探究一元二次方程根的分布

一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a〉0）有两个实数根（x1、x2,且x1〈x2）,根的分布类习题可分为六类,下面举例说明（对a〈0的方程,可通过两边乘以-1化为n〉0的方程）．     

从一道习题的错解谈忽视函数定义域致误问题

在函数复习中,我让同学们做了下面习题： 已知函数f（x）=logcc＋2,x∈[1,3],则函数F（x）={f（x）]^2＋f（x）^2的最大值为（）     

五例说转化

1．“恒成立”与“最值”的转化 例1设f（x）=1g 1＋2^x＋4^xa/3,a∈R,若当x∈（-∞,1]时,f（x）有意义,求a的取值范围。     

老师,你为何不反思?——记一次没有准备的探究活动及随想

在一次上“导数的应用”习题课时,一开始我就提出问题： 例 求函数y=x^2＋4/x-1（x〉1）的最小值．然后叫了一个学生A板演： 解（法1） 导函数y＇=2x＋-4/（x-1）^2,令y＇=0,即2x＋-4/（x-1）^2=0,解得x=2． 见表1,当x=2时,y有最小值8．     

歪打正着——一次变失败为成功的数学答疑课

在我刚接班不久的一节答疑课上，有学生拿出一道课外书的习题来问我，该题为： 设函数y=f（x）定义在R上，对任意的实数x，y，恒有f（x＋y）：f（x）f（y），且当x〉0时，0〈f（x）〈1。求证： （1）f（0）=1；（2）当x〈0时，f（x）〉1。     

课本习题中的小秘密

苏教版必修二课本第77页有这样一道习题：已知两条直线alz＋61y＋1=O和a2x＋62y＋1=0都过定点A（1,2）,求过两点P,（a1,b1）,P2（a2,b2）的直线方程．本题的解法是：因为两直线都过A（1,2）,所以a,＋2b1＋1=0,a2＋2b2＋1=0．由于（a1,b1）和（a2,b2）均适合方程x＋2y＋1=O,所以所求直线方程为X＋2y＋1=0．这种求直线方程的方法不同于我们求直线方程的常规方法,     

直线系方程的应用——从一道课本习题说起

人教A必修2第三章直线与方程习题3、3A组第4题：已知直线l1：A1x＋B1y＋C1=0与l2：A2x＋B2y＋C2=0相交,证明方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）=0（λ∈R）表示过l1与l2交点的直线方程.这是一个有用的结论,表示过2条已知直线l1和l2的交点的直线系方程,其中λ是参数,当λ=0时,     

习题教学中培养学生良好的思维品质

学数学离不开解题，本文就习题教学中如何培养学生思维品质谈几点认识 .　　一、通过一题多解培养思维的广阔性 　　思维的广阔性，是指对一个问题能从多方面、多角度地思考、分析 .教学中，教师可引导学生通过一题多解拓宽学生的思维 .　　例 1.解方程 (x－ 1）（ x－ 3）（ x－ 5）（ x－ 7） =105. 　　解：把方程左端化成 (x2－ 8x＋ 7）（ x2－ 8x＋ 15） =105，引导学生用换元法解 . 方法 (一 )：设 x2－ 8x＋ 7=y.(解略 ,下同 )　　方法 (二 )：设 x2－ 8x＋ 15=y． 方法 (三 )：设 x2－ 8x=y.　　方法 (四 )：设 x2－ 8x＋ =y． 　…     

作为非有序域的复数域

集合C={z＋yilz,y∈R）,其中i=√-1,带运算 （x1＋y1i）＋（x2＋y2i）-（x1＋x2）＋（y1＋y2）i, （x1＋y1i）·（x2＋y2i）=（x1x2-y1y2）＋（y1x2＋x1y2）i,     

一个不等式猜想及证明

猜想（数学问题315．2）设xi〉0,i=1,2,…,n（n≥3）,则有Sn=x2/x1（x3＋x4＋…＋xn）＋x3/x2（x4＋…＋xn＋x1）＋…＋xn/xn-1（x1＋x2＋…＋xn-2）＋x1/xn（x2＋x3＋…＋xn-1）≥（n-2）n∑i=1xi.     

一个猜想的否定

文[1]提出了一个猜想： （1）设x1,x2,x2是非负实数,且满足x1＋x2＋x3=1,k≥2,k∈Z．则x1^kx2＋x2^kx3＋x3^kx1＋x1x2x3（x1＋x2＋x3）^（k-2）≤k^k/（k＋1）^k＋1;     

韦达定理和根的对称式

如果x1、x2是一元二次方程ax2＋bx＋c=0（a≠0）的两个根,由根与系数的关系（即韦达定理）,不解方程可求得下列代数式的值：（1）x12＋x22;（2）1x1＋1x2;（3）x2x1＋x1x2;（4）x12＋x1x2＋x22;（5）（x1＋k）（x2＋k）（k为常数）;（6）｜x1-x2｜···仔细观察这些代数式,它们都有一个共同的特点：把式子中的x1、x2互换,原来的式子不变.例如,把x1、x2互换后,x12＋x22变成了x22＋x12,｜x1-x2｜变成了｜x2-x1｜,其值不变,我们把这类式子叫做一元二次方程根的对称式.     

例谈用ln（1＋x）〈x（x〉0）证明数列不等式

首先我们来证明这个不等式．求证：In（1＋x）〈x（x〉0）．证明：当x〉0时,令函数f（x）=In（x＋1）-x,有f^1（x）=ln（x＋1）-x在（0,＋∞）上是单调递减函数．f（x）〈f（0）=0,则有ln（x＋1）-x〈0,所以ln（x＋1）〈x成立。     

转化角度看赛题

题目已知函数f（x）=6x＋b/x^2＋4的最大值是9/4,则实数b=____。     

对一道高等代数题的推广

张禾瑞在《高等代数》（第五版）习题中给出了多项式的一个结论：＂设f（x）,g（x）和h（x）是实数域上的多项式,证明若f（x）2=xg（x）2＋xh（x）2,那么f（x）=g（x）=h（x）=0＂。本文借助一般化方法将该结论推广为更一般的定理,并给出了证明。     

全国卷Ⅰ（理）第20题

题目 已知函数f（x）=（x＋1）In x—x＋1. （Ⅰ）若xf′（x）≤x^2＋ax＋1,求a的取值范围; （Ⅱ）证明：（x-1）-f（x）≥0．     

一道因式分解题的多解

题目分解因式：X’－3X’十个解法1拆H次项,有原式二x3＋x2－4x‘＋4二（。’＋X‘）＋（。’＋4）＝。’（x＋1）4（＋1）（x一回）＝（X＋l）（。’－4X＋4）＝（。十五）（。－2）’解法2拆H次项,有原式一x’－2。’－X＼4＝（X’－ZX‘）－（X‘－4）＝x’（。－2）－（x＋2）（x－2）＝（－2）（’－X－2）＝（－2）’（＋1）．解法3拆常数项,有原式一x3＋l－3x2＋3＝（’＋l）－3（X’－l）＝（X＋1）（X’－X＋1）一到X＋1）（X一回）＝（x＋l）［（x‘－。＋1）－3x－l）〕＝（X＋l）（X‘－4。＋4）＝（X＊1）（X一月…     

2008年高考江西卷压轴题的简解及推广

题已 知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）. （1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明1〈f（x）〈2．     

构造一等式证明一类不等式

我们知道,利用等式证明不等式是证明不等式的一种重要思想方法.在不等式中,对于可化为（a/（b＋c））、（b/（c＋a））、（c/（a＋b））（其中a、b、c〉0）的一类对称不等式,若令x=（a/（b＋c））,y=（b/（c＋a））,z=（c/（a＋b））（x、y、z〉0）,则x、y、z满足等式（x/（x＋1））＋（x/（y＋1））＋（z/（z＋1））=1（）（1/（x＋1））＋（1/（y＋1））＋（1/（z＋1））=2（）xy＋yz＋zx＋2xyz=1（以下记此三式依次为①、②、③式）,这样,利用这几个恒等式.     

2008年全国高考江西卷（理）22题解题思路剖析

题目：已知函数f（x）=1/√1＋x＋1/√1＋a＋√ax/ax＋8,x∈（0,＋∞）,（1）当a=8时,求f（x）的单调区间; （2）对任意正数a,证明：1〈f（x）〈2。