2013年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,AB是圆,的一条弦,P为弧A召内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB．联结PE、PF并延长,与圆Г分别交于点C、D．证明：     

2005年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 如图1，在△ABC中，设AB〉AC，过点A作△ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心、AC为半径作圆分别交线段AB于点D，交直线l于点E、F．证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．     

2002年全国高中数学联赛加试题另解

20 0 2年全国高中数学联合竞赛于 2 0 0 2年 1 0月 1 3日结束 ,许多读者于一周之内寄来加试题的解答 ,其中诸多证明方法或解法相同或相近 .现根据来稿先后及解法特点整理如下 .图 1第一题　如图 1,在△ＡＢＣ中 ,∠Ａ =6 0° ,ＡＢ >ＡＣ ,点Ｏ是外心 ,两条高ＢＥ、ＣＦ交于点Ｈ ,点Ｍ、Ｎ分别在线段ＢＨ、ＨＦ上 ,且满足ＢＭ =ＣＮ .求ＭＨ +ＮＨＯＨ 的值 .解法 1:连ＯＢ、ＯＣ ,并设△ＡＢＣ的外接圆半径为Ｒ .由三角形外心性质知∠ＢＯＣ =2∠Ａ =12 0° .由垂心性质知∠ＢＨＣ =180° -∠Ａ =12 0° .所以 ,Ｂ、Ｃ、Ｈ、Ｏ四点共圆 .由…     

2010年全国高中数学联赛加试题另解

第一题已知锐角△ABC的外心为O,K是边BC上一点(不是边BC的中点),D是线段AK延长线上一点,直线BD与AC交于点N,直线CD与AB交于点M.求证:若OK⊥MN,则A、B、D、C四点共圆.     

2023年全国高中数学联赛加试题另解

<正>第一题如图1,Ω是以AB为直径的固定的半圆弧,ω是经过点A及Ω上另一个定点T的定圆,且ω的圆心位于△ABT内.设P是Ω的弧TB (不含端点)上的动点,C、D是ω上的两动点,满足:点C在线段AP上,点C、D在直线AB的异侧,且CD⊥AB.记△CDP的外心为K.证明:(1)点K在△TDP的外接圆上;(2) K为定点.     

2007年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 在锐角△ABC中,AB〈AC,AD是边BC上的高,P是线段AD内一点,过P作PE⊥AC,垂足为E,作PF⊥AB,垂足为F,O1、O2分别是△BDF、△CDE的外心．求证：O1、O2、E、F四点共圆的充要条件为P是△ABC的垂心．     

2006年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 以B0、B1为焦点的椭圆与△B0B1的边ABi交于点Ci（i=0，1）．在AB0的延长线上任取点P0，以B0为圆心、B0P0为半径作圆弧P0Q0交C1B0的延长线于点Q0；以C1为圆心、C1Q0为半径作圆弧Q0P1交B1A的延长线于点P1；[第一段]     

2014年全国高中数学联赛加试题另解

第一题 设实数a、b、c满足a+b+c=1,abc＞0.证明: ab+ bc+ ca＜a/2abc+1/4. 证法1 因为abc＞0,所以,a、b、c三个数要么为一个正数和两个负数,要么均为正数. 对于前一种情形,不妨设a＞0,b＜0,c＜0. 则 ab+ bc+ ca=ab+c(a+b)=ab+c(1-c) ＜0＜abc/2+1/4. 对于后一种情形,由舒尔不等式有 a(a-b)(a-c)+b(b-a)(b-c)+c(c-a)(c-b) ≥0 (→)j(a +b +c)3-4(a +b +c)(ab +bc +ca) +9abc ≥0.① 记p =ab +bc +ca,q=abc. 由式①及a+b+c=1,得1-4p +9q≥0. 从而,p≤9q/4+1/4. 因为q=abc≤(a+b/3+c)3=1/27,所以, √q≤√1/3＜2/9. 于是,9q＜2√q. 故p≤9q/4+1/4＜2√q/4+1/4=√q/2+1/4 (→) ab+bc+ca＜√abc+1/4.     

2003年全国高中数学联赛加试题另解

2003年全国高中数学联赛结束后，编辑部收到很多热情读的来稿，就联赛加试题给出了许多异于标准答案的解法．现根据来稿先后及解法的特点将部分解答进行整理，望与广大读分享．     

2012年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,在锐角△ABC中,AB〉AC,M、N是边BC上不同的两点,     

2009年全国高中数学联赛加试题另解

第一题如图1,M、N分别为锐角△ABC（∠A〈∠B）的外接圆网Г上弧BC、AC的中点．过点C作PC／／MN交圆Г于点P,I为△ABC的内心,联结P,并延长交圆Г于点T.求证：     

2004年全国高中数学联赛加试题另解

第一题　在锐角△ABC中 ,AB上的高CE与AC上的高BD相交于点H ,以DE为直径的圆分别交AB、AC于F、G两点 ,FG与AH相交于点K .已知BC =2 5,BD =2 0 ,BE =7.求AK的长 .解法 1 :易得CD =1 5,CE =2 4 .又易知B、C、D、E四点共圆 .由托勒密定理知CE·BD =DE·BC CD·BE .代入数据解得DE     

2005年全国联赛加试第二题的另解

题目设a、b、c、x、y、z〉0满足 cy＋bz=a,az＋cx=b,bx＋ay=c. 求函数 f（x,y,z）=x^2/1＋x＋y^2/1＋y＋z^2/1＋Z的最小值．     

2005年全国高中数学联赛加试第2题的探讨

这道题目初看起来比较平易，给人一种可以直接使用柯西不等式的惊喜，殊不知，这是一个极大的误区，本题的难度和技巧正是在这里设置了较好的陷阱。