巧用分式方程的增根解题

我们知道，在解分式方程时常会产生增根，分式方程的增根，既是变形后所得整式方程的根，又是使原分式方程各分式的最简公分母为零的未知数的值．下面举例说明分式方程的增根在解题中的应用．例1若关于x的方程有增根，则解原方程的增根应是方程X－4一0的根，即增根为X一4．将原方程去分母整理得X‘－7X＋4一2。一0．故增根X一4也应满足这个方程，即二车有增根X—－1．求k值．H“－1”””””解将原方程去分母，整理得一ZX＋6一天一O．（1）X—－1是原方程的增根，X—－1是方程（1）的根．（2）X（1）W6k＝0．k——8．。，。、，、。…     

一元二次方程根与系数关系的应用

我们知道，一元二次方程的根与系数之间存在如下关系：如果的两个报是x1、x2，那;反之，以为根的一元二次方程是o．这个关系在数学中有很广的应用．通常可以用来解决以下问题：一、已知一个一无二次方程和它的一个根，不解方程、求另一个根．例1已知方程2x’一3。＋2。l一0的一”个根为1，求另一个根和nL的值．思路分析此题已告知方程及方程的一个根，欲求另一个根，可根据根与系数的关系求解．解设方程的另一个根为x，由根与系数的关系得：I＋。、一7及I·。、一m．”””“”“”“”“”一2”—～。—’一1122方程的另一个根是专，。，…     

2005年天津市中考优秀作文选评

作文题： 树有椎．有根才枝繁叶蔑，葱都参天；草有根，有根才“野火烧不尽，喜风吹又生”；花有根．有根才经冬历夏，年年花落花开。人有根吗？有人说．亲人的呵护关爱，师长的培养教育，同学的切磋琢磨是我成长的“根”；有人说，家庭、学校、家乡，都留下了我美好的回忆．是我情感的“根”；还有人说．追求、奋斗、学习、合作、尊重、诚实、谦虚．是我安身立争的“根”……     

一元二次方程根与系数关系的应用

一元二次方程根与系数的关系是中考中的热门话题，应用十分广泛，本文总结归纳它的一些应用，供同学们学习参考．一、已知一无二次方程和它的一个根，求另一个根及某些参数的值．例1已知方程5x‘＋mx－6—G的一个根是一7，则另一个根是，m一”“q”“””“”’””’．．（1996年常州市中考试题）思路分析已经知道方程的一根，可利用两根之积等于一j求出另一根，再利用两根之和求出m的值二解设方程的另一根为X，由根与系数的、，、，。36。3m夫系得一号·——一号与一；＋l——一号．，—一·、5一q“F～5解得x一2，m—一八方程的另一根…     

一元二次方程根与系数的关系的应用

若x1，x2是方程ax2－bx＋c＝0（a≠0）的＋bC＋C一0（a≠0）的两个根．这就是一元二次方程根与系数的关系，我们利用其可以解决很多与“二次”有关的问题．一、已知一元二次大程的一个根，求另一个根例1（I）已知4X2－11x＋6＝0的一根是Z，求另一根；（2）已知一2是方程Zx’＋mx－2—0的一个根，求m的值及另一根．分析在（1）中虽然可通过解方程求出另一根，但若利用根与系数的关系求另一根则很简便．我们可设另一根为xl，那么根据xl＋211＿＿6．＿＿＿，一千，灭r1·2一二均可乘出。4”———“－4“””———一在（2）中，由于方程中…     

一元二次方程根与系数的关系的应用

一元二次方程的根与系数的关系是中学代数的重要内容之一，也是一个难点．每年全国各省市中考数学试题中，都有与一元二次方程的根与系数的关系有关的试题．因此，本介绍一元二次方程根与系数的关系的简单应用．     

分式方程的验根

增根是学生学习分式方程时的一个难点，如何提高学生对增根的理解是每个教师所应思考的问题．本文从学生的现实困惑入手，针对“增根是怎样产生的？”、“解分式方程一定要验根吗？”等问题作一点探讨，希望能拔云见日，使模糊的问题清晰起来．     

二次方程根的讨论问题的常见类型与解法

在高考试题中常常会出现二次方程根的讨论问题，或可转化为二次方程根的讨论问题．有些同学由于对这类问题没有一个整体的把握，从而无从下手．其实，二次方程根的讨论问题是很成型的，本文就二次方程根的讨论问题的常见类型与求解方法归纳如下．     

一元二次方程根的分布问题

一元二次方程根的分布问题是初中数学竞赛的一个热点．它包括根的分布、求参数的范围等内容，涉及函数、不等式等知识，综合性较强．本结合例题介绍这类问题的求解方法．     

判别式在解题中的应用

一元二次方程的根的判别式在初中数学解题中的应用极为广泛，现归纳如下．一、不解方程判断其根的情况例则关于工的一元二次方程的根的情况是（）（A）无实根；（B）有两个负根；（C）有一正根，一负根，且正根的绝对值比负根的绝对值大；（D）有一正根，一负根，且负根的绝对值比正根的绝对值大．（1994年，海南省）解”．”凸一32－4·5·c＝9－20c，而Cwto，“．乙too．放方程有两个不相等的实数根．设方程的两根为JI、rZ，由韦达定理，得3c，ie，＋H，＝－ryH，HI·H，＝ryryrto．q”’—“q方程有一个正根和一个负根，且负极的绝…     

分式方程的增根与失根

提到分式方程，大家自然会联想到增根．那么增根是如何产生的？是不是每个分式方程都会产生增根？为了搞清楚这些问题，下面举例加以说明．     

活用方程根的定义解题

方程的根是指使方程左右两边的值相等的未知数的值，即若X。是一元二次方程＿‘＋bC＋C一0（。羊0）的一个根，则＿g＋bC。＋C一0．下面举例说明根的定义在解题中的应用‘一、求方程的根例1若关于x的方程Zx’－mxwm－1—0有一个根是O，则另一个根是（）（996年山西省中考题）解由条件知m—1—0，·”·m—1·原方程为ZX’－X一0·＿1x，＝0，x，。7＝．。—。一2故另一个根为X一tr．——’、’·—”、一2二、来待定系数的值例2关于X的方程3X‘一ZX＋m一0的一个根是一1，则m一（）．（1996年广东省中考题）解由条件知3＋2＋m—0·m—…     

解应用题时舍去二次方程负根的误区

在利用数学知识解某些实际应用问题时，往往需要建立数学模型，化简后得到一元二次方程，再解之．此时，可能会得到一正根一负根．许多同学的习惯做法是：舍去负根，只取正值，因而闯入误区．事实上，在方位图或平面直角坐标系中，当未知量为时问或长度时，负值的实际意义也是很明确的．     

一元二次方程根与系数的关系(二)

一、知识要点1．韦达定理及其逆定理与判别式的综合应用；2．韦达定理及其逆定理与三角、几何、函数知识的综合应用‘＝、解题指导例1已知方程0有两个实数根，且这两个根的平方和比这两根的积大21，求m的值．分析要求m的值，只要根据已知条件列出关于一的方程，然后解所列方程并根据题目的隐含条件△≥0确定m的值．解设x1、X2是已知方程的两个实数根，由韦达定理，得解之，得m1=17，m2=－1．已知方程有两个实数根，解此不等式，得m≤0m＝1．例2已知方程X’－2。X＋b一0中的实数。、b满足条件owtbwtZ。－1，证明方程有两个不相等的正实数根…     

2004年10月号“二次函数知识竞赛”获奖名单

解分式方程产生增根的主要原因是方程两边同乘以各分母的最简公分母，从而在转化为整式方程的过程中，未知数的取值范围扩大了．因此，解分式方程过程中产生的增根，虽不是原方程的根．但一定是所得整式方程的根．我们可据此讨论含参数的分式方程根的问题．     

分式方程的验根问题

分母里含有未知数的方程，叫做分式方程．解分式方程的一般方法，是在方程的两边同乘以各分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程，解所得的整式方程，最后验根．为什么在解分式方程时必须验根呢？我们知道，分式方程的根不能有使分母为零的值．但在把分式方程两边同乘以一个整式将分式方程化成整式方程后，一般来说，本知数的允许取值的范围扩大了．这样，整式方程的根中有可能使分式方程的最简公分母为零的值；而这个值将使分式方程失去意义．因此，它虽是变形后整式方程的根，但不是原分式方程的根．这样，当分式方程变形为整式方程…     

一元二次方程根的判别式

一、知识要点一元二次方程根的判别式，它具有下列性质；（1）方程有两个不相等的实根；（2）方程有两个相等实根；（3）方程没有实根．应用上述性质，可判断一元二次万程的根的情况和确定方程中的参数的值或取值范围，还可确定二次函数图象与x轴的位置关系．二、解题指导例1选择：方程的根的情况为（）（广西，1994年）（A）有两个相等的实数根。（B）有两个不相等的实效很；（C）没有实数根；（D）无法确定．分析本例是考查如何根据判别式的值判定方程的根的情况．因为所以原方程有两个不相等的实数根．故造（B），例2已知关于x的方程1…     

中国，五十六个民族之根--献给中华人民共和国六十一华诞

看到祖国日益强大．繁荣昌盛．当家作主站起来、改革开放富起来的中国人民．血脉里流淌着一种对新中国十分深厚的情感。这情感．是对“根”的信赖：这情感，是对“根”的眷恋；这情感，是对“根”的向往……     

巧用根的定义求代数式的值

关于一元二次方程的根的代数式求值问题，有时只用根与系数的关系求解，计算会很繁难，甚至无法解答．而借助方程根的定义．则可迎刃而解．     

利用“增根”求相关系数

解分式方程的一般方法是，通过去分母化分式方程为整式方程．若转化后的整式方程的根，使原分式方程分母的值为0，则此根为原方程的增根．因为增根满足去分母后的整式方程，所以相关待定系数可由增根代入整式方程求得．以下举例说明：