关于超越亚纯函数f（k）（z）+a(f（k+1）)n的值分布

运用Nevanlinna亚纯函数理论方法,研究了超越亚纯函数的值分布理论,获得了如下结论,设f(z)为复平面上的超越亚纯函数,a为非零有穷复数,n和k是任意的正整数,且n≥2,则超越亚纯函数f(k)(z)+a(f(k+1))n取每一个有穷复数无穷多次,并推广了相关定理。     

第45届IMO预选题(下)

数论部分1.设τ(n)表示正整数n的正因数的个数.证明:存在无穷多个正整数a,使得方程τ(an)=n没有正整数解n.2.已知从正整数集N 到其自身的函数ψ定义为ψ(n)=∑nk=1(k,n),n∈N ,其中(k,n)表示k和n的最大公因数.(1)证明:对于任意两个互质的正整数m、n,有ψ(mn)=ψ(m)ψ(n);(2)证明:对于每一个a∈N ,方程ψ(x)=ax有一个整数解;(3)求所有的a∈N ,使得方程ψ(x)=ax有唯一的整数解.3.一个从正整数集N 到其自身的函数f满足:对于任意的m、n∈N ,(m2 n)2可以被f2(m) f(n)整除.证明:对于每个n∈N ,有f(n)=n.4.设k是一个大于1的固定的整数,m=4k2-5.…     

整函数的惟一性

研究了涉及导函数的整函数的惟一性, 主要证明了以下结果. 设 f(z) 和 g(z)为非常数整函数, n, k为满足n＞2k 4的2个正整数. 若f(z)和g(z)的零点重数均至少为n, 且f(k)(z)和g(k)(z) CM分担1, 则或者f(z)＝c1ecz, g(z)＝c2e-cz, 其中c1, c2 和 c 为满足 (-1)kc1c2c2k＝ 1的常数; 或者f(z)≡g(z).     

第63届IMO预选题(一)

<正>代数部分1.已知正实数列{a_n}满足对于任意的正整数n,均有a_n+1²+a_na_n+2≤a_n+a_n+2.证明:a_{2 022}≤1.2.设正整数k≥2.求最小的正整数n≥k+1,满足下述性质:存在由n个不同实数构成的集合,使得这个集合中的每个元素都是此集合中另外k个不同元素的和.     

关于超越亚纯函数Q[f](f~((k))(z))~n-c的值分布

利用NevanLinna的亚纯函数的值分布理论,研究了超越亚纯函数微分多项式的值分布理论,取得以下主要结果:若f(z)是复平面上超越严亚纯函数,m、n和k都是正整数,且n≥2,Qj[f](j=1,2…,m)为f(z)的微分单项式,Q[f]=sum from j=1 to m ()aj(z)Qj[f]为f(z)的拟微分多项式,aj(z)是f(z)的小函数,令F(z)=Q[f](f(k)(z))n-c,则T(T,f(k)≤k+1/n(k=1)/(R,1/Q[F]+(r,1/F)+S(r,f))     

数学奥林匹克问题

本期问题初 1 31　已知无穷数列 {an}的各项都是正整数 ,且其中任何连续若干项之和都不等于 1 0 0 .试求max{an,n∈N}的最小值 .(张延卫　江苏省宿迁市教育局 ,2 2 380 0 )初 1 32　试求出所有这样的实数k,使得关于x的方程 12 +k2 x2 + ( 2 +k)x -54( 2 + 1 )k =0的两个根都是有理数 .高 1 31　已知函数f(n)是定义在N+ 上的严格增函数 ,其值域也在N+ 之中 ,且满足f(f(n) ) =3n .求f( 2 0 0 3) .高 1 32　平面上给定n(n >3)个点 ,其中任何三点不共线 .任意地用线段连结某些点 (这些线段称为边 ) ,得到x条边 .( 1 )若确保图形中出现以给定点…     

2~k+2~k=2~(k+1)的应用

利用等式2k+2k=2K=1①可求形如xp+yq=zn（n,p）=1,（n,q）=1的不定方程的一组正整数解。例1、求方程y2＋x3＝z5的一组正整数解。解：…2、3的最小公倍数是6。既是6的整数倍又比5的整数倍小1的最小的k的值是24,即有224＋224＝225,(212)＋（28）3＝（25）5”y＝212’,x＝28,z＝z5即为要求的一组正整数解。例2、求方程z3＋x7＝y4的一组正整数解。解：3×7＝21,又3×21＝63＝64－1则有沙十3ee一岁,即（3z）’＋（3＊二（3”）‘”＝一户1二3’,歹一3‘’为要求的一组正整数解。例3、求方程＞十二二;的一组正整数解。U3M、Al＼jjq：l…     

2003年英国数学奥林匹克第2轮试题

1 .对于任意整数n >1 ,设P(n)为n的最大质因数 .求所有的三个不同的正整数x、y、z ,使其满足 :①x ,y ,z是等差数列 ;②P(xyz)≤ 3 .2 .△ABC中 ,D为AB上一点 ,且AD =14AB .过D的射线l与C在AB的同侧 ,交△ABC的外接圆于P ,且∠ADP =∠ACB .证明 :PB =2PD .3 .设 f :N→N是一个正整数集N的一一映射 .( 1 )证明存在一个由正整数a ,a +d ,a + 2d组成的等差数列 ,这里d >0 ,使 f(a) 0 ,使 f(a) 相似文献   

2011年江苏高考压轴题别解

<正>2011江苏高考第20题:设M为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项a1=1,前n项的和为Sn.已知对任意的整数k∈M,当整数n>k时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立.(1)设M={1},a2=2,求a5的值;(2)设M={3,4},求数列     

关于平方根的十分位数的一个猜想

对于实数x,设d(x)是x的十进制表示中的十分位数.对于正整数n和k,设f(n,k)=(n~2+n+k)~(1/2).证明了:当n≥5k-1时,d(n,k)=5.     

两个三元三次不定方程的整数解

<正>文[1]编入两道关于不定方程的习题:(1)证明x³-y3-y³=xy+1993无正整数解;(2)求x3=xy+1993无正整数解;(2)求x³-y3-y³=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x3=xy+61的正整数解.本文将探讨两个一般形式的三元三次不定方程x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=k(x3-3xyz=k(x²+y2+y²+z2+z²)+d(1)x2)+d(1)x³+y3+y³+z3+z³-3xyz=k x(y+xz+yz)+d(2)其中k、d∈Z,因对称性,约定方程⑴和方程⑵中x、y、z的值任意轮换时所得诸解为同一组解.     

第52届IMO预选题(四)

数论部分1.对于任意正整数d,f（d）是满足恰有d个正因数的最小的正整数（如f（1）=1,f（5）=16,f（6）=12）.证明:对于每个非负整数k,均有f（2^k）|f(2^k+1).2.考虑多项式P（x）=（x+d₁）（x+d₂）…（x+d₉）,其中,d₁,d₂,…,d₉是9个不同的整数.证明:存在整数N,使得对于所有的整数x≥N,均有P（x）能被一个大于20的质数整除3.设n是正奇数.求所有函数f:Z→Z,使得对所有整数x、y均有     

问题10.2解答

题求立方后末尾为888的最小正整数。解如果一个正整数n立方后末位是8,那么n的末位必须是2.这样n必定是形如10k+2(k为自然数)。因此,     

2020北欧数学竞赛

<正>1.对于任意的正整数n,记g(n)为所有集合{1,2,…,n}中严格递增的三元数组的个数.求最小的正整数n,使得g (n)可以写成三个不同素数之积,且这三个素数均在一个公差为336的等差数列中(并不一定是连续的三项).2.卡特手上有2n+1张卡片,其中一张上写有0,剩下的卡片中写有1,2,…,n的各两张.卡特想将这些卡片排成一排,     

互补的数列与一道国际数学竞赛题

1.数列互补的定义及定理: 定义如果两个递增的正整数的数列{f(n)}、{g(n)}满足下面两个条件: (ⅰ)这两个数列没有相同的项,即对任意的正整数m、n,有,f(n)≠g(m); (ⅱ)每一个正整数k,都必定在数列{f(n)}或{g(m)}中出现,即总可以找到正整数n或m,使得k=f(n)或k=g(m)。     

2006年上海市高中数学竞赛

说明:解答本试卷不得使用计算器.一、填空题(第1—4小题,每小题7分,第5—8小题,每小题8分,共60分)1.设x、y、z是正实数,满足xy+z=(x+z)(y+z).则xyz的最大值是.2.设从正整数k开始的201个连续正整数中,前101个正整数的平方和等于后100个正整数的平方和.则k的值为.3.设n(n≥2)是给定的整数,x1,x2,…,xn是实数.则sinx1·cosx2+sinx2·cosx3+…+sinxn·cosx1的最大值是.4.在△ABC中,∠A=30°,∠B=105°,过边AC上一点D作直线DE,与边AB或边BC相交于点E,使得∠CDE=60°,且DE将△ABC的面积二等分.则ACCD2=.5.对于任意实数a、b,不等式max{|…     

一道数学奥林匹克题的另解

题目 如果函数f:N×Z→Z满足下列条件: (1)f(0,0)=1, f(0,1)=1; (2)任意的k｛0,1｝, f(0,k)=0; (3)对每个n≥1和整数k,都有 f(n,k)=f(n-1,k)+f(n-1,k-2n). 试求C22Σ009k=0f(2 008,k)的值.     

2012中国西部数学奥林匹克

第一天1.求最小的正整数m,使得对于任意大于3的质数p,都有105|(9~p~2-29~p+m).(杨虎供题)2.证明:在正2n-1(n≥3)边形的顶点中,任意取出n个点,其中必有三个点,以它们为顶点的三角形为等腰三角形.     

以n=k到n=k+1的过渡

证明与正整数有关的命题时,常用数学归纳法,用数学归纳法证明的步骤是:(1)证明当n取第一个值n_0(n_0是满足命题的最小正整数)时,命题成立.(2)假设当n=k(k≥n_0,k∈N~*)时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.(3)由(1)(2)可知,命题对于从n_0开始的所有的正整数都成立.     

2020丝绸之路数学竞赛

1.给定严格递增的无穷正整数列:a1,a2,…满足对于任意的正整数n,均有an≤n+2 020,且 an+1 |(n3an-1). 证明:对于任意的正整数n,均有an=n. 2.设△ABC的外接圆为厂,在边AB、BC、CA上分别取点K、L、M,使得CM·CL=AM·BL.射线LK交直线AC于点P,圆Γ与△KMP的外接圆...