初三第一学期期中代数质量检测题

本试卷检测范围:初中代数第十二章一元二次方程第一节一元二次方程至第八节无理方程。 一、填空题(每空2分,共24分)1.方程6x~2=3-7x的二次项系数、一次项系数和常数项分别是____。2.用直接开平方法解方程9x~2-4=0的根是___;(x 1)~2=2的根是_____。3.若代数式(x 1)(3x-2)的值是零,则x等于___。4.当k___时,方程kx~2 2x 3=0有两个相等的实数根。     

从一道例题的简解谈起

初中《代数》第三册P.115例5是:已知方程x~2-2x-1=0,利用根与系数关系求一个一元二次方程,使它的根是原方程的各根的立方。其实,本题若不利用根与系数的关系,也可获解,请看: 解:设y为新方程任一根,则对原方程相应的根x有:y=x~3。由原方程得:X~2=2x+1,所以x~3=2x~2+x=2(2x-1)+x=5x+2。因此,y=5x+2,即x=(y-2)/5,将它代入原方程并化简即得所求方程:y~2-14y-1=0。     

一道中考题考查的内容

(2001年临沂市中考数学试卷中第23题)九年义务教育三年制初级中学《代数》第二册第97页的例2:解方程解:方程的两边都乘以x-2,约去分母,得 1=x-1-3(x-2). 解这个整式方程,得 x=2. 检验:当x=2时.x-2=0,所以2是增根,原方程无解.     

对一道习题解答的意见

六年制重点中学高中代数第三册第26(2)题:在复数集C中解关于x的方程:x~3+(k~2-2)x=2k(x~2-1).人民教育出版社出版的由安徽省教育科学研究所编写的该册教学参考书中解答如下:x=k是原方程的根,把原方程展开整理得:x~3-2kx~2+(k~2-2)x+2k=0.     

浅析无理方程的增根

初中《代数》第三册11.9,在解无理方程时指出:“为了把无理方程变形为有理方程,需要将方程的两边都乘方相同的次数,这样就有产生增根的可能。”怎样引导学生对上述这句话进行深化理解呢?我们从以下三个方面作了补充说明: 1.将方程的两边都平方或偶次乘方时,增根赤源于乘数的有理化因式的零点。例1 解方程(x-2)~(1/2)=8-x ①解:方程两边平方,得x-2=(8-x)~2 ②即x~2-17x+66=0,∴x_1=6,x_2=11。     

一元二次方程根与系数关系题型示例

一元二次方程根与系数的关系是初中数学的重要内容之一,也是中考数学中经常考到的一个知识点.有关一元二次方程根与系数的关系的题目有很多类型,现举例说明,供大家参考. 一、讨论已知方程的根的性质、求根或根的代数式的值1.讨论方程根的性质例1 当a取什么值时,关于未知数x的方程ax2+4x-1=0只有正实数根?(2002年广东省广州市中考试题)解:(1)当a=0时,方程为4x-1=0,解得x=14.①(2)当a≠0时,Δ=42-4a(-1)=16+4a,令16+4a≥0,得a≥-4.∴当a≥-4且a≠0时,方程有两个实数根.②设方程的两个实数根为x1、x2,由根与系数的关系,得x1x2=-1a,x1+…     

几个不容忽视的问题

《一元二次方程》一章是初中数学的重要内容,要准确掌握这些内容,必须注意以下几个问题．1利用求根公式分解二次三项式时,不能漏掉二次项系数例：把4x2＋8x－1分解因式．解：方程4x2＋8x－1＝0的根是许多同学常常会漏掉二次项系数这个常数因子4．2要注意“失根”解一元二次方程,不仅要注意舍去“增根”,还要注意不能“漏根”．例：解方程（x-2）2=（x-2）．许多同学在方程的两边都除以x-2得方程的根为x=3．这是错误的．因为在解方程的过程中忽视了x-2=0而失根．事实上,当x－2＝0即x＝2时,等式仍成立．正确的解法应为：3使用判别式时…     

初三代数结课测试题

一、填空题(每小题3分,共30分) 1.点P(3,-5)在第__象限,它关于y轴的对称点P_1的坐标是___,关于原点的对称点P_2的坐标是___。 2.一元二次方程ax~2 bx c=0(a≠0),如果a c=b,那么这个一元二次方程必有一个根是___。 3.若方程kx~2 2(3k-1)x 9k-1=0有两个实数根,则k的取值范围是___。 4.若关于x的方程2(x-2m)(k-1)=x(m-4)的两根之和与两根之积相等,则m=___,方程的根为___。     

一元二次方程图象解法教学的一点做法

现行新编初中代数第四册中一元二次方程的图象解法(选学内容)一节,利用图象求方程x~2-2x-2=0的实数根,教科书上给出两种解法。其中第二种解法比较简便,但当遇到交点的纵坐标的绝对值比较大时,在作图的技术上带来一定的困难,怎样解决这些问题呢?我在教学中作了如下处理。在介绍了第二种解法后,向学生指出,利用二次函数的图象解一元二次方程的方法是很多的,要灵活运用。如将原方程     

读者来信

编辑同志:初中数学第四册第十八页有这样一道练习题:m 取什么值时,方程(m~2-2)x~2-2(m+1)x+1=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根?教学参考书的答案,忽视了“一元二次方程定义中的二次项系数不等于零”这一条件。正确的答案应为:     

关于一元二次方程根的一个定理的应用

定理　一元二次方程ax2 bx c=0 (a≠ 0 )有一个根为 1的充要条件是a b c=0 .这个定理的形式很简单 ,证明很容易(略 ) ,应用也很方便 .1　求根例 1　 (第五届初中“祖冲之杯”赛试题 )若a为正数 ,那么方程 (2a 3)x2 (a 2 )x- (3a 5) =0的两根中较大的一个实根是 .解　因为 (2a 3) (a 2 ) [- (3a 5) ]=0 ,所以x1=1 ,x2 =- 3a 52a 3,因为a为正数 ,所以x2 =- 3a 52a 3<0 ,故较大的实根为 1 .2　求值例 2　 (1 992年四川省初中数学联赛试题 )若方程 (1 92 2x) 2 - 1 991· 1 993x- 1 =0 ,较大的根为m ,方程x2 1 991x- 1 992=0较小根为n ,求m…     

用交叉相乘法构造方程

初中代数第三册第153页第4题是: 求一个一元二次方程,使它的根分别是方程x~2+px+q=0的各根的平方.本题的常规解法是利用根和系数的关系来构造所需要的方程     

对《含参系数的一元二次方程根的判别》的一点意见

《含参系数的一元二次方程根的判别》(载本刊1983年第9期)一文最后一段指出:“……初中代数课本第4册总复习参考题第26题,这一道关于含参系数的一元二次方程的习题是不妥当的。原题是,证明:若方程 mx~2—2(m 2)x m 5=0没有实数根,则二次方程(m-5)x~3-2(m 2)x m=0有两个不相等的实数根。这道题在拟题时也疏忽了对 x~2项系数的讨论。”     

增根的妙用

解分式方程可能产生增根,因此验根是解分式方程必不可少的步骤.不可否认,增根的出现给我们解题带来了麻烦,但这是问题的一个方面,从下面的例子你将会感到,在求解含有字母系数的分式方程时,巧用增根的有关知识将会使问题迎刃而解.现举例说明.例1关于x的方程x2 x 1x-1=m 1x-1与x2 x=m的解相同,m应满足什么条件?解:在方程x2 x 1x-1=m 1x-1中,x≠1.当x≠1时,方程两边可同减去1x-1,得x2 x=m,两者同解.当x≠1时,由x2 x=m,有m≠2.当m≠2时,方程x2 x=m必定不会有x=1的解,所以这时两方程同解.例2关于x的方程1x-2=4x2-4-kx 2有增x=-2,求k的值.解:原分…     

你知道韦达定理的作用吗?

在人教版初中《代数》第三册第十二章中,有一小节的内容是讲一元二次方程的根与系数的关系的。根与系数的关系可表述为“如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=-ba,x1·x2=ca”。对一元二次方程来说,根与系数的关系称为韦达定理。利用韦达定理,可以避免解方程的繁琐,直接把条件与条件、条件与结论连接起来,达到快速解题的目的。现以初中毕业、升学考试题为例来说明这个问题。例1.设x1,x2是关于x的方程x2+(2m+1)x+(m-2)2=0的两个实数根,当m取什么值时,(x1-x2)2=15?(江西省数学试题)分析:如果利用求根公式求出x1,x2,再代入(x1-x2)2=…     

用课堂讨论纠正解题错误

把学生在解题中出现的错误集中起来,让学生在课堂上讨论,这样做学生是欢迎的,收效也较好。通过课堂讨论,使学生分清产生错误的原因,掌握正确的解题方法。例如,在学习了《函数及其图象》这章后,我出了下面的题目供学生讨论:判断下列解答是否正确:(1)m为何数时,方程x~2-(m-1)x-(m-2)=0有两个互为相反数的实数根(一九八一年浙江省初中中专招生试题)。解:设x_1、x_2是已知方程的两个互为相反数的实数根,则x_1+x_2=0,根据根与系数的关系有     

由二根互为倒数的一元二次方程得到的启发

利用根与系数的关系,我们易证:当a和c都不为0时,万程ax~2 bx c=0和方程cx~2 bx a=0的二根互为倒数。在解下面这样的问题时,根据这个结论,可使解法简捷一些。例1 已知方程ax~2 3x-2b=0和方程3x~2-ax 2b=0的二根互为例数,求实数a、b的值。     

培养学生探索能力的一次尝试

我在“一元二次方程的根与系数的关系”的教学中,注意教给学生从特殊到一般的思维方法,培养探索能力,收到了较好的效果。一上课先复习方程的四种解法,并且求解方程2 x~2 5 x-3=0(1),然后提问:“一元二次方程根与系数的关系,我们已经学过哪些?”学生回答,“根的判别式是由方程的系数构成的,从△的符号能判别方程实根的有、无等情形。”“求根公式也表明根与系数的关系。”我肯定了他们的回答:“判别式、求根公式都正确地表明了系数与根的关系,即由系数去求根。这节课我们要进一步讨论根与系数的关系,例如已知方程的两根怎样去求系数。”这一小结为下面的探索提供了线索。接着我们求解方程x~2-5 x 6=0(2),得出结论“方程的两根之和等于方程一次项系数的     

一道中学竞赛题的推广

1984年,美国中学生有一道奥林匹克数学竞赛题如下: 四次方程x~4-18x~3 kx~2 200x-1984=0四个根当中的两个的积是-32,试确定k的值。 该题的答案是k=86,作者研究发现,这道题可以推广成下面的。 定理 设a,b,c,m是四个任意已知数,且c≠m~2≠0,四次方程     

已知二次方程的一根求另一根的技巧

已知二次方程的一根求另一根的题目,是中招升学考查和初中数学竞赛的重点题型之一,本文分类介绍此类问题的解题技巧,供读者参考。 1.求另一根和方程中的字母系数 此类问题可由根的定义,将已知根代入原方程求出字母系数的值,再由韦达定理求出另一根。 例 1.已知方程3x~2-(2a-5)x-3a-1=0的一根是2,求另一根。