一道数学竞赛题引发的思考

在2014年广东省高中数学竞赛中,笔者全程参与了深圳市考点巡考和阅卷,其中一道解析几何题引起了笔者的注意。从学生答题和阅卷情况分析,看似常规的焦点弦问题,得分率很低。首先,能力层面上,学生的运算能力令人堪忧;其次,方法层面上,学生对通解通法的掌握不到位,利用定义解题的学生很少,这引起了我们的思考。     

关于一道数学竞赛题的解答

中学数学奥林匹克竞赛辅导(中国标准出版社)P121—125中有这样一道题: 一个给定的凸n边形A_0A_1A_2…A_(n-1),用不在形内相交的对角线将它分成n-2个三角形,问有多少种不同的分法? 该书的解答是错误的,为便于分析,我们将解答译要抄录于下: 解:记分法数为S_n,易见S_3=1,S_4=2我们来建立凸k 1边形分法数S_(k 1)与S_k、S_(k-1)的递推式.     

由一道数学竞赛题引发的思考

<正>2018年4月,笔者组织本市高二年级学生参加全国高中数学联赛江苏赛区初赛。在批改试卷时笔者发现一道平面几何证明题全市近4000名考生竟无一人回答正确。无独有偶,在本市举行的青年教师基本功大赛命题时,笔者也选用了这道题,参赛的30多名青年骨干教师同样是全军覆没。能够应对难题挑战的学优生都去哪儿了?青年骨干教师的解题能力怎么也有待提高?这些问题引发了笔者对教师自身发展以及为学生提供适合的教育的些许思考。现整理成文,供研讨。     

关于一道数学竞赛题的解法探讨

本文对江苏省普通高等学校第六届高等数学竞赛中一道试题的解法进行了探讨,分析了原有解法的不足,并且给出了另一种解法.     

关于一道平几难题与一道国际数学竞赛题

贵刊在1992年第5期上发表了肖华光老师对一道平面几何难题的几种巧妙证法,对我启发很大。 题目:已知(如图1)I是△ABC的内心,HD是内切圆I过切点D的一条直径,连AH延长交Bc于E。B 结论:BE~CD。ED 我发觉此题的结论与第33届国际数学奥林匹克试题的第4小题有密切联系。 题目:在一个平面中,C为一个圆周,直线l是圆周的一条切线,M为l上的一点,试求具有如下性质的所有点尸的集合:在直线l上存在两个点Q和R,使得M是线段QR的中点,且C为三角形尸QR的内切圆。 分析:联系上述平几难题,设p是所求集合中的一点,过切点D(点D任L)作圆周C的直径DH,…     

谈一道数学竞赛题

合肥市1983年高中数学竞赛的第4题是“设在△ABC中有cosA/(sinB)+cosB/(sinA)=2,证明△ABC是一个直角三角形。”从表面上看,此题似乎很平常,大概只要和差化积、积化和差,几步就可得出结论,其实不然,它还是有一定的深度和难度的。这不是一道陈题,但却是由课本上的一道练习题脱胎而成的。统编高中数学课本第一册,第168页有一道题“在△ABC中,求证:     

一道奥林匹克数学竞赛题

在匈牙利举行的第六届国际数学教育会议上,我与一位澳洲友人谈及他们刚主办了的第廿九届国际奥林匹克数学竞赛,他说其中一道题目貌虽简单,却连大学里好些数论专家也没能马上解答,反是参赛学子解得该题者大不乏人,可云后生可畏!我既非“后生”,又非数论专家,自是属于没能马上解答的一群了。不过,在往复探索的过程中,除了亲尝那份从未知到理解的乐趣以外,我还觉得这段过程有点教育意义,拿来谈谈,或可引起同行们的兴味。     

一道力学竞赛题的数学解法及思考

题目：一个体积为V的长方体放入水里,静止时长方体能浮在水面上。现将它露出水面的部分切去,再把它的剩余部分放入水里,若要求长方体剩余部分静止时,露出水面的体积V’与长方体的体积V的比值为最大,则长方体的密度为多少?     

一道数学竞赛题的启示

一、问题如图(1),△ABC 的∠A=45°,∠B=30° D在AB上,直线DE将△ABC分成面积相等的两块(注:这图可能不确切;E也许是在CB上,而不是在AC上)。则比AD/AB是( )。 (A)1/2~(1/2); (B)2/(2+2~(1/2)); (C)1/3~(1/2); (D)1/6~(1/3); (E)1/(12)~(1/4)。(第38届美国中学数学竞赛试题第30题)。     

一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束，其中第13题是这样的：     

一道数学竞赛题的推广

1987年上海市中学生数学竞赛中有这样一道试题:[1] 正七边形A_1A_2A_3A_4A_5A_6A_7,内接于单位圆⊙O中,P在OA_1的延长线上,且|OP|=2,则|PA_1|·|PA_2|…|PA_7|等于多少? 下面我们把这道富于思考性的试题推广成: 定理设正n边形A_1A_2A_3…A_n内接于圆x~2+y~2=R~2,P(rcosθ,rsinθ)为平面上任意一点,则|PA_2|·|PA_2|·…·|PA_n|=(r~(2n)-2r~nR~ncosnθ+R~(2n))~(1/2)。     

一道竞赛题的思考

2002年的一道省初三数学竞赛题:已知:如图1,在矩形 (1)如图2标出乙1,艺2,当匕1和乙2中有一个是直角,另一个是任意角时,不妨设匕1为直角,则S二曰今B Xl二1.1M1MK毛MN中有两个一条边长为1的平行四边形,则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是() A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.小于或等于1讯‘嚷{L‘~-一‘‘J公‘习M豁图1 这道题激发了许多教师的兴趣,引起了一番热烈的讨论,看法各异,归纳之有下列几种情况: 1.认为公共部分的面积(用S表示,下同)是个定值,与两平行四边形都是矩形时的公共部分面积相同,故S“1,应选B. 2.认为平行四边形八月CD…     

一道竞赛题的思考

题目 1996年加拿大奥林匹克竞赛第四题:如图1,在△ABC中,AB=AC,∠B的平分线与AC交于D,且BC=BD+AD。求∠A。分析∵AB=AC,因此只要能求出∠ABC或∠C的度数,则∠A的度数就可以求出来了。     

一道数学竞赛题的推广

原题设f（x）=4x/4x＋2,求和：f（1/1001）＋f（2/1001）＋…＋f（1000/1001）。（1986年全国高中数学联赛试题）     

一道数学竞赛题的讲评

一九八三年全国省、市、自治区联合数孕竞赛中有这样一个选译题: 已知函数厂(x)二ax’一满足一4(八l)(一l,一1成f(2)镇5,那么八3)应满足(A)7(f(3)(26,(B)一4(f(3)(15;(C)一1提八3)(20;‘D,一警“(‘)簇警. 竞赛结束之后,不少学生及老师在争论亥题的几种解法,在此特作如下讲评,愿与同行们共同探讨. 一、题目的分析 这种类型的题目的凉意是:对于一切满足一4《f(l)《一:,一1(f(2)《5的a、r,了(3)的变动范围应是多少.但是由于题目用了“应满足”三个字,欢使能包含八3)变化范围的任何一个集合均可以作为问题的解.所以,考前临时改选择支(A)为7《…     

一道数学竞赛题的解法

2006年全国初中数学竞赛预赛暨2005年山东省初中数学竞赛刚刚结束,其中第13题是这样的:如图1,△ABC中,AB=1,AC=2,D是BC的中点,AE平分∠BAC交BC于E,且DF∥AE,求CF的长.在参考解答中.提供了以下的解答方法:解如图2,过E分别作EH⊥AB,交AB于H,EG⊥AC,交AC于点G,因AE平分∠BAC,所以有EH=EG,从而有CBEE=SS△△AACBEE=AACB=21,又由DF∥AE,得CFCA=CCED=21·CBEC·21·BEC+ECE=12BECE+1=2112+1=43.所以CF=43×CA=43×2=23.图1图2在阅卷的过程中,我发现学生还有不同的解答方法:方法1如图3,过点D作DM∥AB交AC…     

一道数学竞赛题的推广

本文以复数为工具推导了圆内接四边形的一些性质。