一道好题的简证

在《一道好题的作用》（载《中学数学月刊》1997年第6期)一文中,沈红梅给出了下面一道同步训练题: “若a>b>0,求证:(asinx b)/(asinx-b)不能介于(a-b)/(a b)与(a b)/(a-b)之间”的三种解法。其实这道题用函数的单调性来证明将更简捷一些。 证明 设t=asinx-b,y=y(t)=(t 2b)/t=(asinx b)/(asinx-b),则y(t)可以改写成y=1 2b/t。     

利用定比分点巧证题

《中学数学月刊》在1997年第6期刊登了沈红梅的《一道好题的作用》,又在第10期刊登了田正平的《一道好题的简证》,给出了下面这道题:“若a>b>0,求证:(asinx b)/(asinx-b)不能介于(a-b)/(a b)与(a b)/(a-b)之间”的四种解法,这道题如果利用定比分点公式来证将更巧妙。     

一个最大数命题的多种证法

命题试证对任意a、b∈R,有max{|a b|,|a-b|,|1-b|}≥(1)/(2). 分析 (1)题目含义:在题设条件下,要证明|a b|,|a-b|,|1-b|三者之中的最大数不小于(1)/(2),由于a、b取值的任意性,即是要证明三者之中至少有一个不小于(1)/(2).因此可以得到.     

怎样证明条件等式

有关证明条件等式的代数题,是一类综合性比较强的题目,如果能让学生掌握其各种不同的证明方法,对于培养他们的逻辑思维能力和熟练的技能技巧都是大有益处的。下面介绍几种证明条件等式的常用方法。一、将已知条件直接代入欲证等式例1 已知:x=(a-b)/(a b),y=(b-c)/(b c), z=(c-a)/(c a) 求证:(1 x)(1 y)(1 z) =(1-x)(1-y)(1-z) 证明:∵(1 x)(1 y)(1 z) =(1 (a-b)/(a b))(1 (b-c)/(b c))(1 (c-a)/(c a)) =2a/(a b)·2b/(b c)·2c/(c a) (1-x)(1-y)(1-z) =(1-(a-b)/(a b))(1-(b-c)/(b c))(1-(c-a)/(c a)) =2b/(a b)·2c/(b c)·2a/(c a) ∴ (1 x)(1 y)(1 z)=(1-x)(1-y)(1-z) 二、通过已知条件之间的相互变换,得出求证式。例2.设x=by cz,y=cz ax,z=ax by 试证:(a 1)x=(b 1)y=(c 1)z     

巧用三角命题证明代数等式

在三角中有这样一个命题,若α β γ=kπ,k∈Z,则tgα tgβ tgγ=tgαtgβtgγ。现利用这一命题证明一个代数等式。 题 求证:(a-b)/(1 ab) (b-c)/(1 bc) (c-a)/(1 ca)=(a-b)/(1 ab)·(b-c)/(1 bc)·(c-a)/(1 ca)(a、b、c∈R) ①。     

一道课本习题的引伸及应用

高中《代数》下册第16页有这样一道习题: 已知a、b、c∈R_ ,求证: (b_2c_2 c_2a_2 a_2b_2)/(a b c)≥abc (1) 这道习题的证明是简单的,但如果我们仅仅到此止步,那未免太可惜了.其实这是一道有着丰富内涵的好题. 首先,我们对此题进行一番引伸. 因为 a_4 b_4 c_4≥b_2c_2 c_2a_2 a_2b_2,从而有 (a_4 b_4 c_4)/(a b c)≥abc (2) 又因为,不等式（1）就是     

“a+b≠0”有何用?

在初中《代数》第三册第126页上有一道解方程题(即第3(2)题)如下:解方程 ((a-x)/(b+x))=5-((4(b+x))/(a-x)),(a+b≠0)对此题,不少同学求解如下:解设((a-x)/(b+x))=y,则原方程化为     

一个不等式的推广及应用

《苏教版·普通高中课程标准实验教科书·选修4～5(不等式选讲)》课本第20页有一道习题:设a≠b,求证:a~4 b~4>a~3b ab~3.证明:对任意不相等的实数a、b,总有:(a~4 b~4)-(a~3b ab~3) =(a-b)~2[(a b/2)~2 3/4b~2]>0.注意到原题的不等式两边是齐次式,我们可以从项数和指数两个方面进行推广.     

优化假设解数学题初探

本文简介什么是优化假设,以及如何优化假设解数学问题.一、什么是优化假设?例1.设a,b∈R~ ,求证:a~ab~b≥a~bb~a。证明:由不等式关于a、b的轮换对称性,不妨设a≥b>0。于是(a~ab~b)/(a~bb~a)=a~(a-b)b~(b-a)=[a/b]~(a-b)。∵a>b>0,∴a/b>1,a-b>0,根据指数函数的性质知,     

少一点灌输 多一点探讨——由一道习题的解法谈学生思维意识的培养

数学思维问题是数学教学中的核心问题.要使学生掌握数学知识并培养能力,发展智力,就不仅需要学习数学知识本身,更重要的是学习获得这些知识的思想和方法.也就是说教师要更注重对学生思维意识的培养.笔者在不等式的复习教学中,通过与学生共同探讨某一习题的解法,注意对学生思维方面的培养.现举一例,供读者鉴赏.引题:证明:若f(x)=1+x2,a≠b,则｜f(a)-f(b)｜<｜a-b｜.1找通法培养探究意识由题意直接把已知函数代入,通过观察、分析和猜想等手段可以找到解法.证法1要证明｜f(a)-f(b)｜<｜a-b｜,可改证(1+a2-1+b2)2<(a-b)2,为此只须证明1+ab<(1+a2…     

读者·作者·编者

江苏省响水县向阳中学吕忠诚同志来信指出:本刊1983年第一期《证明不等式的一种常用技巧》一文的例7有误。原题为:“如果 a≥b,则n(a-b)b~(n-1)≤a~n-b~n≤n(a-b)a~(n-1).”显然,当a、b 都小于0,且 n 为奇数时,结论是不能成立的。因此,原题中应加上条件:“a、b≥0”.请读者注意。我们向吕忠诚同志致以谢意。     

举一反三 触类旁通——一道课本习题的变式及应用

高中《数学》(试验修订本·必修)第二册(上)第11页习题6.2第1题是:求证:(a2+b)2≤a22+b2.将上述不等式变形可得a2+b2≥(a+2b)2.(*)不等式(*)可利用均值不等式直接证明,也可借助恒等式2(a2+b2)=(a+b)2+(a-b)2及(a-b)2≥0证明.不等式(*)有着广泛的使用价值,本文略举数例加以说明.一、证明不等式【例1】设c是直角三角形的斜边,a、b是两条直角边,求证:a+b≤2c.证明:由题设得a2+b2=c2,由不等式(*)得c2=a2+b2≥(a+2b)2,即(a+b)2≤2c2,亦即a+b≤2c.【例2】己知a、b∈R+,且a+b=1,求证:a+21+b+21≤2.证明:由不等式(*)及已知有2=(a+21)+(b+21)≥(a+21…     

《数学通报》问题1885的另证与推广

《数学通报》2010年11月第1885号数学问题是:已知a,b,c为正数,求证:(9a)/(b+c)+(16b)/(c+a)+(25c)/(a+b)≥22.证明原不等式等价于9(a+b+c)/(b+c)+16(a+b+c)/(c+a)+25(a+b+c)/(a+b)≥72     

从一道IMO试题想开去(高一、高二、高三)

第24届IMO中有这样一道题:在△ABC中,a,b,c分别为其三边的长,求证:w=a2b(a-b) b2c(b-c) c2a(c-a)≥0.有一名选手给出了如下的证法:     

一道数学竞赛题的两种换元证法

《数学通讯》1984年第5期给出了1983年瑞士奥林匹克数学竞赛试题及解答,其中第二题是: 设a、B、c为正数,试证明: abc≥(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c) (1) 文中应用三角形边及角的三角函数关系给出它的     

深挖课本例题的潜在功能一例

高中课本《代数》下册(必修本)第12页例7:已知 a,b,m∈R~ ,并且 a(a/b).1.探究其它证法本例在课本中是作为分析法证明不等式给出的,用比较法也容易证明.若注意观察不等式两边的结构特点,又可获得构造函数,利用函数单词性证明的新思路.证明:构造函数 f(x)=(a x)/(b x),则 f(x)=1 (b a)/(b x),∵a0,故函数 f(x)在区间(-b, ∞)上是增函数.由 m>0,得 f(m)>f(O),即(a m)/(b m)>(a/b).2.发现正分数的两条性质     

善于“退”,也是学好数学的诀窍——以“a3+ b3≥a2b+ab2”应用为例

1简单结论 若a,b均为正数,则有 a3 +b3≥a2b+ab2.(1) 这是一道容易的试题,只要作差即可得证,证明过程如下: a3 +b3-a2b-ab2 =(a2-b2)(a-b) =(a+b)(a-b)2≥0. 当且仅当a=b时上述等号成立.我们把它称为结论(1). 2精彩应用 案例1 (2017年高考全国Ⅱ卷文科数学试题)已知a＞0,b＞0,a3 +b3 =2,证明:a+b≤2.     

比和比例在三角中的应用

三角中的一类题目,若巧用比和比例将显得较为简捷,请看下面几例: [例1] 已知(cosx)/a=(cos3x)/b(cosx≠0,) 求证:(a-b)/(3a b)=tg~2x 证:设(cosx)/a=(cos3x)/b=1/k 则a=kcosx,b=kcos3x ∴(a-b)/(3a b)=(kcosx-kcos3x)/(3kcosx kcos3x) =(2sin2x·sinx)/(4cos~3x)=(4sin~2x·cosx)/(4cos~2x)=tg~2x [例2] △ABC中,求证:cosA cosB cosC>1 证:由射影定理得, a=bcosC cdosB,b=ccosA acosC 两式相加得:a b=(a b)cosC c(cosA cosB)。∴ (a b)(1-cosC)=c(cosA cosB)     

一个错误的证明——兼与王玉怀先生商榷

贵刊1993·8期P18刊登了王玉怀先生的文章《一道条件过剩的IMO试题》,文中将第24届国际中学生数学奥林匹克一道试题: 设a,b,c为三角形的三边长,求证: a~2b(a-b)+b~2c(b-c)+c~2a(c-a)≥0中的条件放宽为“a,b,c为任意正数”。笔者以为不妥,原题的条件依然是必要的。     

一个最大数命题的多种证法

命题试证对任意a、b∈R,有max{|a+b|,|a-b|,|1-b|}≥21.分析(1)题目含义:在题设条件下,要证明|a+b|,|a-b|,|1-b|三者之中的最大数不小于21,由于a、b取值的任意性,即是要证明三者之中至少有一个不小于21.因此可以得到.(2)证题思路①若假设三者均小于12,则必有矛盾;②若假设三者之中有其二小于21,则另一必不小于21;③若假设三者之中有其一小于21,另二之中必至少有一不小于21;④利用两数中的最大数不小于其平均数.证明方法1假设|a+b|<12、|a-b|<21、|1-b|<12,下面利用a+b、a-b、1-b之间的关系及绝对值不等式构造矛盾:2=|(a+b)-(a-b)+2(1-b)|≤…