第44届IMO预选题解答(上)

代数部分　　 1.设实数aij满足 :当i=j时 ,aij为正数 ;当i≠j时 ,aij为负数 ,其中i =1,2 ,3;j =1,2 ,3.证明 :存在正实数c1、c2 、c3 ,使得下列三个数a11c1 a12 c2 a13 c3 ,a2 1c1 a2 2 c2 a2 3 c3 ,a3 1c1 a3 2 c2 a3 3 c3 ,要么都是负数 ,要么都是正数 ,要么都是零 .(美国　提供 )证明 :设在空间直角坐标系中 ,O (0 ,0 ,0 ) ,P(a11,a2 1,a3 1) ,Q(a12 ,a2 2 ,a3 2 ) ,R(a13 ,a2 3 ,a3 3 ) .只要证明 ,在△PQR中存在一点 ,其坐标要么都是负数 ,要么都是正数 ,要么都是零 .设P、Q、R在xOy平面上的投影分别为P′、Q′、R′,则P′、…     

由幂幺矩阵的全体实系数多项式组成的空间的维数

本文证明由幂幺矩阵的全体实系数多项式组成的空间的维数，等于这个幂幺矩阵的不同特征根的个数。设A＝（aij）是n阶矩阵，aij是复数，满足Ak＝E（k≥1）的矩阵称为幂幺矩阵；由这样的矩阵A的全体实系数多项式组成一个向量空间，把这个向量空间记为P（A）。引理1：n阶矩阵A相似于一个对角矩阵的充要条件是A的最小多项式没有重根。证明：充分性设A的最小多项式m（λ）没有重根，m（λ）＝（λ－λ1）（λ－λ2）…（λ－λk），则m（A）＝（A－λ1E）（A－λ2E）…（A－λkE）＝0，记矩阵A－λiE的秩为γi（i＝1，2，…，k），则由上…     

最小非元素问题引发的一个美妙数阵

以mex{S}(mex由minimum -exclude(最小 -排除 )而来 )表示不属于 (非负整数有限集 )S的数中最小的非负整数 ,即mex{S}={a|a∈Z- ,a S ,a≤x S}.现构造如下数阵[1]A ={aij}=mex{Sij},其中Sij是由A中第i行aij左边和第 j列aij上面的元素的集合 :A =a11　a12 　…　a1,j- 1　a1j　…a2 1　a2 2 　…　a2 ,j- 1　a2 j　……　…　…　…　…　…ai1　ai2 　…　ai,j- 1　aij　……　…　…　…　…　…S0 0 = ,Sij={ai0 ,… ,ai,j- 1;a0 j,… ,ai- 1,j}　i,j=1 ,2 ,…问题[2 ] :第 777行的第 1 0 0 1个元素a777,10 0 1=?可归纳地证明 :每…     

2005届高考模拟试题

一、选择题(本题共12小题,每小题5分,共计60分)11设函数f(x)=ax2+bx+c(a>0),对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)成立,在函数值f(-1),f(1),f(2),f(3)中,最大的一个是()A1f(-1)B1f(1)C1f(2)D1f(3)21函数y=loga(｜x｜+1)(a>1)的图象大致是()31当z=i-21时,z100+z50+1的值等于()A11B1-1C1i D1-i41lni→m∞C1n+C2n+3Cn3n+…+Cnn等于()A1-1B10C11D1不存在51过双曲线xa22-by22=1上任意一点P,引与实轴平行的直线,交两渐近线于M、N两点,则PM·PN的值为()图1A1a2B1b2C12ab D1a2+b261如图1所示,正三棱锥A-BCD中,E,F分别为棱AB,CD的中点,设α为…     

一道美国竞赛题的推广

题目a、b、c是正实数.证明:(a5-a2 3)(b5-b2 3)(c5-c2 3)≥(a b c)3.(2004,美国数学奥林匹克)研究该题,笔者发现可以将其堆广.命题若ai∈R ,i=1,2,…,n,则∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∑ni=1ain,n∈ .证明:因为ai∈R ,i=1,2,…,n,所以,(ani-1)(an-1i-1)≥0(n∈N )a2n-1i-ani-an-1i 1≥0a2n-1i-an-1i n≥ani (n-1).记Ani=ani (n-1),则由上式知∏ni=1(a2n-1i-an-1i n)≥∏ni=1(Ani).①下面证明∏ni=1(Ani)≥∑ni=1ain.因为1=an1An1 n-1An1=an1An1 1An1 … 1An1,1=1An2 an2An2 1An2 … 1An2,1=1An3 1An3 an3An3 1An3 … 1An3,……1=1Ann …     

一类二阶差分方程多点边值问题解的存在性

本文运用打靶法讨论二阶差分方程边值问题 ｛△^2y（t-1）=f（t,y（t）,△y（t））,t∈{a＋1,…,b-1}, y（a）=A,y（b）=^n∑i=1aiy（§i） 解的存在性,其中f：{a＋1,…,b-1}×（-∞,＋∞）×（-∞,＋∞）→R连续,有界且满足Lipschitz条件,a,b∈Z,§i∈{a＋1,…,b-1},i=1,2,…,n,n≤b-a-1是一个固定的自然数。     

一类映射个数的探求

如下两道题曾作为数学奥林匹克高中训练题出现:题1设集合A={1,2,3,4,5,6},映射f: A→B满足f(f(x))=x,则映射f的个数为____.题2已知集合S={1,2,3,4,5,6},一一映射f:S→S满足条件:对于任意的x∈S,     

一个求子集个数的计数公式

众所周知 ,对求有限集的子集个数问题 ,有以下结论和计数公式 :结论 1　设Ａ =ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ (其中ｎ∈Ｎ ) ,则集合Ａ的子集个数为 2 ｎ;非空子集个数为 2 ｎ-1 ;真子集个数为 2 ｎ-1 ;非空真子集个数为 2 ｎ-2 .面对求含有某几个指定元素的集合的子集个数问题 ,通常是以穷举法求解的 .但集合元素较多时 ,用穷举法求解易重复和遗漏 .解决这一类问题有没有统一的计算公式呢 ?本文得到以下结论和计数公式 :结论 2　设ｍ ,ｎ ∈Ｎ ,ｍ <ｎ ,Ｂ ={ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｎ} ,则(1 )满足条件 {ａ1 ,ａ2 ,… ,ａｍ} Ａ Ｂ的集合Ａ的个数是 2 ｎ…     

广义Fibonacci数列的多重性

设F={Fn} ∞n =0 是参数为 (a1,a2 )的广义Fibonacci数列 对于正整数k ,设N(k)是适合｜Fn｜=k的正整数n的个数 证明了 :当 (a1,a2 )是非例外参数时 ,N(k) ≤ 1     

一类既约分数的和

本文给出m与n之间所有分母为a的既约分数的和S_a(本文中m,n,a是已知的自然数,m相似文献   

加州大学的治理变革及启示

从控制走向协调,以治理代替管理,既是世界高等教育改革的趋势,也是美国公立大学一直努力的方向,而加州大学则是将这种努力践行得较为彻底的一个成功典范.这种努力具体表现为加州大学一方面通过与政府签订协约、引入市场机制、寻求校外群体的支持等形式来弱化政府的管制色彩,另一方面又充分发挥董事会、学术委员会等治理机构的协调作用,为大学自治提供一系列的缓冲与保护.     

大学校园“边缘区现象”引发的思考

随着时代的发展,大学校园和城市之间逐渐产生了一个特殊的区域,即所谓的大学校园“边缘区”。以系统分析法对由边缘区地段的特殊性引发的“边缘区现象”的成因,特点及发展方向进行深入的思考．     

复合淀粉粘合剂的研制

介绍了两种新的淀粉粘合剂的制备方法，该产品制法简单、稳定性好、粘度高、渗透性强、成膜性较好，有较好的使用前景。     

提高"中国近现代史纲要"课程教学实效的探索

在高校开设"中国近现代史纲要"课程,体现了党和国家对于高校思想政治理论教育的重视。但是,"纲要"课程开设之后的教学现状却并未令人满意。针对教学中存在的问题,我们就增强"纲要"课的理论性和学术性,活跃课堂气氛,进行开放式教学,加强师资队伍的建设,发挥教师的主导作用和挖掘历史资源,加强学生的社会实践等方面进行了以提高教学实效为目的的探索。     

孔子言语得体观述要

孔子作为中国历史上伟大的教育家、思想家和哲学家,他的言语观以仁为核心,以中庸之道为方法论,零珠碎玉般地散见于《论语》和其他论说中。孔子言语论中的得体观可概括为以下几个主要方面:一、强调言语的功用与价值;二、言语必合仁、礼规范;三、言语要知人、言中;四、言语要适合语境;五、言行一致,诚实守信;六、名正言顺则事成;七、既提倡尚文,又主张辞达。     

预测农村劳动力流动趋势的一种方法

马尔可夫预测法是应用概率论中马尔可夫链的理论和方法来研究各种状态的变化规律,并由此预测状态未来变化趋势的一种方法。农村劳动力的流动受到多种因素影响,可以看作是一个随机的状态过程。马尔可夫链是对农村劳动力的流动预测的一个较好的方法,本文利用马尔可夫链对永兴傣族乡农村劳动力流动趋势进行了预测分析。     

枞阳县东部地区方言声母的普通话辨正——声母Ф、η、n与1

枞阳县东部地区方言零声母包括普通话里的部分零声母、r声母和个别l声母;方言η声母是普通话的部分零声母;声母n、l在方言里有混淆不分的现象,但有些音节则区分得很清楚。本文主要就方言声母Ф、η、n和l与普通话相对应的声母进行比较,阐明方音辨正的方法。     

教育全球化发展的新动向概述

20世纪中后期以来,教育全球化发展的新动向主要表现在:教育的国际交流与合作日益增加;教育的国际交流朝着教育贸易方向发展;教育国际交流的主体改变了;世界留学生的规模急剧扩大;教育的国际化使各国教育课程发生了显著变化;教育规模的迅速扩大;教育超越学校教育的范畴;教育向社会的全方位渗透等。     

违约赔偿责任研究

违约赔偿责任是债务人不履行债务的后果。各国立法对违约赔偿范围规定不尽相同。违约赔偿原则的适用有利于最大限度地保护非违约方的利益,保障交易安全。根据公平原则,我国的合同法对于完全赔偿权责的适用也作了若干损害赔偿限制性规定。     

腺嘌呤电氧化吸附量的研究

提出一种通过常规扫速测试对吸附量进行初步估计的新方法.通过循环伏安技术对腺嘌呤在玻碳电极上的吸附现象进行了研究,对电活性质粒吸附量进行了定性判断.结果表明,弱吸附吸附量的数量级一般在10-10molcm-2.