關於異底對數的大小正负的判定

一、阴放昊底同一其数的雨佃野数之大小正负判定 段不同底数焉。舆乙,真教焉N,且a,乙,N肯表非1之正数。 (i、若a>b卜1,则 放N>1峙,IOgoN)logaN>0. b.加N<1降,1叹bN<1咀。N<0. (11)若a成b<1,只1J :、·龄N>11寺,!ogbN丈109。N<0. b.价N<1峙,bgbN)109。N>0. (111)若a>1>b,具IJ a.加N>1峙,109。N>O>logb N. b.放N丈1峙,hg厂,N1, N到x1)刃丫祖)1.....................……NI/xl元1,万一””””“””···········一(1)”.‘.”’.”’·…     

要正确掌握多位数的一般表示法

一道题目: “计算1994 x 199319931993一l卯3 x 19941卯41望拜,’, 文工的解法是 “解:设a二1994,b=1卯3,则 原式=ax品b一bx~二ax占x 111一占x axlll=0,’。. 文11认为“a=1卯4,b二1卯3,都是四位数,而不是一位数,故而笋6x 111,石石撼。、111,显然,等式。、丽一6、石石=。、‘、川一‘’、。、l一l不成立。,,并给出了如下解法: “设a=1燮州,b=l卯3,则 原式=ax丽石一香交石石 =a x b x 10[X)1《】X)1一b x a xl(X X)1(X洲)1二0。” 为叙述方便,我们.将文工、文n的解法分别称作犷解法一”和“解法二”。「 实际上,解法一固然不对,解法二也有…     

自然数的一种迭代性质及猜想

设n任N,T是N到N的一个变换.令 T,(n)=T(,:),T,+1(,:)=7’(7’,(,:)),k~l,2,·…称T,为T的k次迭代.现在对自然数,:=a,…a,a。,定义 ,I’(n)~a盆+a二一、十…+a百+a石.(*)则有 定理对任何自然数r,N上的变换(,)在有限次迭代以后必进入循环.设r·gr是k位整数,取,,。~max(10圣,10『),并设 儿=a,…a .a。=a,.10加+一+a,.10+口。,其中甄半0.那么,当n>n。时,。)k,m)r.这时 7’(,:)一a几+…十a万+a么.由于函数f(x)~x(10’一x『一’)(0镇x镇9)递增(’·’f‘(x)~一。。=二x·,李10‘一r .gr妻0),故a.(10”一a万’))10’一l)10盖一1.于是,,一了’(…     

勾股定理的推广

设R名△ABC的勾,股,弦分别为。,b口,那么关系式a+b)c,。,+石2=。,,a’+b3<。3,启发我们,有如下定理. 定理函数l(劝=护+b‘一c‘当。咬:<2时为正,!(2)=O,当:>2片为负.证明f‘·,二二「(誉)’·(粤)’〕.由:(劲’·(劲2一‘,=夙n。,则互=。。。。,o<。<叮 Cla一c一命考虑甲(x)二/a\劣Ib\忿t—I十t—I\C/\ClSin公a+eos思a。 (下转35页)(上接38页)命x=2+了,则 势(劣)=甲(2+劣,) =sin“十之产a+eosZ十二,a =sin Za,sin,,a+eosZa.eos,,a。 当0<:<2时,:产<0,5 in,,a>z, eos,产a>J, 尹(x)>sin“a+eosZa=J,e’>O,故了(幻>叭 当x二2时,x,二o, …     

函数f（x）=ax^m＋b／x^n的性质与应用

定理:函数f(x)=叮刀, b/尹(a>0,b>0推论2函数f(x)一二 立(。>0,b>o,二爪,·。N,二>。)在(0,’‘溉〕上是减函数,在)0)在(0,是增函数.仔」上是减函数,、仔,十oo)上’‘溉,十一,上是增函数·证明:设。<二,相似文献   

巧用(a+b)/2≥(ab)~(1/2)(a>0、b>0)进行对数大小的比较

在对数函数教学中,常常遇到进行对数大小的比较之类问题.在解这类问题时若注意应用基本不等式0+b_.__才》澎石石一(a>6,b>0).常可收到化难为易之效。 二l 109。,+,,n·109(。;1)(”+2)<1即109:(。+l)>109佃+i)(。+2)‘二,由换底公式’。‘·‘·+‘,一‘。g告击例:试比较10923与10934的大小’ 解:…xog32一不奥飞>。.1093‘>0 Ju匕20109(。+,,(”+2)~1092 ”十1南10934109:3=10954·logaZ所以又有1os李击>los共 1’刀十i 若对数式含参数,则在比较大小时,现的一切可能情况分别加以讨论。 l ”+2’需对参数出由基本不等式“而、鲡、丛全奋9翅…     

首届全国中学生数学冬令营竞赛试题解答

i.a,,a:,…,an为实数,如果它们中任意两数之和非负,那么对于满足 公1+劣:+…+x。=1的任意非负实数x;,x。,…,:。,有不等式 a:二‘+a:二:+…+a。x,势a,:全+aZ:雪十…十a。对成立. 请证明上述命题及其逆命题. 〔证一〕由题设二‘)o,a‘+a,乒O,(￡,j=i,2,…,n) az:2+a 2 xZ+”’+a”劣, =(a,xl+aZ劣:+…+a,x。)·1 二(a工x,+aZ劣:+…+a。劣。)(劣,+劣:+ …十二。) =a,:卜aZ:参+…+a。:盖共乙(。‘+。,):‘xJ)a,x矛+aZ:参 1,j一l ,簧J非负. 〔证二〕用数学归纳法 (i)n=2时,’.’a,+a:>o,劣1+xZ=1, ·’·。,2,+aZ‘:一(a,:扩+a::量) =a:公:…     

一个重要不等式的证明及其应用

二、应用(1)不等式证明:例1若。艺)C(艺=1,2,…,大),试证 儿 妻、、./ 定理“n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即设。,,aZ,…,0二为正数,二夕.+口.+。。。+a_~,,—一、,,~、mll丫万二一兰多一二一一一二一二丝二之丈丫。。…。_当日47少毛U-——二‘,、产a,a,二“a.,,二!士L一L长 n当。1=aZ二·一a。时,上式取等号. 我们给出它的一个简洁证明,并讨i仑‘g的一些应用. 一、定理的证明 设厂(x)=e刃一。x,x任(0,+co)。由微积分易知f(x))f(1)=0,即。’一。x妻。,…尸’)。x,等号当x二1时成立.(刀,+a:+… 证明:1十1叮.…口1 (, “…     

用柯西不等式证明一类分式不等式

设a、、占、(i=z,2,3,…,n)为任意实数,则(a子十。圣 一 武)(峨 砖一十此))(。1占l aZ占: … an占,)2,式中等号当且仅当 证:拱=罕=…=努时成立,这就是著名的柯西不bl如b,’‘一’一’‘一一‘一一一”‘一·所以例3 二圣1一xl二成立,故原不等式成立.设二1·二2··…二,〔R十,且i哥二、一‘,求 二圣1一xZ 2 J”、1十丁一一一二多,一万 1一工”n一1等式,应用甚广. 文〔1」用等号成立条件法,给出了一类分式不等式的巧妙证明,现就该文中各例,通过添配适当的因式,运用大家熟悉的柯西不等式证之,以资比较. 例1设a,b,。都是正数,证明: (《数学通…     

谈整系数一元二次方程根的性质

定理1设整系数一元二次方程x“十k:x 八二r._,,~,、。:儿1/十尤2二U阴一火恨方为U夕习a=一不、一K广V凸), 乙。,十户=N。=一k,N,一,一k ZN卜:·2.①’:一1<口<0,“=合(一‘!一了△),其中△二k于一礴kz少O,k;,无:为整数.则 1.N。=。”十口”为整数,且有N.=一k IN。一:一k zN。一2.(n>2) 2.①若一1<口(O,则〔a“”于‘〕二a“”十’+吞2’+’.oZu+夕2“为大于。2”的最小整数,其中〔x〕表示不大于x的最大整数. ②若0<口<1,则a”+夕”为大于a’的最小整数. 证明1.因k,,k:为整数且衬一4k2)0,由韦达定理知a十月=一k:,a吞=k。, 用数学归纳…     

利用指数的“换底公式”解题

命题若a、,n、,2任R ,_巨a半l,则了n 109。月=2210日d冲井(关)证明:’:109。nlog。m=loga阴109“,: 109。,nlog·”一109“n场“一 阴109。”=221oga用. 指数的这一“换底公式”貌似平凡,但据此求解一类指、对数混合问题,却有着化繁为简,化难为易之功效.例1求值7152。· 一l一2解:原式~71 吵·(=7·7,92·()l“7·211︸9︸llzA通.7= 一一一一例2若a笋1,解关于二的方程a,gr·xl““一2(a,g,十士,g‘) 3=0.解:由公式(*),得(a 19,)“一4al“工 3=o:.a‘92一一或a,g!=3 刃1=l,xZ=1010‘3经检验:x,一1,x:一1010幼均为原方程的解.例3已知:a、l,.…     

应用余式定理解整除问题

命题f(x)为二的多项式.则 f(a)=O拱(x一a)}f(x). 例1.设,,任N.求证:14}3“十2+5冲十’. 证明考虑函数 f(二)一(二一5)2”?’丰5”一’.因f(0)~o,故f(x)可被(x一0)整除,特别14 If(14),即141f(14)~92’一’+52,十’一3‘“一2十52,十’. 例2.设,,任N.证明:(a十l)2什’+a’+2能被扩十a十1整除. 证明考虑f(x)一(a+1)(x+a)· +(x一a一1)矿.因厂(0)一。,故川f(x).特别地 (a’+a+l)!f(a’+a+1) =〔(a+l)2.+’十a‘+2〕.应用余式定理解整除问题@邵琼$青海省西宁市第一职中!810012~~…     

带余除法的妙用

例1.已知a“十a一1=O,求“”+Za“+的值. 解:应用长除法,得 as+2a2+3=(。+1)(aZ+a一1)+4=4. 仁,!2。n为自然数,求证3“’‘干“一s;一9是4的倍数. 证:、“l时,命题显然成立,应用长除: 32(凡+1)十2一8仁无+l)一9 =3 Zk+4一8孟一17 =9(32人千2一8无一9)+64(忌+1). 故只要厅“h时命题成立,则。=k十1时命题成立.20x一29 4x一5.解:由带余除法得,1、气“十乏玉二丁少=(不匕简: 32坑玉二16)一(5一价、)(5一互坛生‘).二百妥万而+蓬至万弓·3一一 一为 + 1ZX一3 1O解之得x二一二一 ‘巾.求函数了(·卜釜资备袱的极值.甫夕:f(x)二1- 7xZ+:十1二‘…     

无理数的几种初等证明方法

一、无理数与有理数的和或差为无理数. 证:设aoQ(无理数集),6‘O,则。二。 “Q,否则户自幼a二。一b。Q,矛盾.同理可证〔;一6或b一。。口. 二、无理数与非零有理数的积或商为无理数.(用类似一的思想证明、 三、设x,盯N,且粼牙辛N,则刀牙‘0.证:假设粼、一‘Q,粼、一尝(p,。。N,互质), 丫则劣=一爹,二。一誉,,.’拓‘互夙q也互质,但劣·q,一1‘N,盾.…刀牙‘O 四、p,q‘N,互质,.“.口二1,粼了二PoNP.,,矛”‘N,若刀乡与粼奋不同时为自然数,则万公‘。, 略证:反证法·若把一扒s‘N,互质)则Pa.,qt,,利用整除的性质证明p=t’.。~”,粼歹,…     

数学问题与解答——1991年第3期问题解答

246.设△AIBIC,的三边长分别是sinA、sinB、sinC,其中A、B、c是△ABc的三内角, ·~~.…,~一.,.~~1求证:△AIBI矶的外接圆半径是音.,、~;~一1一f王“动/‘一~’~~2. 证:首先,用正弦定理易证长度为sinA、sinB、sinC的三条线段可以构成一个三角形. 设R:、R分别表示△Al及q、△ABC的外接圆半径.由正弦定理得 aSinA bSinB2R图1图2一sinC一~.,_‘,n。*月。。、‘一R。。。。。四此。~‘的乙直‘习,心,·进I,u瓦二‘几’“p几‘12 247.已知a、乙、e〔R+,且a+b+e=1,求证: 刃7。+1+刃7b+1+刁7e+1)4. 证:由题设可知a((O,1),…a>砂,a>砂.…     

2002年普通高校全国统一招生数学模拟试卷

一、选择题(5分xlZ=60分) 1 .x任丽石丽的充要条件是() A .x〔M B.xeN C .x〔M且xe N D.x任M或x任N 2.在等比数列中,为+a,。=a(a尹o),a,9+鲡=b,则彻十aloo等于()一个点表示复数土,则该点是(A .21C.孔B.几D.乙B·(普)ge·岁n·(誊)1。 9.(理)设。二毗一(一誓),。=峨·tg(一冬),则() 22,,、二、 A .a

仔D.a+月二0驴一护 凡函数y=Zsin十含)在「二,2二〕上的最大值为A一2 B.1 C.招D.24.如果圆护+尹=b与直线x+y二b相切,则b的值为()粤B .1 c. ZD.拒乙 (文)函数‘(x)二s‘n(x+音)e,(奇一x)的最,J、正周期是() A.晋砰晋C…     

对数恒等式N=alogaN的妙用

<正>对数是高中阶段引入的一个新的概念,它在高中数学及自然科学中有着重要的作用．对数运算有很多性质及恒等式,它们在解题中有着广泛的应用．一般地,由对数的定义可得恒等式N=a^log_aN(a>0,a≠1,N>0),特别地,当a=e时,恒有N=e^{ln N}(N>0)．下面给出这个恒等式在解题中的妙用．     

一个递推公式的妙用

一、斑推公式的介绍 设x:,xZ,x。为实系数一元三次方程 x3+pxZ+qx+丫=o的三个根,且SK=x荟+x’i+x誉,则存在下列递推公式: S。+PS。一:十qs。一2+YS。一5=0(A)由(A)可得SK与方程系数间的关系表:S。一3S:=一p52~pZ一ZqS玉=一p于+3pq一3丫s。二p‘一4pZq+4p丫+Zq’S。一一p’牛sp”q一6p’丫一spq’小5丫qS。=p6一6p‘q+6p,r+gp,q盆一12pqr 一2q3+3r:·························,·······……等等(证明〕设f(x)=x,+pxZ+qx+丫 二(x一x:)(x一x:)(x一x3)对f(x)求导数,有 f‘(x)二3x’+Zpx一卜q令n=3,4,5,…     

sin~kα与cos~kα的降幂公式

本文推广定理1角降幂公式设k任N,k)2,〔尝〕‘;f导列有艺曰Cos口1Zk一1a(、k)eos(左十2一2,)。.()gOl午第六明27n勺﹄系数a(气、i两足a‘扩,=z,Jl.(a”)=“、从+a(梦.,、〔宁〕)一卉〔·:n’一‘二,,一弓,_磅l‘,)。。、(,卜:一21,‘了i一(2)+(夕忆,11n︸,‘(k一卜1)吃k) ~(n〕‘+切,1,cOS“·若k为偶数,“梦1二 (取)Zak二+a2咔记a‘丫+,)=a{’=1,口(飞川=。}少二一2若k为奇数,则a (玉)口k+1 2‘““‘晋,,飞+‘+a;n,知)证应用归纳法。e 05忍a(eosZa+1),定理结论成立. 对奇数,,有eos”’卜’a绝2c 05’a=专‘a‘;,cosZa+a(梦,cosa,其中…     

初二数学竞赛训练题

下列各式与分式于澳的值相等的是() “一口(A)—仅一a一b(B) 倪a斗一b(C) “b一“等于((D) db一“若 1 以(A)4长一b’Za- 一一哇N l1—:—bc:3:2~2:3:4,则a (B)6:4:33设a>0>b>c,。+b一+一‘一1j了 M、N、P之间的大小关系是( (A)M>N>尸 (C)P>几f>N(C)3: b+c(D)3尸:4:6a+b ‘则 ).(B)N>尸>M(D)M>尸>N4.设a一一(一2)’,b=一(一3)“,e=一(一42),则一[一(b一c)]等于()(A)15(B)7(C)一39(D)475.把(。一1)丫每共的根号外面的因式移到根号内,则原式等于().(A)、丁瓦乏(B)丫。一1(c)一丫二一1(D)一、五二舀 一‘一Zx一30.匕翔妥不万一 A…