整点三角形的最小面积

定理在整点△A方C中.若已知顶点月行,,yl),方行2·yZ).则其面积最小位为告(/夕一:·,?一,,)·这里·(了2一:·,·:一yl)表示二2一r:.yZ一y:的最小正公约数.(乙·y,,一r:·、:皆为整数).(下转封三)(上接第19页) 证明设第三顶点为C(x,刃,(x,y为整数), xZ一xl~a(xZ一x,,yZ一yl), 为一yl一b(xZ一x,,yZ一yl),则 (a,b)=1.又直线AB的方程为 (夕2一夕:)(x一xl)一(xZ一x,)(夕一夕.) ~0.一(1)AB边上的高为 h‘一资}(夕:一夕1)(x一xl)(x2一x,)落y一y,) 1一二丁又X,一Xl, 乙少2一夕,){a(x(y:一少1)(x一x,)一(xZ一xl)(y一y,)(xZ一x:)2+(夕2一夕;)…     

圆锥曲线方程相减的特殊结果应用

为了说明题目的含义,首先看例: 例已知直线l:y~1一x与椭圆a扩十勿2一1相交于A、B两点,若过原点与线段AB二‘一‘一一‘。、、、,_了丁阴甲息俐且城科华刀-下- 乙,求粤的值, U 照常规,此题一般是用韦达定理求解。但见下面的解法: 解:设A(x,,夕1),B行2刁2)则有同理:!C尸一晋厅yZ一2厅}B“一鲁厅x6一2厅一3厅·由题意:!AF}十{CF}~2!BFI冷:yl十yZ一12.①②a对 石少圣=1ax鑫 妙呈~l馨②一①得’ {丝一兰证明:(2)由题意{‘营‘忿 {匹一亚 t 12 13 a(x:一x,)(xl xZ) b(夕:一夕1)(夕; 少2)=0,②一①。(少:一少:)(y, 夕2) 12(x:一xl)(x; xZ) …     

对一类题目的讨论

先看几个命题及其证明:题1设二次函数y二axZ bx 。,且I了:二。,1,:.鉴1.证明:max{yl毛4,x任〔O,Zj.这是文〔l]中的一道征解题,原证如下:证:令t=二一1,则,=a:2 6x 。= a(t l)2 b(t l) 。=a 1 tZ 61t 。1二f(t),且If(t)‘二一,,。,lj(1.由于fa一bl e,=厂(一1),、亡t=t、U) L al Dl cl二j Ll)·:.当}xl蕊1时,有If(x)!鉴xZ ‘,(1)1·)守f(一1小(,一二2)f(。){、}夸]·{宁J·__2}土匹丝兰士D.丝丝址述夕.、1 1一荡}=一2十2宁、l一①②③所以al _巡上巨止交二卫2 f(0) _丈丝匕里匕卫XZ,=‘xl ‘一2=一(,劣,一告)2十音…     

数学问答

乳已知g(二)一一了一3，f(x)是二次函数，当二任[一1，2]时，f(x)的最小值为1，且g(二) f(二)是奇函数，求f(x)的表达式. (天津吕清泉)解答:设f(l’)一a了 b二 c，则g(x) f(二)一(a一1)了 b二 c一3.拳俩咭g(二) f(x)是奇函数，(a一1)(一x)“一bx 一3一一(一1)了一b一c 3. b一O，a=l，b任R. c一3. z|丈、|l或了|J气|| . . .若a一1，b一。，。一3，则f(x)一了 3)3，与f(x)在[一1，2]上有最小值1相矛盾.若a一1，。一3，则f(x)一了 bx 3一/.b\2.八bZ lj卜二二夕一leej一气一\乙，任一b一~。。一，一。_L三当一1芝之之一兀丁乓之乙尽p一任气二…     

一个条件恒等式的应用

若a+b+c二0,则减 a3+占3+。3=3a阮(,) (‘)式的证明很简单.下面举例说明(二)式的神奇作用,或许对你有所启发. 了一、分解因式 例1分解因式:(xZ一3x+2)3+(尸-sx+6)3一8(xZ一4x+4)3. 解因(xZ一3x+2)+(xZ一sx+6)一2(xZ一4x+4)=0. 直接运用(二)式得: 原式=一6(xz一3x+2)(xz一sx+6)(xz一4x十4) =一6(x一1)(x一2)(x一2)(x一3)(x一2)2 =一6(x一1)(工一3)(x一2)4. 二、求值 例2已知3(a一6)+乃(6一。)+。一。=0(a笋b),求(a一占)2的值.解由已知得3(a一占)+招(占一。)+(。一a)=0,①(a一b)十(b一。)+《c一a)声0.②刀之n二二二6琳十儿二5mn 或2,3;一一…     

巧构方程解中考求值题

例1若。x荃+bxl一“x圣+bx:,且。并O,xl护x:,则二(二;十xZ)2十b(xl+xZ)的值为().(1998年江苏盐城市中考题) (A)2(B)1(C)O(D)一1 解设。对+bxl一。娜+bxZ一k,即 。x子十b忿,一k一O,二x巷+b,2一k一O. 丫二并0,xl并x:,。.。xl、xZ是一元二二次方程二xZ+bx一k一O的两个不等实根.一1+XZ一会· _.、bZ_}b_ J与只至反一以{一一一汁纠一—」一U 七‘才/t‘之例2若二、b为互不相等的实数,且故选C.“2一3以十1一O,bZ一3b+1 ~,1 .1,,一、,一U’贝ul弃)弃十i干奢弃阴但刀又).(1998年山东省中考题)(A)省(B,“C,2‘D)4解由方程根的定义,知。、b…     

数学竞赛中的“三个二次”问题

(本讲适合高中 )一元二次方程、一元二次不等式与二次函数简称“三个二次” ,它们互相联系、互相渗透组成了一个特殊的“知识板块” ,这个“知识板块”的内容异常丰富 ,技能、技巧变化多端 .因此它成了高考命题的难点 ,也是近年数学竞赛命题的热点 .1　基础知识1.1　二次函数的单调性 ,闭区间上的最值与图象对称轴位置的关系 .1.2　二次函数的几种特殊表示形式1.2 .1　顶点式 :f(x) =a(x -k) 2 +h .1.2 .2　零点式 :f(x) =a(x -x1) (x -x2 ) .1.2 .3　三点式 :f (x ) =(x -x2 ) (x -x3 )(x1-x2 ) (x1-x3 ) f (x1) +(x -x1) (x -x3 )(x2 -x3 …     

含虚系数的一元二次方程的一种解法

某些含虚系数的一元二次方程,用十字相乘法分解因式求解,较其他方法为简. 例:解方程①妒一3二十3一i=。 ⑧一工2 (一2 5葱)劣 3 5泣=o 解:①‘.’3一i二(一1 i)(一2一i),而(一1 i) (一2一f)=一3- 方程可化为 [二 (一l i)1[x (一2一‘)〕二o, xl=1一i,xZ=2 1. ②一3一51=4墓2一5若 1=(4:一1)(i一1) 二(1一云)(1一41),而(1一该) (下一41)二2一5亡,…方程可化为(x l一0(x 1一4‘)二0,xl=一! f,xZ=一1 4葱.含虚系数的一元二次方程的一种解法@杨金侠$黑龙江柴河林业局五中 ~~…     

谈二次函数与三次函数的零点式应用

<正>对于二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)若有根x1,x2,则可写成零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).同理对一个三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)若有根x1,x2,x3,则可写成零点式f(x)=a(x-x1)(x-x2)(x-x3)(a≠0),其应用广泛,下面简单讨论其应用.1巧证不等式     

1989年日本全国大学入学第一次统考数学试题

时间:1989年1月22日10:00一11:40 数学I 1.(满分40分) a,口是方程扩一sx 5二0的两个根,且整式f(x》满足下列条件(A),(B)。 (A)j(x)除以x一a余刀,除以x一刀余a. (B)f(x)除以x一2余一3. f(x)除以(xZ一sx 5)(x一2)余axZ 乙x “,求解余式如下. 因为a 口=〔一〕,a, 口2=〔二,三〕,“     

如何求两根非对称式的值

设一元二次方程a扩+bx+‘一。(。护O)的两个实数根是xl、二:,利用根与系数的关系,我们可以求关于两根对称式(如x,2+x22,x,3+x23,生+生等)的值.(所谓关于xl、xZ的对称式,是 Xl XZ在代数式中将助换成x:、x,换成x,,代数式不变,这样的代数式称为关于xl、x:的对称式)如果关于两根的代数式不是关于x;、x242一第二课堂一的对称式,如xl3一x23,x,4一7x2,x、这里介绍几种常用的方法. 一、转化为关于两根的对称式 1~-卜~,二节全, J2如何求它们的值呢?如xl一x:不是关于x:、x:的对称式,但 x、一xZ一士了(x,一x:),,而了(xl一x:)’是关于x,、xZ的对称式…     

一道竞赛题的多角度探索(高一、高二、高三)

>0.所以f(二,)一f(x2)相似文献   

例谈f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)的应用

<正>二次函数的一般表达式为f(x)=ax2+bx+c(a≠0),配方后可以表示为f(x)=a(x-h)2+k,如果它的图象与x轴有两个不同的交点x1,x2,还可表示为f(x)=a(x-x1)(x-x2).这样二次函数就有了三种不同的表达形式,在不同的问题中选择合适的表达形式对于快速准确地解决问题有着至关重要的作用.本文就f(x)=a(x-x1)(x-x2)的应用作一下探讨.     

抽象函数并不抽象(高一、高二、高三)

任取x>o,y>。且x祥y,则z才‘t、z了.‘、 1.讨论f(习的单调性 例1已知函数y一f(x)对于任意实数x,y都有f(xy)一f(x)·f(贝,且当x>1时,f(x)<1,又f(x)并0.试判断f(二)在(0, oo)上的单调性.九(x) 2几(y)一3几解设。1, X1f(x2).f(与<1. X1·f(1)及f(x)护0,f(1)一1,f(二)=f(1)二1,=(x 1)2 2(夕 1)2一3 2,一下丁戈x一y少‘夕U, O学)三沪川即九(X, 2九(:)>3、祥沪) 一一)、、声夕11,塑x1f(件历式=f又f(l)可推出且所以,,1、J又—)一 1f(二)即有f(xZ)f(二z)<1.而对于任意f(x)都有 f(x)一‘厂(石·丫万) 一f(石)·f(不石)一尹叮于),因为…     

W·Janous不等式新证

兰二2兰千兰二三兰X月一y y.十Z斗"设x、y、z任R千,求证:宜二z十妻0. 此不等式即为W·Ianou:的猜测不等式,许多数学刊物上曾介绍了这一猜测的多种证法,这里笔者再给出一种非常简明的证法. 证明:设少一扩一a,尸一少一b,则尹一扩~一(a b). 一X 倪一上. 一Z 一一 Z一Z津一y X一,‘ bx y22一夕2x y一。·(一共一卫一 艺州片工y门一z) b· llx yy z,,上共二,, b叹z十x八y十z)aZ b·(a b)Z—X(x y)(y z)(x y)(少 二)(z十x) 1,、,.3,,气a一卜-只户口)一~十一厂O“ 乙住(二 y)(〕, z)(z x)x,夕,二任R ,.’.(x 夕)(J, 二)(二 了)>0,于是yZ护…     

用研究性学习模式探究定义

定义:一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x,,x:,当x,f(x:)),那么就说f(x)在这个区间上是增函数(或减函数). 一、定义剖析 设区间A二I,把定义分解为三块: 1 .x,f(x:)); 3.f(x)在区间A上是增函数(或减函数)‘ 二、结论挖掘 )冷2;}冷1;3】3} 八O 冷..工O︸︼ 由三、结论应用(一)二补3 【例1]判断f(x)一石在区间(0,十二)上的单调性. 解:设o相似文献   

挖掘二次函数的一个重要性质

这里挖掘二次函数的一个重要性质以及在解题过程中的具体应用.性质如果二次函数f(x)=ax2 bx c(a≠0)有两个不相等的实数根x1、x2且x10.b2-4ac>0.证明:①由二次函数有两个不相等的实数根x1、x2.故原二次函数可写为f(x)=a(x-x1)(x-x2)且b2-4ac>0.由x10,x-x2<0,故a f(x)=a2(x-x1)(x-x2)<0,其逆也真.②由x0,x-x2>0,故a f(x)=a2(x-x1)(x-x2)>0且b2-4ac>0.其逆也真.(得证)图1图2我们从二次函数的图象也可以直观地看出:当a>0时(如…     

巧构数列 妙解赛题(高二、高三)

1.构造等差中项 例1若(x 了xZ 1)(夕十侧夕2 1)=l,求证x y一0.(第31届西班牙数学奥赛) 证明令x y二Za,视a为x,y的等差中项,则可设x一a一d,y一a d.因为(x 丫护 l)(y 丫少 l)一1,最大值为2涯,最小值为2. 3.构造等比数列【}q}<1)的各项和 例3已知x,y都在区间(一2,2)内,且xy _.49.,,二L。-一l,则u“一十二--下的最小值是() 4一x乙’9一y乙’,一’一一‘12一5 D12一7 C7一n Bco一5 A所以x构辱再万~ ly十丫yZ十1~了少 1一y,(03年全国联赛)x2即x十y一了少 1一了xZ 1.解由x,y任(一2,2),得琴,答任(0,1) 任沙两端平方整理得1一xy一了(x“十1)(少 1…     

例谈对称性在积分解题中的妙用

1轮换对称性的应用定义1设对任意的点P:(:1，xZ，…，x。_:，x。)任日CRn，pZ(xZ，x3，…，x。，xl)任口CR“，…，尸。(:。，xl，…，x。一1)任口C R“成立，则称区域日关于变量:l，xZ，…，x。具有轮换对称性.定义2设函数F(x。，xl，…，x。_;)= F(xZ，x3，…，x。，xl)=…二     

二次函数零点式的应用

对于二次函数f(x)=αx^2 bx c(α≠0)，若方程f(x)=0有两个根x1、x2，则有零点式f(x)=α(x-x1)(x-x2)．运用二次函数零点式，可使一些问题得到简解．下面略举几例．