勾股定理的扩展

在我国古代人们将直角三角形中短的直角边叫做勾,长的直角边叫做股,斜边叫做弦.人们已经知道,如果勾是3,股是4,那么弦就是5.后来人们进一步发现并证明了直角三角形三边的关系：两条直角边的平方和等于斜边的平方.     

巧用勾股数规律求面积

<正>勾股数是指可以构成一个直角三角形三边的一组正整数,设三角形的三边长分别为a,b,c,且都是正整数,它们满足条件a²+b²=c²,那么a,b,c就是一组勾股数．我国对于勾股数的研究有辉煌的成就,古代数学书《周髀算经》中记载,在公元前1100年人们就将直角三角形中较短的直角边叫作“勾”,较长的直角边叫作“股”,斜边叫作“弦”,并知道一组常见的勾股数,即3,4,5．后来在《九章算术》中,除了3,4,5这组勾股数,还提出了9,12,15;7,24,25;8,15,17;20,21,29等几组勾股数．实际上,勾股数不只有这几组,还有很多,下面我们先探究用勾股定理求面积,然后讨论如何运用勾股数规律求出面积．     

勾股定理与出入相补原理

勾股定理是指:“在直角三角形中,勾方+股方=弦方”。“勾”“股”均是直角边,大者为“股”,小者为“勾”。西方称“毕达哥拉斯定理”。是希腊几何学家毕达哥拉斯于公元前540年发现的,相传毕氏学派宰牛一百头以示庆祝,其证明已经失传,现今西方最早的证明是由公元前300年希腊几何学家欧几里得在《几何原本》中给出的。我国最早记载见于《周髀算经》,其中周公与商高问答中“勾三、股四、弦五”是勾股定理的特例,而陈子与荣方的问答中“勾股各自乘,并而开方除之”则是定理的一般情况。商高与周公是公元前十     

从东、西方文化看勾股定理的起源

什么是勾股定理？众所周知，所谓勾股定理，就是指在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图1所示，我们用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形的两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：勾^2＋股^2=弦^2，即：a^2＋b^2=c^2。什么是“勾”、“股”呢？在中国古代，人们把弯曲成直角的手臂的上半部分称为“勾”，下半部分称为“股”。这个定理在中国又称为“商高定理”，在欧洲称为“毕达哥拉斯定理”。     

勾股数组的一个性质公式的发现及其证明

所谓勾股数组,就是以三个正整数为边长,这三边能组成直角三角形,满足两直角边的平方和等于斜边的平方,也就是勾的平方加上股的平方等于弦的平方,即满足等式     

换个角度看“勾股”

提起勾股定理,大家都很熟悉:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方. 同学们想过没有,若我们换个角度看“勾股”,定理会变成什么样呢?     

谈勾股图

在初中数学教材.“勾股定理”一节中,运用勾股图(如下图)直观地证明了勾股定理:“在直角三角形中,两条直角边平方的和等于斜边的平方.用式子表示为a~2+b~2=c~2.”有的同志提出:勾股图中,最外层的正方形A_1B_1C_1D_1,其用意何在?下面就来介绍这个问题的概况.     

证明勾股定理

本期封面上的数学元素,同学们看出来了吗?封面上展示了一块直角三角形的三明治,这块三明治的三边长分别是3、4、5。用一根3+4+5=12单位长并等距打结的绳子,就可以围成一个直角三角形,应用的实际原理就是勾股数。勾股定理是几何中最重要也是最基本的定理之一。公元前12世纪,我国最早的数学著作《周髀算经》就记载了“勾三股四弦五”,由于我国古代称两条直角边中较短的为勾,较长的为股,斜边为弦,因此大家都习惯性地把这个命题叫勾股定理。2000多年前,古希腊的毕达哥拉斯证明了勾股定理,因此它又被称为毕达哥拉斯定理或毕氏定理。     

勾股定理的“发展”

勾股定理：在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方．如果两直角边分别为a．b,斜边为c,则有a^2＋b^2=c^2．勾股定理的证明主要是利用拼图的方法,借助面积相等进行证明的．下面我们借助“面积法”探讨“勾股图形”．     

从东、西方文化看勾股定理的起源

什么是勾股定理?众所周知,所谓勾股定理,就是指在直角三角形中,两条直角边的平方和等于斜边的平方。如图1所示,我们用勾(a)和股(b)分别表示直角三角形的两条直角边,用弦(c)来表示斜边,则可得:勾2 股2=弦2,即:a2 b2=c2。     

勾股定理

在我国最古老的数学经典著作《周髀算经》上记载着如下一段历史:西周开国之初(约公元前一千多年)有一个叫商高的数学家对周公(周武王的弟弟,封在鲁国当诸候)说:把一根直尺折成直角,两端连结起来构成一个直角三角形.它的短直角边称为勾,长直角边称为股,斜边称为弦.发现如勾为3,股为4,那么弦必为5.这就是勾股定理,又称商高定理.相传在夏禹王治水时,就已发现这一定理,并已把它应用于简易的水利测量.这当然只是传说,当时的历史文献并无确切的记载,但是这一定理的发现在二千多年前则是毫无疑问的.在西方公元前六世纪到公元前五世纪希腊数学家毕达…     

小学数学活动设计之十二 初步认识勾股定理

说明:勾股定理虽然是7～9年级的数学学习内容,但是初步认识勾股定理完全可以成为很好的小学数学活动的材料。一、背景材料勾股定理的内容是直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。我国通常把直角三角形中较短的直角边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦,因此上述内     

从勾股定理中学习“割补”

如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边长为c,那么a~2+b~2=c~2.此即我们所熟知的勾股定理.古人一般称较短的直角边为勾,较长的直角边为股,斜边为弦.在我国,勾股定理的表述最早出现在天文学著作《周髀算经》中,之后,数学家开始了对勾股定理的     

勾股数的另一些有趣特点

大家都知道,在一个直角三角形中,斜边的平方等于两条直角边平方的和。这是有名的勾股定理。我们通常把斜边设作 c,两直角边分别设为 a、b,那么,根据定理得:c~2=a~2+b~2,也就是弦~2=勾~2+股~2。而 a、b、c(勾、股、弦)这一组勾股数的正整数组必定满足上列等式。经常提到的勾3、股4、弦5就是勾股数中最小的一组。这里介绍勾股数的另一些有趣特点。     

探究源于课本的中学几何试题

由下列两道课本题: 1．(人教版初中几何第二册P106-B组第4 题)如图1,在边长为c的正方形中,有四个斜 边为c的全等直角三角形,已知它们的直角边 长为a,b．利用这个图证明勾股定理(这个图叫 做勾股圆方图,我国古代数学家赵爽在他所著 的《勾股圆方图注》中,用这个图证明了勾股定 理)． 由下列两道课本题: 1．(人教版初中几何第二册P106-B组第4 题)如图1,在边长为c的正方形中,有四个斜 边为c的全等直角三角形,已知它们的直角边 长为a,b．利用这个图证明勾股定理(这个图叫 做勾股圆方图,我国古代数学家赵爽在他所著 的《勾股圆方图注》中,用这个图证明了勾股定 理)．     

我眼中的无理数

一、无理数的诞生及发展　　无理数起源于 2 50 0年以前 .相传在公元前 5世纪 ,在古希腊有一个以数学家毕达哥拉斯为首的数学学派 .这个学派认为整数是由上帝创造的 ,分数又是两个整数的比值 .因此 ,世界上除了整数和分数外 ,不可能再有什么其他的数 .可是后来有一位叫希伯斯的成员否定了这个结论 .原来 ,毕达哥拉斯学派发现了平面几何中一个重要的定理 ,并将其称作“毕达哥拉斯定理” ,也就是我们现在所说的“勾股”定图 1理———在直角三角形中 ,两条直角边的平方和等于斜边的平方 .如图 1 .ABCD是边长为 1的小正方形 ,AC=AB2 +BC2 =…     

关于整数边直角三角形的探讨

以任何大于2的正整数为直角边的整数边直角三角形都存在，且可以通过一定的数学表达式求出其各边边长。以任何大于2的素数为直角边的整数边直角三角形唯一存在。以任何大于2的正整数为直角边的整数边直角三角形的个数大于等于1，小于这个正整数的二分之一。整数边直角三角形的问题即为勾股弦数组问题。     

趣谈勾股定量

我国古人很早就发现了“勾三股四弦五”,当时把较短的直角边叫做勾,较长的直角边叫做股,斜边叫做弦,“勾三股四弦五”的意思是,在直角三角形中,如果勾为3,股为4,那么弦为5,所以我国称反映勾、股、弦长度之间的数量关系的一个命题为勾股定理,西方国家称勾股定理为毕达哥拉斯定理。     

16世纪的测量工具与相似三角形的应用

1引言数学史上,相似三角形很早就被人们所认识.大约公元前1600年,古巴比伦人就已经知道“两个相似直角三角形对应边成比例”这一性质,并利用该定理求解几何问题.公元前6世纪,古希腊的工程师欧帕里诺斯在设计隧道挖掘工程时就运用了相似三角形的性质[1];我国汉代数学名著《九章算术》“勾股”章中含有一系列勾股测量问题,均需以相似三角形性质来解决.虽然数学史上关于相似三角形应用的文献浩如烟海,但是中学教师所掌握的可直接用于课堂的材料却极为缺乏.     

两个有趣的勾股关系

<正>在直角三角形中,应用勾股定理解决问题,学生已经越来越适应了.若一个三角形中的三边满足"一边的平方等于另两边的平方和"(以下简称满足勾股关系),由勾股定理的逆定理,也易判定此三角形为直角三角形.若满足勾股关系的三边不是一个三角形的三边,尤其是这三边在同一条直线上时,往往让人感到无从下手.请看以下两个有趣的勾股关系: