的参考例题来具体地谈谈如何拓展．[第一段]     

用二次曲线图象解绝对值不等式举例

用二次曲线图象解绝对值不等式举例兰州市二中马瑞华解含有绝对值的不等式，是不等式解法教学中的难点之一．除常用的解法之外，本文介绍几个用二次曲线的图象解绝对值不等式的例题．例１．解不等式｜ｘ－１｜＋｜ｘ＋２｜＜５．解：设点Ｆ１（１，０），Ｆ２（－２，０）...     

例谈含参不等式的解法

例谈含参不等式的解法成世泰（甘肃省秦安县二中７４１６００）解含有参数字母的不等式，一般都涉及到分类讨论的思想．由于学生不明白为什么需要讨论，何时进行讨论，以及把握不住分类的标准，致使不少学生碰到这类问题时束手无策，望而生畏．本文就此问题通过例题谈谈常...