幻方的妙用

幻方是数学界里的一朵奇葩，几千年的数学历史长河中，人们一直都对幻方有着浓厚的兴趣，一直都在研究它．“三阶幻方”如图1、“四阶幻方”如图2当数最古老的幻方．它的最大特征是行、列、对角线上的几个数之和都相等．我们正好利用这一特点，可以巧妙的去解决数学智力问题．下面举三例，以飨读者．     

四阶幻方巧填数

题目:把1至16这十六个数填入下图4×4的方格中,使每行、每列和每条对角线上四个数的和都相等。由于方格图是四行四列,所以有人给它取名叫四阶幻方。怎样正确解答呢?请你牢牢记住四阶幻方填数歌:     

幻方的妙用

幻方是数学界里的一朵奇葩,几千年的数学历史长河中,人们一直都对幻方有着浓厚的兴趣,一直都在研究它."三阶幻方"如图1、"四阶幻方"如图2当数最古老的幻方.它的最大特征是行、列、对角线上的几个数之和都相等.我们正好利用这一特点,可以巧妙的去解决数学智力问题.下面举三例,以飨读者.     

幻方的存在性

幻方在我国古代叫纵横图,是由一些连续的整数组成一个满足一定条件的数表。本文以构造的方法证明幻方的存在性.定义1:整数 k～n~2+k-1按某种方法排成1个n×n 矩阵.若矩阵的每行、每列、及两对角线的 n 个数之和均相等,称该矩阵为 k～n 幻方矩阵、或 k～n 幻方.特别、当k=1时称为 n 阶幻方矩阵,或是 n 阶幻方.其每行(列)的 n 数之和称为幻方的和,记为 Sn.由于任何一个 k～n 幻方总可以写成一个 n 阶幻方与(k-1)乘元素为1的方阵之和.所以在本文中只讨论 n 阶幻方.由定义可知,一个 n 阶幻方,其行与行之间、列与列之间的无互不相同,且和相等.因此     

巧填奇数阶幻方

图1 有人建议向火星发射如图1的图 案,来了解火星上是否有和我们人类一 样的智能生物.其中9个格中的点数分 别是1,2,3,4,5,6,7,8,9,每一横 行,每一竖列以及两条对角线上的点数 的和都相等,这种点数阵叫做幻方,图1 是三阶幻方. 大家想想,如果向火星发射五阶、七 阶或更高阶的奇数阶幻方,又该如何摆布这些点数呢?我们以五 阶幻方为例,通过“补格对填”的简便方法来解决这个问题. (1)画出5×5的正方形方格,在上、下、左、右用虚线补上相应 的格子(如图2). …     

构造三阶幻方的简便方法

在欧洲曾经广泛流行过一古老的数学游戏叫做幻方,给定1,2,…,n2这些数字,要求把它们排成n×n的方阵,并使得每一行,每一列,每一条对角线上的n个数字之和都相等.我们把这样的方阵叫做n阶幻方,每一行数字之和叫做幻方的和.例如816357492就是一个3阶幻方,它的和是15,其实幻方最早起     

对“高源猜测”的否定

幻方中的完美幻方尤称奇妙,即n~2个互异自然数排成n行n列,不仅每行、每列数字和相等,二主对角线数字和相等,而且2(n-I)条泛对角线(折对角线)数字之和也都相等。4阶和5阶的完美幻方已经找到。例如     

构造偶数阶幻方的算法

构造偶数阶幻方的算法王洪发周铭一、引言幻方是组合论中一个有趣的问题。何谓幻方呢？就是将１，２，…，ｎ２这ｎ２个数排成一个每行，每列为ｎ个数的方阵，要求纵、横及对角线上的数字和都相等，满足这些要求的方阵称为“ｎ阶幻方”。如由１，２，…，９组成的３阶幻方...     

当一回幻方魔术师

对于图1，同学们或许眼生，可是将图1（b）数据化为图2的数字方阵后，你会脱口说出：“幻方！”据我国古代著名典籍《易经》记载，图1是当时河南洛阳的洛水河里的神龟背甲上的“洛书”.它的出现，标志中华民族繁衍生息的土地上，也滋生了幻方这一古老的数学问题.幻方是每一行、每一列以及对角线上的数字和都相等的数字方阵.这个数字和叫幻方常数，也称为幻和或幻数.只要你手勤，你会发现，每个幻方都有自己的幻方常数，由幻方的定义去试试，你能完成图3与图4两个幻方吗？对于像图2以及你刚完成的图3、图4这类每个数字都是自然数的幻方，同学…     

巧破三阶幻方

-14-3-2023-41510346892781843101416212上期问题答案:我们所熟知的这个三阶幻方叫做“洛书”,它是最基本的三阶幻方。以“洛书”为基础,我们可以构造出很多很多“广义”三阶幻方,其中的数字不再是1到9九个自然数,但仍然可以做到每行、每列、以及两条对角线上每三个数的和都相等。例如,把基本三阶幻方的每个数都加上1就得一个新的三阶幻方(当然是广义的),把基本三阶幻方的每个数都减去5、或者都乘上2,也可以得新的三阶幻方,如下图所示,请同学们验证:现在看看我们所要填的三组数:(1)6,7,8,9,10,11,12,13,14;(2)3,6,9,12,15,18,21,24,27;(3)1,…     

对三阶幻方的趣味探讨

将1—9的连续9个正整数填入3×3的方格图形中（如图1），使每行、每列及对角线上的三数和都相等，通常将这个图形称为三阶幻方或魔方，我国古代又称为“九宫”图．因三阶幻方具有一些神奇的性质，从古至今，人们保持着对它的探究热情．     

三阶幻方的解法

正如图1的图案叫做幻方,其中9个格中的点数分别是1,2,3,4,5,6,7,8,9。每一横行、每一竖列以及两条斜对角线上的点数的和都是15。在如图1所示的正方形方格中,既不重复又不遗漏地填上9个数,使每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等,这样的图形叫做三阶幻方,相等的和叫做幻和。     

巧填奇数阶幻方

有人建议向火星发射如图 1的图案 ,来了解火星上是否有和我们人类一样的智能生物 .其中 9个格中的点数分别 1、2、3、4、5、6、7、8、9,每一横行 ,每一竖列以及两条对角线上的点数的和都相等 ,这种点数阵叫做幻方 ,图 1是三阶幻方 .大家想想 ,如果向火星发射五阶、七阶或更高阶奇数阶幻方 ,又该如何摆布这些点数呢 ?我们以五阶幻方为例 ,通过补格对填的简便方法来解决这个问题 .( 1)画出 5× 5的 2 5格的正方形 ,在上、下、左、右用虚线补上相应的格子 (如图 2 ) .( 2 )依次从上面的一格斜向左下五格填入 1— 5,6— 10 ,11— 15,16— 2 0 ,2…     

高次幻方群

高次幻方群李成瑞（甘肃省临洮县太石镇李家湾７３０５１４）本方提出并解决“高次幻方群”这个幻方中的新问题．我们已知，连续数１—ｎ２能构成一个ｎ阶幻方．它的每行、每列及每条对角线上的ｎ个数之和是值为ｎｘ的定数．这个定数称作“幻方值”．如图１是个４阶幻方，...     

有趣的四阶幻方

少年朋友们,你们也许阅读过有关幻方方面的知识钛地．我特向你们介绍一则四阶幻方．它可有趣极了．这则幻方如下：它不光具有幻方的一般特征,即每横行、每坚列、两条对角钱之和相等;还可以找出更多的四数之和是340的数组．下面,我们一起来探索,体味幻方的无穷乐趣和奥秘．1．如图①图③所示．每四个相邻的小方格组成的小正方形中的四个数之和是340‘2．如图②所示,四个角上的四个数之和是340,即：10＋150＋to＋120＝Wi．3．如图③所示,各对角线上的四个数之和是34D．4．图④囹⑤所示,关于横中线、竖中线相对称的纠围方格里的四个…     

巧填奇数阶幻方

有人建议向火星发射如图1的图案，来了解火星上是否有和我们人类一样的智能生物．其中9个格中的点数分别是1，2，3，4，5，6，7，8，9，每一横行，每一竖列以及两条对角线上的点数的和都相等，这种点数阵叫做幻方，图1是三阶幻方。     

幻方中的美及其它

在中国相传“伏羲制卦,文王系辞”,这大约是公元前1182年前后的事了。在《周易·系辞》上说:“河出图,洛出书,圣人则之”。其中所讲的“河图”是指最简单的三阶幻方。如右图,图中配置1至9九个自然数,其中每行每列以及两条对角线上的数之和都等于15。 很久以后,在16世纪,德国著名画家丢勒发表了一幅铜版画,题为《忧郁》,雕刻年代为1514年,画中有一个四阶幻方（如图）。这个幻方的奇妙之处在于,它最下面的两个数15、14,连在一起恰好是绘画年代。 丢勒所设计的四阶幻方,具有一般幻方的性质。 横行、竖行和对角线上四个数相加都等于34、（34叫幻方常数）,此外还有一些更奇妙的性质。比如:     

n阶幻方及其数的推广

幻方是组合数学中的一个数字游戏,一个n阶幻方是由自然数1,2,3,……,n~2排成的方阵,其中每行每列以及对角线上各数有相同的和S,数S叫做幻方的幻和,因为n阶幻方中所有自然数的和为:     

幻方

“幻方”是涉及数字组合的一类数学问题，一般地说，幻方是指把从1到n^2的自然数排成纵横各有n个数，并且使同行、同列与同一主对角线上的n个数的和都相等的一种方阵，n叫做幻方的阶数．     

奇妙的双料幻方

由 n~2个不同的自然数排成 n 行 n 列的方阵,如果 n 行中的每一行的 n 个数之和、n 列中的每一列的 n 个数之和、两条对角线中的每一条对角线上的 n 个数之和(共2n 2个和)都相等(都等于所有的 n~2个数的总和的1/n),那么就说这样的方阵是 n 阶幻方,幻方中任一行(列或对角线)的 n 个数之和叫做该幻方的幻和.幻方是一个既古老又活