利用西摩松定理证题

大家知道,西摩松(Simson)定理就是: 三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线。这就是说,如果P是△ABC外接圆上任意一点,X、Y、Z是P点分别在直线BC、CA、AB上的射影,那么X、Y、Z三点共线并且称直线XYZ是P点对于△ABC的西摩松线。西摩松定理不只是一个证明点共线的好题,而且可以用来来证     

用极坐标法证Simson线

众所周知:“三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线。”这直线叫做该点对于该三角形的西摩松(Simson)线。     

西姆松定理的推广

西姆松定理的内容为:过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线,则三垂足共线. 如图1,△ABC为⊙O的内接三角形,P为⊙O上一点,向△ABC三边各引垂线,垂足为 D、E、F,则此三点共线. 证明 联结PB.     

辛姆生（Simson）定理的解析证明

辛姆生(Simson)定理三角形外接圆上任一点向三边(或其延长线)作垂线,三个垂足共线. 证明1.当△ABC为锐角三角形或钝角三角形时 建立如图1所示的平面直角坐标系,设B,C点的坐标为B(0,0),C(a,0),边AB所在直线方程为y=k1x,边AC所在直线方程为y=k2(x-a),边BC所在直线方程为y=0.从而,顶点A的坐标为方程组     

正三角形共点线定理的再探究

文[1]用解析法证明了正三角形的一个共点线性质,这个性质如下:定理如图1,平面上任意一点P关于同一平面内的一个正三角形的三个顶点的对称点与该顶点的对边中点连线共点.我经过探究发现定理中的正三角形条件是多余的,该定理对任意三角形都成立,并且还得到一组共线点,即有定理如图2所示,设△ABC是任意三角形,△ABC的重心为G,P是△ABC所在平面内任意一点,P点关于△ABC的顶点A、B、C的对称点     

数学竞赛初级讲座 西姆松定理及应用

1　基础知识西姆松定理　过三角形外接圆上异于顶点的任意一点作三边的垂线 ,则三垂足共线 (此线称为西姆松线 ) .证明 :如图 1 ,设P为△ABC的外接圆上任一点 ,从P向三边BC、CA、AB所在直线作垂线 ,垂足分别为L、M、N .连结PA、PC ,由P、N、A、M四点共圆 ,有∠PMN =∠PAN =∠PAB =∠PCB =∠PCL .又P、M、C、L四点共圆 ,有∠PML =∠PCL .故∠PMN =∠PML ,即L、N、M三点共线 .注 :此定理有许多证法 .例如 ,如图 1 ,连结PB ,令∠PBC =α ,∠PCB =β ,∠PCM =γ ,则∠PAM =α ,∠PAN =β ,∠PBN =γ ,且BL =PB…     

锐角三角形垂心的一个性质

众所周知,锐角三角形外心到三边的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和.由此可以证明:定理锐角三角形的垂心到三顶点的距离之和等于其内切圆与外接圆半径之和的二倍.设 O 为△ABC 垂心,过 A,B,C 作其     

又一组与圆有关的等积线段

相交弦定理、切割线定理反映的是两组与圆有关的等积线段或比例线段 ,这是再介绍一组 ,供同行参考 .命题 :三角形外接圆上任一点到三角形各顶点的距离与到各顶点所对边的距离之积相等 .此命题试证如下 :设△ABC内接于⊙O ,P是⊙O上任一点 ,连结PA、PB、PC ,分别作PA′⊥BC ,PB′⊥AC ,PC′⊥AB ,垂足分别A′、B′、C′.求证 :PA·PA′ =PB·PB′=PC·PC′ .证明 :( 1 )当点P与A、B、C三点中某一点重合时 ,由点与点 ,点与直线的距离的规定可知此时 :PA·PA′ =PB·PB′ =PC·PC′=0 .( 2 )当点P不与A、B、C三点中任…     

梅涅劳斯(Menelaus)定理的十种证明

<正>梅涅劳斯定理是平面几何学以及射影几何学中的一项基本定理,具有重要作用,其具体内容为:设直线l分别与△ABC的三边(或边的延长线)相交于点D、E、F,则有AF/FB·BD/DC·CE/EA=1.直线l与三角形的三边相交,有两种情形:(1)其中两个交点在边上,一个交点在边的延长线上,如图1;(2)三个交点均在边的延长线上,如图2.     

2014中国国家集训队选拔考试

1.如图1,设锐角△ABC的外心为O,点A在边BC上的射影为HA,AO的延长线与△BOC的外接圆交于点A’,点A’在直线AB、AC上的射影分别是D、E,△DEHA的外心为OA·类似定义点HB、OB及HC、OC·证明：OAHA、OBHB、OCHC三线共点. （张思汇 供题） 2.设A1A2…A101是正101边形.将每个顶点染上红、蓝两色之一.记N是满足如下条件的钝角三角形的个数：三角形的三个顶点均为该101边形的顶点,两个锐角顶点的颜色相同,且与钝角顶点的颜色不同.求： （1）N的最大可能值; （2）使得N取得最大值的不同染色方法数（对于两种染色方法,只要有某个Ai上的颜色不同,就认为是不同的染色方法）.（瞿振华 供题）     

梅涅劳斯定理及其应用

1　基础知识梅涅劳斯定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC、CA、AB或其延长线上的点 .若A′、B′、C′三点共线 ,则 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B=1 .①证明 :如图 1 ,过A作AD∥C′A′交BC延长线于D ,则　 CB′B′A=CA′A′D,AC′C′B =DA′A′B ,故　 BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =BA′A′C·CA′A′D·DA′A′B=1 .梅涅劳斯定理的逆定理　设A′、B′、C′分别是△ABC的三边BC ,CA ,AB或其延长线上的点 ,若BA′A′C·CB′B′A·AC′C′B =1 ,②则A′、B′、C′三点共线 .证明 :设直线A…     

在椭圆和双曲线中的类西摩松线

西摩松线及其逆定理可统一表述为：点P是△ABC所在平面内的一点,过点P向三边BC,CA,AB或它们的延长线引垂线,垂足分别为D,E,F,则D,E,F三点共线的充要条件是：点P在△ABC的外接圆上．在椭圆和双曲线中作如下推广：     

浅谈西姆松定理的一些性质

西姆松定理过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三角形三边的垂线,则此一难足共线．此线称为西姆松线．     

公式cosθ=S′/S的证明及应用

求二面角的一般方法是根据定义找出二面角的平面角,然后通过论证计算求解,下面介绍一种较简捷的方法,即应用面积射影定理求解,可避免作、找、论证二面角的平面角.面积射影定理:若二面角M—a一N的大小为θ,在平面M内的一个三角形的面积为S,它在平面N上的射影面积为S′,则有:cosθ=S′/S.证:设平面M内的△ABC,且S_(△ABC)=S(1)若△ABC的边AB与交线a重合(如图1),设C在平面N上的射影为C′,则S_(△ABC′)=S′,在平面M内过C作CE(?)a于E,连C′E,则∠CEC′=θ,在Rt△CC′E中:C′E=CE·cosθ.∴cosθ=C′E/CE=(1/2C′E·AB)/(1/2CE·AB)=S′/S.(2)若△ABC的边AB∥平面N(如图2),则过AB作平面N′∥平面N,设C在平面N,N′内的射影分别为C′C″.A、B在平面N上的射影分别是A′、B′则△A′B′C′、△ABC″分别是△ABC在N、N′     

巧用公式■=(■+λ■)/(1+λ)妙解向量题

1　定理定理 1　若A、B、C三点共线 (如图 1) ,且AC=λCB ,O为任意一点 ,则有OC =OA+λOB1+λ .证明　∵OC =OA +AC =OA +λCB=OA+λ(OB- OC) ,　　　　图 1∴OC =OA+λOB1+λ .变式　若A、B、C三点共线 ,且AC=mn CB ,O为任意一点 ,则有OC =nOA +mOBn+m .定理 2　若OC =λOA +μOB　 (λ ,μ∈R) ,则A、B、C三点共线的充要条件是λ +μ =1.证明　 (必要性 )如果A、B、C在一直线上 ,则存在一个实数m ,使得AC =mCB ,由定理 1得OC =OA +mOB1+m =11+m OA+m1+m OB .令λ=11+m,μ =m1+m,所以λ+μ =1.(充分性 )如…     

斜三角形射影定理

在中学数学里,正弦定理和余弦定理是刻画三角形边、角关系的两个最常用、最重要的定理。斜三角形的射影定理也是沟通边、角关系的重要定理。有时解题,应用射影定理,比较正弦定理和余弦定理,更加方便,本文将介绍斜三角形射影定理的若干应用。射影定理三角形的任意一边等于其余两边在这边上的射影之和。即,斜三角形的射影定理可表示成: a=bcosC+ccosB.(1) b=acos C+ccosA.(2) c=acos B+b cosA.(3)     

两个著名定理的等价性

本文给出两个著名定理:西姆松线定理与托勒密定理等价性的证明.为方便,将两个定理写在下面:托勒密定理:若四边形ABCD是圆内接四边形,则AB·CD AD·BC=AC·BD.西姆松线定理:三角形外接圆上任一点在三边所在直线上的射影共线.1 用西姆松线定理证明托勒密定理文[1]已给出证明,简述如下:证明 ABCD是任一凸四边形,连接AC,如图,过D向△ABC各边作垂线,垂足分别为 C_1、A_1、B_1,连结C_1B_1,B_1A_1,由西姆松线定理得:     

塞瓦定理和梅涅劳斯定理的一种向量证法

平面向量的一个主要应用是解决一些平面几何问题,塞瓦定理和梅涅劳斯定理是平面几何中的两个重要定理,人们自然想到如何利用平面向量的知识证明这两个定理,这里给出一种向量证法. 现将两个定理叙述如下: 塞瓦定理 如图1,设O是△ABC内任意一点,AO,BO,CO分别交对边于D,E,F,则 AF/FB· BD/DC · CE/EA=1.(1) 梅涅劳斯定理 如图1,设一直线与△ADC的边AC,AD及CD延长线分别交于E,O,B,则 AO/OD· DB/BC· CE/EA=1 (2) 为了证明定理,先给出一个简单的引理: 若→OA=λ→ OB+μ→ OC(λ,μ为常数),则A,B,C3点共线的充要条件是λ+μ=1.     

数学问题与解答——2003年第4期问题解答

581.如图1,O为三个同心圆的公共圆心,共线的三点A、B、C(O、A、B、C四点不共线)分别在三个圆上,又设三个圆的半径从小到大依次为,r_1、r_2、r_3。求证:     

梅涅劳斯定理在空间的推广及应用

定理1 设在△ABC三边(所在直线)AB、BC、CA上各取一点X,y,Z(异于顶点A,B,C),则此三点共线的充分必要条件是 AX/XB·BY/YC·CZ/ZA=1. 这是平面几何中的梅涅劳斯(Menelaus)定理,它是证明三点共线的一个有力工具。本文将此定理在空间作一推广,供大家参考。 定理2 (如图1)设在四面体ABCD的棱AB,BC,CD,DA上各取一点P,Q,M,N(异于顶点A,B,C,D),则此四点共面的充分必要条件是