一元二次方程及列方程解应用题的教学要求及练习

教学要求:(1)使学生理解一元二次方程的概念及一般形式ax~2+bx+c=0(a≠0)中各字母的意义,牢固掌握一元二次方程的三种解法及其根据,熟练、合理地解一元二次方程.(2)使学生理解一元二次方程根的判别式的概念;一元二次方程根与系数的关系;熟练地根据判别式和根与系数的关系讨论一元二次方程根的情况,求解与此有关的问题;能运用求根的方法分解二次三项式以及解决其他有关问题.(3)熟练地解可化为一元二次方程的特殊高次方程、分式方程和根式方程,掌握配方法、换无法、因式分解法和解这类方程的完整步骤,明确增根的道理,熟悉验根方法.(4)明确可解的二元二次方程组的几种简单类型,     

例谈“根的判别式”的用法

正在学习一元二次方程、二次函数以及二次不等式时,一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式△=b2-4ac,无时不在,无处不有.正确理解"△"的真实含义,熟练掌握其用法,不仅对解决相关问题有所帮助,而且对学生进一步弄清这几部分知识间的相互关系十分必要.一、应用求根公式时,不能忽视"△"例1解关于x的一元二次方程(m-1)x2+2mx+(m+3)=0这类问题最容易出错的是不讨论"△"的情况,就用公式法解.其正确的解法为:解:△=(2m)2-4(m-1)(m+3)     

一般与特殊、方法与技巧

解一元二次方程及判断一元二次方程是否有解,是一元二次方程一章的两个重点,除要掌握基本方法外,适当的掌握一些常见的技巧可以提高学习的效率。一、解法选择技巧解一元二次方程的基本方法有:直接开平方法、配方法、因式分解法、公式法,如何快速选择方法,有一定的技巧.对于一元二次方程一般式ax~2+bx+c=0(a≠0,a、b、c是常数),其中a≠0,但b、c可以为0,因此方程ax~2=0,ax~2+bx=0,ax~2+c=0,这些形式的方程因为缺项,也叫不完全的一元二次方程,是一元二次方程的特殊形式,因此解法也就会有不同的技巧.对于一元二次方程ax~2+bx+c=0中的常数项c=     

仔细观察特征,巧解一元二次方程

做任何事都有技巧,解一元二次方程也是如此。一元二次方程的解法有四种:直接开平方法,配方法,求根公式法,因式分解法。其中,求根公式法是通法,其余三种方法是特殊解法。在解一元二次方程时,我们应仔细观察方程的形式和系数特征,选择适当的方法,使解题过程简洁、明快。     

浅谈一道含参函数零点问题的几种求解方法

<正>题目若函数f(x)=x²+bx+1在区间[0,2]上有零点,求实数b的取值范围。解法一:方程求根公式法。f(x)=x2+bx+1在区间[0,2]上有零点,求实数b的取值范围。解法一:方程求根公式法。f(x)=x²+bx+1在区间[0,2]上有零点,等价于方程x2+bx+1在区间[0,2]上有零点,等价于方程x²+bx+1=0在[0,2]区间上有解,对于一元二次方程,最容易想到的方法,就是利用方程的求根公式的定义域及判别式的取值情况来求参数的取值范围,需分两种情况进行讨论:     

课堂教学的实效性及其目标探讨

1　一个真实的课案有机会听了一位青年老师的课 ,课题是用公式法解一元二次方程 .课题从一元二次方程的一般形式ax2 +bx +c =0 (a≠ 0 )入手 ,用配方法得到求根公式 ,老师讲解得很严谨 ,注意到了二次项系数不为零、判别式要大于或等于零 .讲完一般形式 ,老师讲了两个例题 ,概括出解一元二次方程的三个步骤 :( 1 )将原方程化为一般形式 ;( 2 )指出各项系数的值 ,计算b2 -4ac;( 3 )若b2 -4ac≥ 0 ,将各项系数的值代入求根公式x=-b±b2 -4ac2a 中 .紧接着 ,老师又分别分析了当判别式大于零和等于零时解的情况 ,强调判别式小于零时方程无解 .然…     

仔细观察特征 巧解一元二次方程

干任何事都有技巧,解一元二次方程也是如此,一元二次方程的解法有四种：直接开平方法,配方法,求根公式法,因式分解法．其中求根公式法是通法,其余三种方法是特殊解法．在解一元二次方程时,我们应仔细观察方程的形式和系数特征,选择适当的方法,使解题过程简洁、明快．     

刍议一元二次方程根与系数关系在解题中的运用

一元二次方程是初中数学里的重要内容,根与系数的关系又是一元二次方程的重点,这个知识点有着较为广泛的应用,习题内容丰富,题目的形式灵活多样,常与几何、二次函数等问题结合考查,是后续学习和考试的热点,也是方程理论的重要组成部分.一、基础知识1.公式的演变过程对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),当判别式Δ=b2-4ac≥0时,其求根公式为:x=-b±b2姨-4ac     

一元二次方程整数根问题的解法

一元二次方程整数根问题,大都含有参数,这类问题涉及的知识面广,其解法灵活多样,技巧性强,是近几年各地数学竞赛及中考的热门题型。本文归纳出这类问题的几种常用的解法,供参考。 一、利用求根公式 例1 已知a为整数,方程x~2+(2a+1)x+a~2=0有整数根x_1,x_2,x_1>x_2。试求     

“均值换元法”解一元二次方程

同学们已学习过一元二次方程的两种解法:公式法和因式分解法,这里再介绍一元二次方程的另一种解法——均值换元法.先看下面的例子例1 解方程3x~2+5(2x+1)=0. 解去括号,得3x~2+10x+5=0. 二次项系数化为1,得x~2+10/3x+5/3=0. 由根与系数的关系,可设原方程的两根分别为-5/3+k、-5/3-k(k≥0),     

一元二次方程解法的分析

<正>初中数学学习中,一元二次方程解法是重要内容,通过此部分内容的学习可以为后期解答难度较大的方程类型问题奠定基础．因此,同学们一定要重视一元二次方程解法的学习,掌握一般与特殊一元二次方程的解法,从中提炼解题思想,锤炼同学们数学思维．一、一般一元二次方程的解法(一)公式法利用公式法可以解答所有的一元二次方程,可先将一元二次方程转化为一般式,即ax²+bx+c=0,然后根据判别式Δ=b²-4ac与0的关系确定一元二次方程的根的情况．如果Δ>0,则方程有两个不相等的实数根;如果Δ=0,则方程有两个相等的实数根;如果Δ<0,则方程无实数根．     

一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)

<正> 教学目的:使学员初步掌握一元二次方程根与系数的关系解决实际问题.教学重点:韦达定理.教学难点:韦达定理的应用.教学时数:一课时(45分钟)教学过程:一、复习旧课,导入新课前面学过了用公式法解一元二次方程.找一名学员写出一元二次方程的一般式ax~2+bx+c=0的求根公式:     

含参数的一元二次不等式的解题策略

<正>含参数的一元二次不等式,在近几年高考中,频频出现在压轴题中。由于需要分类讨论,所以容易产生错误。下面分析三类典型的含参数的一元二次不等式的解法,供同学们学习与参考。一、三类典型的含参数的一元二次不等式1.相关方程两根的比较例1解关于x的不等式x²-(a+1)x+a≤0。分析:相关方程能分解求根的,则直接分解求根,并按两根相等切入分类。解:方程x2-(a+1)x+a≤0。分析:相关方程能分解求根的,则直接分解求根,并按两根相等切入分类。解:方程x²-(a+1)x+a=0的两根为     

韦达定理新证

如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个实数根x1和x2,那么x1+x2=-a/b,x1x2=c/a,这就是著名的韦达定理.韦达定理的常规证法是利用一元二次方程ax2+bx+c=0的求根公式先求出它的两个根,然后分别计算这两根之和与两根之积.本文不借助于一元二次方程的求根公式给出韦达定理的几个新颖别致的证法,供大家参考.     

一元二次方程学习要点

一元二次方程是贯穿于初、高中数学的重要知识点,也是中考命题的“热点”,故本文以一些典型题目为例,介绍一元二次方程学习中的要点.一、掌握一元二次方程的三种解法要牢固掌握一元二次方程的配方法、因式分解法和公式法三种解法.例1用换元法解方程2x2-2x2+3x-1姨=3-3x.分析:这是一个无理方程.初中阶段不学习,但用初中知识也可解.解法1(配方法)设y=2x2+3x-1姨,显然y≥0.原方程即为y2-y-2=0.∴(y-12)2=94.解得y1=2,y2=-1(舍去)∴2x2+3x-1=4,解得x1=1,x2=-52.解法2(因式分解法)同解法1,得y2-y-2=0,即(y-2)(y+1)=0.∴y1=2,y2=-1(舍去).下同解法…     

求作一类二次方程的简便方法

利用一元二次方程的求根公式,可以证明:方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0两根的a倍(a≠0)。运用这个结论,可以很快解决求作一个一元二次方程且使它的根分别是已知方程的各根的几倍问题。例1求作一个一元二次方程,使它的两根分别是方程3x~2-16x+5=0的两根的3倍。解:因为方程x~2+bx+ac=0的两根分别是方程ax~2+bx+c=0的两根的a倍,所以,所求作的一元二次方程是x~2-16x+3×5=0,即x~2-16x+15=0.如果已知方程的二次项系数刚好等于所求方程的的根是已知方程各根的倍数,那么,就用已知方程二次项系数移乘常数项,二次项系数改为1,一次项不     

一元二次方程求根公式的一点注记

在解一元二次方程a尹+bx+。‘o(a钾0)时,应用求根公式一b士M了一二飞而 2口可以直接得到方程的解. 一般说来,方程 八x)·二2+夕(另)·劣+尹(苏)二0以及 f(劣,,)·护+g(x,夕)戈+甲(劣,y)=0’等都已不是一元二次方程,所以不能随意应用一元二次方程的求根公式去讨论它们的解答,本刊82年3期《关于一道数学题的解答》一文中已指出这一点,那么在讨论上述方程时,还能否应用一元二次方程的求根公式将方程作相应的变形呢?本文就此作一些粗浅的讨论,不当之处,请批评指正。 1.如果有数召使f(a)二O,那么当g(a),a+沪(a)=O时,显然a就是方程厂(劝·护十口…     

大系数二次方程的近似解法

一般一元二次方程可用十字交叉法或求根公式来解。当二次方程中一次项的系数甚大时,用求根公式来解,运算较繁难。本文介绍这类方程中当b~2>|4ac|时的一种近似解法,当b~2>10|4ac|时,用本法所求得根的近似程度比较高。     

解一元二次方程的配方法教学之我见

解一元二次方程的配方法是解一元二次方程不可缺少的方法,是推导一元二次方程求根公式的必备工具．为了使学生容易理解配方法的缘由,掌握配方的方法,我设计了如下学习方案．在学习配方法之前,学生已经学习了直接开方法,形如x2=a、（x＋6）2=a（a〉0）类型的一元二次方程,学生都已经会解,因此上课开始先简单地复习直接开方法,并做此类型的解一元二次方程的练习．     

要灵活运用方程的知识解题

一元二次方程是初中代数中重要的基础知识,它的运用通常表现在如下三个方面:1.善于用求根公式解一般的二次方程;2.善于用根的判别式判别方程的根的情况;3.善于用韦达定理由给出的根作出需要的二次方程来.