公式法求y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)的特解

求微分方程y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)的特解y~*,传统的方法比较麻烦。本文为此导出求特解y~*之中多项式待定系数的公式,只需简单计算即可求解。     

x″+px′+qx=(a_2t~2+a_1t+a_0)e~(λ_0t)的特解公式的建立与应用

本文对二阶常系数非齐次线性方程x″＋px′＋qx＝（a_2t~2＋a_1t＋a_0）e~(λ0ｔ)建立了一组特解公式。欲求该方程的特解,只须应用公式就行了     

变换x=e~(λt)y在解微分方程中的作用

中山大学数学力学系常微分方程组编的《常微分方程》教材中,在解常系数线性齐次微分方程L[x]=a_1x a_1x′ … a_nx~(n)=0(1)和非齐次方程L[x]=a_0x a_1x′ … a_nx~(n)=f(t)(2)时都要用到这一变换。我们在教学中觉得把常系数线性方程经过变换x=e~(λty)后的结果写了出来并用数学归纳法加以证明较妥。这样在常系数线性齐次方程的特征方程有重根时解的讨论和非齐次方程(2)右端函数为f(t)=e~(λty)(t)(P(t)为m次多项式)的待定系数法的研究中都很方便,而且也更有说服力。即引入下面的定理。     

复杂二阶常系数非齐次线性微分方程的特解问题

本文根据已有的微分方程基础知识,讨论了复杂二阶常系数非齐次微分方程,形如y'+py'+qy=e~(λx)[(α_0+α_1x)cosωx+(b_0+b_1x)sinωx]的特解的一般公式。通过应用公式,避免了求解三因式相乘的二阶导数的繁杂工作,大大化简了特解的求解过程,从而删繁就简。     

线性非齐次方程快速待定系数法

其中F(D)=a_0~(?) a_1D … a_(n-1)D_m~(n-1) a_nD~n,D=d/dt,求其特解的方法很多,待定系数法,方法简单但计算工作量大,算子解法则需要一套理论准备,我们现在提出的解法是介于这二者之间,特别是当f(l)=P_m(t)为m次多项式时,求(1)的特解转化为做一个除法,把求导、代入等过程都省去了。类型IF(D)x=P_m(t)(2)分两种情形讨论。第一种情形为a_0≠0,此时方程(2)应有m次多项式的特解,为了简化计算我们取     

一类特殊的二阶常系数线性非齐次微分方程的解法

针对非齐次项为f(x)=eλxP1(x)的二阶常系数线性微分方程,给出了三种情形下特解表达式中待求系数和已知量之间的代数关系,简化了待定系数法求特解时的计算.特别地,在λ为对应齐次方程特征方程的二重特征根和P1(x)=rx的情形下,给出了一种简单求法.     

微分方程特征根法求解探讨

本文将利用特征方程推出自由项为f(x)e~(λx)的一阶、三阶等常系数线性微分方程的通解结构。 一、定理和已知结果 众所周知设二阶常系数线性微分方程为: y″+py′+qy=f(x)e~(λx) (p、ε、λ为实常数) (f(x)为多项式) (1)     

微分方程y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)(特征实根r_1≠r_2)特解的多种求解法

求微分方程y″+py′+qy=p_m(x)e~(λx)(特征实根r_1≠r_2)特解的多种方法:待定系数法、算子法、迭代法、构造法的介绍。     

一类非齐次微分方程的特解公式

本文得到常系数非齐次线性微分方程,αλ均为常数),的特解公式,其中在x=λ的k阶导数,k为F(x)=0含根λ的重数.     

非齐次常系数常微分方程特解形式的一个推导

考虑n阶非齐次常系数线性常微分方程y^(n) pn-1y^(n-1) … p1y′ p0y=f(x)，当它的右端项f(x)=e^λxPm(x)时，给出它的特解形式的推导。     

常系数线性微分方程的特解求法的另一证明

在王高雄等人编的《常微分方程》的教材中,常系数齐线性方程y~n a_(n-1)y~(n-1) …… a_1·y a_oy=0的n个线性无关的特解及非齐线性方程y~n a_(n-1)·y~(n-1) …… a_1·y a_oy=e~(λx)·A_m(x)的特解的证明过程有一定的技巧性,本文介绍的证明方法没有用到变换的方法,证明更为简单.     

双曲函数在积分法求解微分方程中的应用

在求解微分方程过程中,某些积分运算利用双曲代换比较容易算出结果,除此以外,有些微分方程的解,特别是线性微分方程的解可以利用双曲函数通过积分比较方便地表示出来,本文介绍双曲函数在求解二阶常系数线性微分方程中的一些应用。方程Ⅰ.y-a~2y=f（X）（a≠0）（1） 这是二阶常系数非齐次方程,先求出对应的齐次方程 y-a~2y=0（1）’的通解:由特征方程r~2-a~2=0得特征根r_1=a,r_2=-a ∴y_1=e~(ax),y_2=e~(-ax)是（1）’的两个特解我们取y_1=e~(ax）+e_(-ax)/2=chax y_2=y_1=e~(ax)-e(-ax)/2=shax 作为（1）'的两个特解,且易证它们是线性无关的 ∴Y=c_1chax+c_2shax 是方程（1）’的通解 为求方程(1）的通解,运用常数变易法 设 y=c_1(x)chax+c_2(x)shax （2）     

x“＋px‘＋qx=（a2t^2＋a1t＋ao）e^λo^t的特解公式的建立与应用

本文对二阶常系数非齐次线性方程x“ px‘ qx=(a2t^2 a1t ao)e^λo^t建立了一组特解公式。欲求该方程的特解,只须应用公式就行了。     

公式法求y"+py''+qy=pm(x)eλx的特解

求微分方程y"+py'+qy=pm(x)eλx的特解y*,传统的方法比较麻烦.本文为此导出求特解v*之中多项式待定系数的公式,只需简单计算即可求解.     

关于变系数线性微分方程组基解矩阵的一点注记

众所周知,常系数线性齐次方程 x~1=ax,其通解为 x=e~(at)C(C 为任意常数).对应地,常系数线性齐次微分方程组:X′=AX,通解为 X=e~(At)C.(C 为任意常数向量).它们的通解在结构上是多么相近啊.对于变系数线性齐次方程:x′=p(x)x,其通解为:     

常系数线按非齐次微分方程和Euler方程通解的一种显示表达

一、引言 对n阶常系数线性非齐次微分方程 y~(n) p_1y~(n-1) p_2y~(n-2) … P_(n-1)y~/ P_ny=f(X)(1)其中p_1,p_2…,p_n为常数,若能求出其对应齐次方程的n个特征根,则很容易写出该齐次方程的通解Y(x)的显式表达式。 (i)当方程(1)的右端f(x)=c~(ax)[g(x)cosbx h(x)sinbx]时,其中a、b为实数,g(x)和h(x)是x的多项式,可用待定系数法求出(1)的一个特解y~*(x),从而得(1)的通解为y=r)x) y~*(x)。     

谈常系数非齐次线性微分方程的求解

一阶常系数非齐次线性微分方程 y′+py=f(x) (1)其通解为y=e~(-px)(∫f(x)e~(px)dx+c),或y=e(-px)∫f(x)e~(px)dx,联系到相应的齐次方程的特征方程r+p=0,通解中-p就是特征根r,于是通解又可记为y=e~(rz)(∫f(x)e~(-rx)dx+c),或y=e~(rx)∫f(x)e~(-rx)dx,利用这个公式容易求出(1)的通解。这使我们联想到二     

公式法求y″＋py′＋qy=Pm（x）e^λx的特解

求微分方程y″ py′ qy=Pm(x)e^λx的特解y*，传统的方法比较麻烦。本文为此导出求特解y*之中多项式待定系数的公式，只需简单计算即可求解。     

n阶常系数非齐线性微分方程特解的简便算法

求n阶常系数非齐线性微分方程特解的常用方法一般有待定系数法、算子法、拉氏变换法和常数交易法。本文介绍求一类n阶常系数非齐线性微分方程特解的公式,可望使计算得到简化。 设P_0y~((n)) P_1y~((n-1)) P_2y~((n-2)) …… P_ny=f_k(t)e~(αt)(1)其中f_k(t)为k次多项式,α为复常数。将(1)写为L(D)y=f_k(t)e~(αt)(2)     

一类常系数非齐次线性微分方程特解的求法

针对n阶常系数非齐次线性做分方程y⁽ⁿ⁾+p_1y(n)+p_1y^(n-1)+...+p_(n-1)y'+p_ny=e(n-1)+...+p_(n-1)y'+p_ny=e^(λx)(p_1(x)cosωx+p_m(x)sinωx),运用特征函数导数法和比较系数法,得到了方程的一个公式化特解,简单易行。