解法来自对所求问题的特征分析

很多同学都知道化去二次根号的基本方法有两种 :一是通过平方 ,二是将被开方数化为完全平方式 ,但往往在解题中不会运用 .其实 ,这两种方法往往来自对有关问题的特征分析 .下面仅通过两例加以说明 .例 1　已知ａ>0 ,ｂ>0 ,且ａ +ｂ=1 .求证 :　　ａ+12 +ｂ+12 ≤ 2 .分析　要证的不等式给出了两个重要的信息 :( 1 )从左到右要消去根号和ａ、ｂ ;( 2 )不等号“≤”的方向提示可用“积化和”的平均不等式 :ｘｙ≤ (ｘ) 2 +( ｙ) 22 ,而此不等式恰好从左到右利用平方化去了根号 .至此 ,证法产生 .证明　∵ａ>0 ,ｂ >0 ,ａ+ｂ=1 .∴ａ +12 +ｂ +…     

两个不等式引起的思索

《中学数学教学参考》2 0 0 2年第 8斯 ｐ .2 7上有这样两个不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ａ ｂ =1,则43 ≤ 1ａ 1 1ｂ 1<32 ,32 <1ａ2 1 1ｂ2 1≤ 85 .经过类比、猜测、证明 ,笔者得到两个新的结果 ,兹介绍如下 .定理 1　若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ａ ｂ=1,则32 <1ａ3 1 1ｂ3 1≤ 169.证明　显然 1ａ3 1 1ｂ3 1≥ 1ａ2 1 1ｂ2 1>32又因为 16ａ3 ｂ3 5≥ 16ａ3 ｂ3 12 18ａｂ≥ 3316ａ3 ｂ3 · 14 · 14 18ａｂ=2 1ａｂ ,所以 2 7(1-ａｂ) ≤ 16(ａ3 ｂ3 2 - 3ａｂ) ,所以 3 (1-ａｂ)ａ3 ｂ3 2 - 3ａｂ≤ 169,所以 1ａ3 1 1ｂ3 1≤ 169.所…     

妙题巧解(四)

1 已知ｘ2 ｙ2 +ｘ2 +ｙ2 -4ｘｙ -8ｘ -8ｙ + 2 5=0 ,求ｘ、ｙ的值 .2 已知ａ、ｂ、ｃ都是正实数 ,且ａ >ｂ.求证 :ａ2 +ｃ2 -ｂ2 +ｃ2 <ａ-ｂ.3 已知 2 5ａ -5ｂ +ｃ =0 (ａ≠ 0 ) .求证 :ｂ2 ≥ 4ａｃ.4 已知△ＡＢＣ的三边ａ、ｂ、ｃ满足不等式ａ+ｂ +ｃ + 1 7≤ 4ａ -8+ 6ｂ-3+ 8ｃ-1 ,试判定△ＡＢＣ的形状 .5 若ｘ1、ｘ2 是方程ｘ2 + 5ｘ -7=0的两个根 ,则 (2ｘ21+ 1 3ｘ1-1 9) (2ｘ22 + 1 3ｘ2 -1 9)的值是.参考答案1 已知等式可变形为 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ) 2-8(ｘ +ｙ) + 1 6 =0 ,即 (ｘｙ -3) 2 + (ｘ +ｙ -4 ) 2=0 .∴　ｘ…     

构造法在解题中的应用

构造法是一种创造性的数学方法 ,它通过在条件和结论之间建立中转站 ,使条件迅速向结论转化 ,不但可以培养人的创造性思维 ,而且更能让人领悟到数学的无穷乐趣和魅力 .这里略举几例 :例 1　已知ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,ａ +ｂ+ｃ =ｍ ,ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =ｍ22 (ｍ >0 ) ,求证 :0 ≤ａ≤2ｍ3 .分析　此题关键在于利用已知条件 ,建立ａ的不等式 ,解得ａ的最大值 .这里可以消去ｃ得到ｂ的一元二次方程 ,再利用ｂ∈Ｒ和Δ≥ 0 ,可以得到ａ的不等式 ,从而得证 .若构造关于ｂ、ｃ的二次函数 ,则更妙 .解　令ｆ(ｘ) =(ｘ-ｂ) 2 +(ｘ-ｃ) 2 ,则ｆ(ｘ) =2ｘ2 -2…     

一个不等式错证引起的思考

笔者在翻阅近期出版的一个杂志时 ,发现一篇题为《一个不等式的简证》的短文 ,全文如下 :已知 :ａ3 ｂ3=2 .求证 :ａ ｂ≤ 2 .证明 :由ａ3 1 1≥ 3 3 ａ3·1·1 =3ａ ,知ｂ3 1 1≥ 3ｂ ,两式相加得ａ3 ｂ3 4≥ 3 (ａ ｂ) .由ａ3 ｂ3=2 ,得ａ ｂ≤ 13 (ａ3 ｂ3 4) =13 × 6     

均值不等式的几种证题策略

用均值不等式证明一些不等式 ,通常有以下的几种策略 .1　乘 1给不等式的一端乘上 1,再根据题目的特征 ,对1变形 .例 1　 (《数学教学》2 0 0 1(3) ,数学问题 5 38)已知ａ>1,ｂ >1,ｃ>1,且ａ2 +ｂ2 +ｃ2 =12 ,求证 :1ａ - 1+ 1ｂ - 1+ 1ｃ - 1≥ 3.证　左端 =(1ａ - 1+ 1ｂ - 1+ 1ｃ - 1)· 1=(1ａ- 1+1ｂ- 1+1ｃ- 1) ·(ａ - 1) +(ｂ - 1) +(ｃ - 1)ａ+ｂ +ｃ- 3≥ 33 1ａ - 1· 1ｂ - 1· 1ｃ - 1·33 (ａ - 1) (ｂ- 1) (ｃ - 1)ａ +ｂ+ｃ - 3= 9(ａ+ｂ+ｃ) 2 - 3≥ 93(ａ2 +ｂ2 +ｃ2 ) - 3= 93· 12 - 3=3.2　化 1把用于证明的均值不等式…     

一类不等式的推广

对于以下不等式问题 ,本文将它们作统一的推广 ,从而较好地揭示了问题的实质和它们相互间的联系 .问题 1[1] (第 2 6届独联体数学奥林匹克试题 )证明 :对任意实数ａ>1,ｂ>1,有不等式 ａ2ｂ- 1+ｂ2 ａ- 1≥ 8.问题 2 [2 ] 设ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ 是大于 1的实数 ,且ｋ≥ 2 ,ｋ∈Ｎ ,则有不等式ａｋ1ａｉ1- 1+ ａｋ2ａｉ2 - 1+… + ａｋｎａｉｎ - 1≥ ｎｋｋ(ｋ- 1) ｋ- 1,(其中ｉ1,ｉ2 ,… ,ｉｎ 是 1,2 ,… ,ｎ的一个排列 )问题 3[3] 　 (《数学通报》2 0 0 0年第 11期数学问题 12 84 )已知实数ａ >1,ｂ>1,ｃ>1,求证 :ａ3ｂ2 - 1+ ｂ3ｃ2 - 1…     

两个不等式的再思索

文 [1]有这样两个不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则43 ≤ 1ａ + 1+ 1ｂ + 1<32 ,(1)32 <1ａ2 + 1+ 1ｂ2 + 1≤ 85 . (2 )文 [2 ]建立了如下两个新不等式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1,则32 <1ａ3 + 1+ 1ｂ3 + 1≤ 169,(3 )1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1>32 . (4 )且在文末提出如下猜想 :若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ=1;ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2 ,则1ａｎ + 1+ 1ｂｎ + 1≤ 2 ｎ+12 ｎ + 1. (5 )研究发现 ,文 [2 ]猜想 (5 )式成立 ,且(4 )、(5 )二式中的条件“ｎ∈Ｎ+,ｎ≥ 2”均可弱化为“ｎ∈Ｒ+,ｎ≥ 2” ,这就是以下两个更好的不等式 :定理 1　若ａ ,ｂ∈Ｒ+,ａ +ｂ…     

研究课本习题 培养探究能力

教材中有些习题 ,解答起来十分简单 .教学中若对这些习题深入钻研 ,或给以应用环境 ,或创设变化情境 ,便能设计出对培养学生运算能力及探索研究问题能力十分有益的题组来 .举例如下 :题 1　 (新教材第 11页习题 6 .2第 1题 )求证 :　　 ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .针对这一习题 ,我设计了如下的三个题组 :1　公式的应用例 1　设ａ、ｂ∈Ｒ+ ,ａ +ｂ=1,求证 :(1)ａ2 +ｂ2 ≥ 12 ;(2 )ａ4+ｂ4≥ 18;(3) (ａ +1ａ) 2 +(ｂ+1ｂ) 2 ≥ 2 52 ;(4) (ａ+1ａ2 ) 2 +(ｂ +1ｂ2 ) 2 ≥ 812 .证明　 (1)∵ ａ2 +ｂ22 ≥ ａ +ｂ22 =14 ,∴ａ2 +ｂ2 ≥ 12 .(2…     

涉及三角形角平分线的一个不等式

文 [1]介绍了涉及三角形高线的不等式 :　 ｒ(5Ｒ -ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 .①文 [2 ]在①的基础上 ,建立又一不等式 :　　　 ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4 . ②由①、②笔者得到启发 ,得出了②的一个加强不等式 :定理　设ｔａ、ｔｂ、ｔｃ分别是△ＡＢＣ的ａ、ｂ、ｃ边上的高 ,则有　　 ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4 .③证明　记△ＡＢＣ的半周长和面积分别为ｓ和△ ,文 [3]证得　　　ａｂｃ≥ 233△ｓ.易得　ｔａ ≤ｓ(ｓ-ａ) ,ｔｂ ≤ｓ(ｓ-ｂ) ,ｔｃ ≤ｓ(ｓ-ｃ) ,于是应用 …     

代数变换体系f(r_a,r_b,r_c)=f(x,y,z)导出sum(bc/h_a~2)≥4的不等式链

文[1] 介绍了涉及三角形高线的不等式 :ｒ(5Ｒ-ｒ)Ｒ2 ≤ ｈ2 ａｂｃ ｈ2 ｂｃａ ｈ2 ｃａｂ ≤ (Ｒ ｒ) 2Ｒ2 ①文[2 ] 在①的基础上 ,建立的如下不等式 :ｂｃｈ2 ａ ｃａｈ2 ｂ ａｂｈ2 ｃ≥ 4②文[3 ] 建立了比②更强的如下不等式 :ｂｃｔ2 ａ ｃａｔ2 ｂ ａｂｔ2 ｃ≥ 4③　　本文提出如下涉及ｈａ,ｈｂ,ｈｃ 的不等式链 :　　 ｂｃｒ2 ａ≥ 2Ｒｒ = ｂｃｈ2 ａ≥ Ｒｒ 2= ｂｃｔ2 ａ≥ ｂｃｒｂｒｃ ≥4, ｂｃｍ2 ａ④而这一不等式④只须巧用三角形中诸元素的代数变换体系ｆ(ｒａ,ｒｂ,ｒｃ) =ｆ(ｘ,ｙ,ｚ)简证之 .1　三角形诸元素…     

活用一结论速解一类竞赛题

结论　若ａ+ｂ +ｃ=0 ,则ｂ2 ≥ 4ａｃ.证明　∵ａ +ｂ+ｃ =0 ,即ｂ=- (ａ+ｃ) ,∴ｂ2- 4ａｃ=[- (ａ+ｃ) ]2 - 4ａｃ=(ａ -ｃ) 2 ≥ 0 ,故ｂ2 ≥4ａｃ.活用这一结论可以方便、准确地求解已知等式求取值范围或不等关系类型的问题 .下面举例说明 .例 1　 (1991年“曙光杯”初中数学竞赛题 )已知三个实数ａ ,ｂ,ｃ满足 ａ +ｂ+ｃ =0 ,ａｂｃ =1,求证 :ａ、ｂ、ｃ中至少有一个大于 32 .证明　由题设条件可知ａ ,ｂ,ｃ中有一个正数 ,两个负数 ,不妨设ｃ>0 .∵ａ+ｂ +ｃ=0 ,∴ｃ2 ≥ 4ａｂ.而ａｂｃ=1,则有ｃ3 ≥ 4ａｂｃ =4 ,∴ｃ≥ 34>32 78=32…     

构造函数法证不等式的思考途径

构造函数法是证不等式的一种重要方法 ,本文谈谈构造函数法证不等式的几种思考途径 .途径一　利用函数的单调性构造一个函数 ,使原不等式 (或经等价变形后 )的左右两边是这个函数在某一个单调区间上的两个值 ,就可以利用函数的单调性证明不等式 .例 1　已知ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,求证 :ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7.证明　令 ｆ(ｘ) =ｘ 1ｘ ,取 0 <ｘ1<ｘ2 <1,则ｆ(ｘ2 ) - ｆ(ｘ1) =(ｘ2 -ｘ1) 1ｘ2 - 1ｘ1=(ｘ2 -ｘ1) 1- 1ｘ1ｘ2 <0 ,所以 ｆ(ｘ)在 (0 ,1)上为减函数 .又 0 <ａｂｃ≤ ａ ｂ ｃ33=12 7,∴ｆ(ａｂｃ) ≥ ｆ 12 …     

一类条件不等式的证明体系

成功的解题 ,常常体现在 :善于发现规律 ,巧于利用规律 .这是一类常见的条件不等式证明问题 :题设条件是ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ=1.本文试图揭示其证题规律 ,并巧用其规律 .定理　设ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ ,且ａ ｂ ｃ =1,则ａ2 ｂ2 ｃ2 ≥ 13≥ａｂ ｂｃ ｃａ ;①1ａ 1ｂ 1ｃ ≥ 9;②1ａ2 1ｂ2 1ｃ2 ≥ 1ａｂ 1ｂｃ 1ｃａ ≥ 2 7;③ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 1;④ａｂｃ ｂｃａ ｃａｂ ≥ 9;⑤ａｂｃ≤ 12 7,或 1ａｂｃ≥ 2 7;⑥ａｂｃ 1ａｂｃ≥ 2 712 7;⑦ａ ｂ ｃ≤ 3;⑧ａｂ ｂｃ ｃａ≤ 1. ⑨　　 (当且仅当ａ=…     

一道可引导学生进一步探究的课本习题

高中新教材《全日制普通高级中学教科书》(试验修订本·必修 )第二册 (上 )第 1 6页习题 6 3第 2题 :已知ａ≠ｂ,求证ａ6 ｂ6>ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 。此题出题本身欠完善。人教社编的教师数学用书第 1 5页的解答同样也欠完美。为此 ,解此题的更大的教育价值 ,是可以将它作为一道引导学生进一步探讨完善的探究题。实际上 ,将本题改为 :已知ａ≠ｂ,求证ａ6 ｂ6≥ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 。或改为 :已知ａ2 ≠ｂ2 ,求证ａ6 ａ6>ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 。或改为 :已知ａ >0 ,ｂ>0 ,且ａ≠ｂ,求证ａ6 ｂ6>ａ4 ｂ2 ａ2 ｂ4 ,均更完善。因为有 :　ａ6 ｂ6-(ａ4 …     

几个不等式的几何证明

高中数学第二册 (上 ) (试验修订本 ·必修 )Ｐ9给出均值不等式定理的一种几何解释 ,这同时也提供了一种证明不等式的方法—几何法 .这种方法是通过把不等式中的数式看作线段的长或图形的面积 ,直观地比较出其大小达到证明目的 .本文给出课本例 (习 )题中几个不等式的几何证明 .例 1　已知ａ、ｂ都是正数 ,求证21ａ +1ｂ≤ ａｂ≤ ａ+ｂ2 ≤ ａ2 +ｂ22 ,当且仅当ａ =ｂ时等号成立 .证法 1　当ａ =ｂ时等式等号显然成立 ;当ａ≠ｂ时 ,在长为ａ+ｂ的线段ＡＢ上取点Ｃ(如图 1 ) ,使ＡＣ =ａ ,ＣＢ =ｂ(其中ａ>ｂ) .以ＡＢ为直径画圆Ｏ ,过Ｏ、…     

向量数量积的一个性质的应用

对于某些不等式的证明 ,若认真分析题目的条件和结论 ,构造适当的向量 ,然后借助向量的数量积的性质｜ｍ·ｎ｜≤｜ｍ｜·｜ｎ｜ ,往往可以使某些不等式得到证明 .例 1　已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,求证 :ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .证明　设ｍ =(ａ ,ｂ) ,ｎ =( 1,1) .由 ｜ｍ·ｎ｜2 ≤｜ｍ｜2 ·｜ｎ｜2 ,得(ａ +ｂ) 2 ≤ (ａ2 +ｂ2 )· 2 ,∴ ａ +ｂ22 ≤ ａ2 +ｂ22 .例 2　设ａ ,ｂ ,ｃ,ｄ∈Ｒ .证明 :ａｃ+ｂｄ≤ ａ2 +ｂ2 · ｃ2 +ｄ2 .证明　设ｍ =(ａ ,ｂ) ,ｎ =(ｃ,ｄ) .由｜ｍ·ｎ｜≤｜ｍ｜·｜ｎ｜ ,得｜ｃａ+ｂｄ｜≤ ａ2 +ｂ2 ·ｃ2 +ｄ2 …     

一个猜想不等式的肯定--兼擂台题(54)的证明

擂台题 (5 4 ) :证明或否定若ａ、ｂ、ｃ为△ＡＢＣ的三边长 ,实数λ≥ 2 ,则(ｂ+ｃ-ａ) λｂλ+ｃλ +(ｃ+ａ -ｂ) λｃλ+ａλ +(ａ +ｂ -ｃ) λａλ+ｂλ ≥ 32①引理　若ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,实数 ｐ≥ 1 ,则(ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ②证明　 (1 )当 ｐ =1时 ,②式等号成立 ,(2 )当 ｐ >1时 ,令 ｆ(ｘ) =ｘｐ(ｘ >0 ) ,这时 ,ｆ′(ｘ) =ｐｘｐ- 1,ｆ″(ｘ) =ｐ(ｐ -1 )ｘｐ - 2 >0 ,所以 ｆ(ｘ)是 (0 ,+∞ )上的凹函数。因为ｍ、ｎ∈Ｒ+ ,由琴生不等式知ｆ(ｍ +ｎ2 )≤ ｆ(ｍ) +ｆ(ｎ)2 ,即有 (ｍ +ｎ2 ) ｐ≤ ｍｐ+ｎｐ2 ,当且仅当ｍ =ｎ…     

一个三元不等式链的进一步探究

刘永春老师提出了一个有趣的三元不等式链[1 ] :9 ａ ａ2 ≤ ａ≤ ｂ2 +ｂｃ+ｃ23≤ ｂ2 +ｃ22 ≤3 ａ2 ≤ ｂｃａ ≤ 2ａ2ｂ+ｃ≤ ｂ2 +ｃ22ａ ≤ ａ3ｂｃ.(其中ａ ,ｂ ,ｃ∈Ｒ+ , 、 分别表示循环和、循环积 ;下同 )随后 ,陈永毅、张云华两位老师均对此作了有益的探索[2 ] [3] .在此基础上 ,本文将作进一步探究 ,推证出下列不等式链 ,并探寻其解题功能 .定理　设ａ、ｂ、ｃ∈Ｒ+ ,则 ａ3ｂｃ ≥ ｂ2 +ｃ22ａ ≥ (ｂ +ｃ) 24ａ ≥ ｂｃａ ≥3 ａ2 ≥ ｂ2 +ｃ22 ≥ ｂ2 +ｂｃ +ｃ23≥ ａ≥ 3 ｂｃ≥ ｂｃ≥ 33 ａ≥ 9 ａ ａ≥…     

一类不等式的推广及应用

高中课本以例、习题的形式给出了下列不等式 :已知ａ ,ｂ∈Ｒ ,并且ａ≠ｂ ,求证 :ａ5 ｂ5>ａ3 ｂ2 ａ2 ｂ3 ;ａ4 ｂ4 >ａ3 ｂ ａｂ3 ;ａ3 ｂ3 >ａ2 ｂ ａｂ2 .其实 ,这一类不等式有如下更一般的形式 :若ａ ,ｂ∈Ｒ ,ｐ·ｑ∈Ｒ ,则　　ａｐ ｑ ｂｐ ｑ ≥ａｐｂｑ ａｑｂｐ,(1)其中等号当且仅当ａ=ｂ时取得 .证明　由 ｐ·ｑ∈Ｒ ,知幂函数 ｙ =ｘｐ 和ｙ =ｘｑ 在 (0 , ∞ )上同为增函数或同为减函数 ,则当ａ ,ｂ∈Ｒ 时 ,ａｐ-ｂｐ 与ａｑ -ｂｑ 总是同号或同时为零(当且仅当ａ=ｂ时 ,ａｐ-ｂｐ =0 ,ａｑ-ｂｑ =0 ) ,从而(ａｐ-…