从一道常见几何题到一道IMO竞赛题

问题1.过⊙O直径AB的两端点作⊙O的切线AD,BC.在⊙O上任取一点E,过E作⊙O的另一条切线交AD于D,交BC于C. 求证:(1)以CD为直径的圆与AB相切; (2)AD·BC为定值. 这是一道常见题. 在问题1中,让A,B两点发生变化,可得: 问题2.A,B为⊙O的一条直径所在直线上的两点,且AO=OB.过A,B两点     

2011年全国高中数学联赛加试(B卷)几何题的简解及推广

2011年全国高中数学联赛加试(B卷)试题:如图1,过⊙O外一点A作⊙O的两条切线,切点分别为B,C.点D在线段BC的延长线上,CD=1/2BC.P为AD的中点,过点P作⊙O的两条切线,切点分别为Q,R,QR与BC交于点E.点M在线段CB的延长线上,BM=BC.N为AM的中点,过N点作⊙O的两条切线,切点分别为K,J,JK与BC交于点L.证明: (1)四点A,R,Q,D共圆;(2)MC/CL=BE/CE.     

第49届IMO试题解答

1．已知H是锐角△ABC的垂心,以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线船交于C1、C2两点．证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆．     

谈全国初中数学竞赛一道试题的证明方法

题目:设P、Q为线段BC上两定点,且BP=CQA为BC外一动点(如图(1))当点A运动到使∠BAP=∠CAQ时,△ABC是什么三角形?试证明你的结论。猜想:△ABC是等腰三角形。 [证法一]:(利用平移法和四点共圆) 分别作QD∥AB、CD∥AP、QD、CD交于点D,     

知微见著 析辩思行 识变应变——2021年北京市中考压轴题解法赏析与教学思考

<正>1试题呈现(2021年北京市中考第28题)在平面直角坐标系xOy中,⊙O的半径为1.对于点A和线段BC,给出如下定义:若将线段BC绕点A旋转可以得到⊙O的弦B'C'(B',C'分别是B,C的对应点),则称线段BC是⊙O的以点A为中心的"关联线段".     

第49届IMO试题

第一天 1.已知H是锐角△ABC的垂心,以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线AB交于C1、C2两点.     

第39届IMO预选题8的简证

题目:在△ABC中,∠A=90°,∠B<∠C。过点A作△ABC的外接⊙O的切线,交直线BC于D,设点A关于BC的对称点为E,作AX⊥BE于X,Y为AX的中点,BY与⊙O交于Z。证明:BD为△ADZ的外接圆的切线。 证明:如图1,连AE交BC于F,连FY、FZ、EZ、ED。 ∵点A与点E关于BC对称, ∴AF=EF且AF⊥BD。     

一道全国竞赛题的别证与探析

2005年全国初中数学竞赛试题的第12题：如图1，半径不等的两圆相交于A，B两点，线段CD经过点A，且分别交两圆于C．D两点，连结BC，BD，设P，Q，K分别是BC．BD，CD的中点，M，N分别是弧BC和弧BD的中点．求证：     

几何问题何时要讨论?

这个问题,可从以下四个方面来考虑: 1.顺序关系不明确例1 A、B、C是直线l上的三点,BC=2/3AB,若BC=6,则AC的长等于__. 分析因为A、B、C三点在直线l上的排列顺序不清,故需分两种形不考虑: (1)由图1知, AC=AB+BC     

两圆外切的若干性质及其应用

人教版九年义务教育初中几何第三册p .14 4页有这样一道例题 :已知 :如图 1,⊙O1 和⊙O2 外切于点A ,BC是⊙O1 和⊙O2 的公切线 ,B、C为切点 .求证 :AB⊥AC .图 1解题过程不难理解 ,关键在于作出两圆的内公切线 ,下面简证如下 :证明 :过点A作⊙O1 和⊙O2 的内公切线交BC于点O ,因为OB、OA是⊙O1 的切线 ,所以OB =OA .同理OC =OA ,所以OB =OC =OA .即OA =12 BC ,所以AB⊥AC .这个例题的基本特点是△ABC构成了直角三角形 ,我们不妨称△ABC为切点三角形 ,容易证明切点三角形具有如下性质 :( 1)切点三角形是以两圆的公共点…     

一道全国高中数学联赛试题的几点思考

题目:在△ABC中,艺A=60’,AB>AC,点O是外心,两条高月E、C下,交于点H,点M、N分别在线段BH、月F上,且满足BM=CN. ,、人好了十N月,,~r:: OH尸、二‘. 该题是2002年全国高中数学联赛加试题.笔者发现在解答中,当证得B、C、H、O四点共圆这一几何关系后,在上述已知条件情况下,图形中的点、角、边还有两个几何关系,而且这些几何关系可以推广到更一般的情形,其推广命题为: 命题:设O是定圆的圆心,BC是异于直径的定弦,动点A在优弧BC上(不包括点B、点C、优弧BC的中点和以点B或点C为端点的直径的另一端点),且满足艺BAc=600,BE、C于,是…     

对“题图”信息误读的思辨

<正>2012年湖南益阳市中考数学试卷中有这样一道题:题1如图1,点A是直线l外一点,在l上取两点B、C,分别以A、C为圆心,BC、AB长为半径画弧,两弧交于点D,分别连结AB、AD、CD,则四边形ABCD一定是     

一道奥赛题的空间拓广

第49届IMO试题的第1题：已知H是锐角△ABC的垂心．以边BC的中点为圆心、过点H的圆与直线BC相交于A1、A2两点;以边CA的中点为圆心、过点H的圆与直线CA相交于B1、B2两点;以边AB的中点为圆心、过点H的圆与直线AB相交于C1、C2两点．证明：A1、A2、B1、B2、C1、C2六点共圆．     

对两道课后练习题的探索

课本第10面有这样两道拓广探索题.第12题:如图1—1,AB⊥l,BC⊥l,B为垂足,那么A,B,C三点在同一条直线上吗?解析:A,B,C三点在同一条直线上,证明如下.证法一:因为AB⊥l,BC⊥l,又因为经过直线上一点B有且只有一条直线与已知直线l垂直,所以A,B,C三点在同一条直线上.     

射影几何在高考试题中的应用

定义1设A、B、C是直线l上三点,称AC/BC为点列A、B、C的单比,表示为(ABC)=AC/BC.这里AC、BC都为有向线段.如图1.定义2设射影直线上的点列A、B、C、D均为普通点,称(ABC)/(ABD)为点列A、B、C、D的复比(ABCD)     

反比例函数中的一个结论及其应用

<正>反比例函数上有一定点A(a,n),直线BC与反比例函数交于B、C两点(不与点A重合),当∠BAC=90°时,我们能得出什么结论呢?下面对这个问题进行探究.设反比例函数为y=an/x,直线BC:y=kx+b,如图1,过点A作x轴的平行线DE,过点B作BD⊥DE,过点C作CE⊥DE,垂足分别     

数学单元测试题（一）

一、填空题 1.过平面内一点P能画 条直线,过平面内两点M、Ⅳ能画 2.M、Ⅳ是线段A、B的三等分点,P、Q是NB的三等分点.则AP—AB,PN— AB. 3.如图1,已知AC:BC=3:7,且AC一6cm,则BC— cm,4 B= cm. 锕条直线. 兽 AB,MP=A f 占图1 4.用度表示:118。20’42”一——. A B c D E 5.如图2,B、c、D是线段AE上的三个点,图中共有——条线段.———1丁丁——一 6.15.125。一 度 分 秒. 7.时钟在1点15分时,时针与分针所成的锐角为 度. 8.已知B是线段4C上的一点,且AB一口,BC=6(n<6)。又E、F分别是A8、BC的中点。G是EF的中点,则BG一 . 9…     

一道课本习题的引申和证明

[题目 ]如图 (1),⊙ O1和⊙ O2外切于点 A, BO是⊙ O1和⊙ O2的公切线, B, C为切点,求证 AB⊥ AC.(初中《几何》第三册 144页例 4) 适当改变题目的条件、结论,通过猜想、归纳,引申为以下几题 . 1改变两圆的位置关系,由外切变为相交 . [题 1]如图 (2),⊙ O1和 O2相交于 A1, A2两点, BC是⊙ O1和⊙ 2的公切线, B, C为切点 .求证∠ BA1C＋∠ BA2C=180° . 证明：连结 A1A2, ∵ BC与⊙ O1相切于点 B, ∴∠ A2BC=∠ BA1A2. 同理,∠ A2CB=∠ CA1A2. ∴∠ A2BC＋∠ A2CB=∠ BA1A2＋∠ CA1A2=∠ BA1C. …     

换个角度看一看

一个问题换个角度看一看 ,会得到什么结果 ?你尝试过吗 ?图 1例如 :点B ,C是两条平行直线l1 ,l2 中l2 上的定点 ,点A在l1上滑动 .那么 ,无论点A在l1 上的哪个位置 ,△ABC的面积总是不变的 .这是因为三角形的底边BC和BC边上的高的长度a和h始终没有变化 .(你能讲清高的长度h不变的道理吗 ?)换一个角度来看 ,图 1中如果BC的长度a变长 ,A点仍在l1上 ,那么△ABC的面积S则跟着变大 ;a变短 ,S则跟着变小 ,S和a两个变化的量间的相依关系可用关系式S =h2 a(h为常量 )来表示 .再看 ,图 2中 ,如果底边BC的长度a仍旧不变 ,当顶点A的图 2位置变…     

关于一道2013年日本奥数决赛题的深度探究

2013年日本数学奥林匹克总决赛第4题为:△ABC为锐角三角形(如图1),点H为其垂心,过B、CC两点的一个圆与以AH为直径的圆交于X、Y两点(X≠Y),点D为点A在直线BC上的射影,点K是点D在直线XY上的射影.证明:∠BKD=∠CKD.