《高等数学》(一元函数微积分)学习辅导(2)

例2. 求下列极限:(1)(?)e~x~2+x~2-1/x~4 (2)(?)x+sinx/x-cosx解:(1)易判定这是“0/0”型未定式极限,若用初等方法求解是比较困难的.用洛必达法则,有原式=(?)(e~n~2+x~2-1)~(?)/x~4=(?)2xe~x~2-2x~(0/0)/4x~3     

浅谈灵活运用“主元法”解题

在解题过程中,有时往往需要把某一个“元”看作为主,并给以特殊的地位,不妨称这个元为“主元”。主元法是一种重要的数学思想方法,某些问题,若能有效地转化,恰当运用“主元法”,将化难为易,现举数例。例1 对x∈R,证明不等式 x~6-x~3 x~3-x 1>0。证明:考虑到设y=x~3,则以y为“主元”的二次三项式M=y~2-y x~2-x 1,显然y∈R.又a=1>0,Δ=(-1)~2-4(x~2-x 1)=-(2x-1)~2-2<0,∴M>0,即x~6-x~3 x~2-x 1>0。例2 试确定万程3x~2 6xy 5y~2 6x     

构造“零值代换”求代数式的值

构造“零值”代数式,解一类条件代数式求值问题,整体意识强,简捷明快、现举例说明.例1 已知x=2-5~(1/5),那么x~4-8x~3+16x~2-x+1的值是(?).(第六届“希望杯”初二数学竞赛题)解∵x=2-5~(1/5),∴2-x=5~(1/5).两边平方,整理得x~2-4x-1=0.∴x~4-8x~3+16x~2-x+1=x~2(x~2-4x-1)-4x(x~2-4x-1)+(x~2-4x-1)-x+2=-x+2=5~(1/5)     

它山之石可攻玉——补集法解题浅析

1.问题的提出 例1 如果下列三个方程x~2 4ar-4a 3=0,x~2 (a-1)x a~2=0,x~2 2ax-2a=0中至少有一个方程有实根,求实数a的取值范围。 分析:正面理解题目中的关键词“至少”,可得如下三类: (1)只有一个方程有实根,有三种情形; (2)只有二个方程有实根,有三种情形; (3)二个方程都有实数根,有一种情形。 从反面,即从否定的角度理解“至少”,只有一种情形:三个方程均无实根。 从正反两方面的“并”的角度审视下,a的范围是     

用解析法求函数的最值例解

“数”和“形”在一定的条件下可以相互转化,相互渗透的。对于一些求函数的最值问题,如果把它化为几何问题,这样既避免繁杂冗长的推导与计算,解法更简捷,而且形象,直观,容易理解和掌握。从而达到化难为易的目的。例1 求函数y=(x~2 4)~(1/(x~2 4)) (x~2-8x 7)~(1/(x~2-8x 7))的最小值。分析:由y=((x-0)~2 (0-2)~2)~(1/((x-0)~2 (0-2)~2) ((x-4)~2 (0 1)~2)~(1/((x-4)~2 (0 1)~2))问题转化为:y的值是平面直角坐标系中的x轴上一点到两定点A(0,2),B(4,-1)的距离和。     

构造完全平方式求值

例1 x为实数,求x~4+4x+4的最小值.解原式=(x~4-2x~2+1)+(2x~2+4x+2)+1 =(x~2-1)~2+2(x+1)~2+1.因为(x~2-1)~2≥0,(x+1)~2≥0,     

巧用字母换常数解题

有一些数学题,如果我们用字母替换常数进行计算,常能得到巧解.一、求值例1若x~2-x-2=0,则x~6-2x~4-2x~3-3x~2-2x+2009的值等于     

浅谈辅助方程法

用适当方法构造与原问题有关的方程,利用方程的知识使原题获解,此为“辅助方程法”。一、解方程(组) 例1 解关于x的方程 x~4 6x~3-2(a-3)x~2 2(3a 4)x 2a a~2=0 解:化为a的方程: a~2-2(x~2-3x-1)a (x~4-6x~3 6x~2 8x)=0解得a=x~2-4x,a=x~2-2x-2。故得原方程的解x_(1,2)=2±4~(1/2) a,x_(3,4)=1±(3 a)~(1/2)(注;a<-3时,有虚根)     

由一道教参弃选题谈数学解题反思

学习人教版2013年八年级数学上册《教师教学用书》,发现第十五章分式的“拓展性问题”中,弃选了连用多年的一道题目,现将原题及解答过程摘录如下:已知x/(x~2-x+1)=7,求(x~2)/(x~4+x~2+1)的值.解法1答案与提示:由x/(x~2-x+1)=7知,x≠0.     

函数中“至少”型问题解题策略

对函数中“至少”问题的解题策略,本文介绍8种,供参考.一、利用函数思想例1当方程x~2 ax 2=0至少有一个实根小于-1时,求实数a的取值范围.     

巧解一道讨论题

在学习“一元二次方程”中,老师出了这样一道讨论题:已知关于x的一元二次方程:①x~2-2mx+m~2-m=0;②x~2-(4m+1)x+4m~2+m=0;③(m~2+1)x~2-(2m+1)x+1=0中至少有一个方程有实数根。试求m的取值范围。     

浅谈复合函数的单调性

今年高考理工科数学试题,有这样一道题:“函数log_(0.5)(x~2 4x 4)在什么区间上是增函数?”有些考生根据“当对数的底在0与1之间时,对数函数是减函数”的性质,得出“函数log_(0.5)(x~2 4x 2)没有增函数区间”的结论.这个结论是错误的.我们可以从函数的单调性来研究这个函数的性质.     

一类高次方程根的性质的证明

1.在方程x~3+lx~2+mx+n=0中,系数l、m、n都是自然数旦分别能被自然数p、p~2p~3整除,方程的根为α、β、γ,则对于任何自然数k,α~k+β~k+γ~k为整数,且能被p~k整除。 2.在方程x~4+lx~3+mx~2+rx+q=0中,系数l、m、r、q都是自然数且分别能被自然数p、p~2、p~3、p~4整除,方程的根为α、β、γ、δ,则对于任何自然数k,α~k+β~k+γ~k+δ~k为整数且能被p~k整除。一般的有: 3.在方程x~n+α_1x~(n-1)+α_2x~(n-2)+…+a_(n-2)x~2+a_(n-1)x+α_n0中,系数α_1、α_2、…、α_都是自数然且分别能被自然数p、p~2、…、p~n整除。方程的根为x_1、x_2、…、x_n,则对于任何自然数k,x_1~k+x_2~k+…+x_a~k为整数且能被p~k整除。     

例析应用待定系数法解数学题

例1分解因式:x~5+x+1.分析∵x~5=x~4·x或x~5=x~3·x~2,如果能分解成一次因式,那么一次因式应是(x-1)或(x+1).而f(1)=3≠0.f(-1)=-1≠0,因此,原式不可能分解成一次因式和四次因式的乘积,只能分解成二次因式和三次因式的乘积.     

从一道题谈函数概念

学生曾问一道题:已知A={x|x~2十4x十p<0},B={x|x~2-x-2>0}A(?)B,求实数p的取值范围.解法为:①A≠(?),p≥4;②A≠(?),3≤p<4,∴P≥3.     

解分式方程一例

解方程 x~2 1/x~2=a~2 1/a~2,经去分母整理可得a~2x~4-(a~4 1)x~2 a~2=0,亦有(a~2x~2-1)(x~2-a~2)=0,所以 x_(1,2)=±1/a,x_(3,4)=±a.a 为非零实数。x_(1,2)与 x_(3,4)均为原方程的解。     

关于一个三元对称不等式的几点思考

文献[1]提供了一道奥赛题,这是一个三元对称不等式:题目设正实数 a,b,c 满足 a b c=1.证明:10(a~3 b~3 c~3)-9(a~5 b~5 c~5)≥1.(1)1 不等式的另证引理已知函数 f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4,则当1≥x y≥x≥y≥0时,f(x)≥f(y)≥0.(2)证明当1≥x y≥x≥y≥0时,首先f(y)=y 3y~2-y~3-3y~4=y(1 3y)(1-y~2)≥0;其次f(x)-f(y)=(x-y) 3(x~2-y~2)-(x~3-y~3)-3(x~4-y~4)=(x-y){1-(x~2 xy y~2) 3(x y)[1-(x~2 y~2)]}.因为 x-y≥0,又1-(x~2 xy y~2)≥(x y)~2-(x~2 xy y~2)=xy≥0,1-(x~2 y~2)≥(x y)~2-(x~2-y~2)=2xy≥0,所以 f(x)-f(y)≥0,即 f(x)≥f(y)≥0.不等式《1)的证明为方便起见,记f(x)=x 3x~2-x~3-3x~4     

“赋值法”在解题中的应用

所谓“赋值法”,是指对式中某些变量任意赋以恰当的数值或代数式后,用以解题的一种方法。这种方法在教材中已经出现。例如C_n~0+C_n~1+C_n~2+…C_n~n=2~n的性质,就是从(a+b)~n的展开式中令a=1 b=1得来。本文准备再补充几个例子,作一些粗浅的探讨。 (一) 用于因式分解例1.分解因式x~4+x~3+x~2+2 解:设x~4+x~3+x~2+2≡(x~2+Ax+1)(x~2+Bx+2) 令x=i,整理得2-i=-AB+Ai     

巧用韦达定理的逆定理

有些数学题不是从方程求解形式提出,但若能设法对某些条件变换成两数和与两数积,然后用韦达定理的逆定理来布列方程求解,使问题得到解决。 [例1] 若x=2-3~(1/2),求x~1-5x~3 6x~2-5x的值。显然,这题直接代入计算是很繁的,若根据一元二次方程根的性质,由x=2-3~(1/2)可知x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2),一定是某一元二次方程的两根,巧用根和系数关系定使解题简捷。解由根与系数关系可知,x_1=2-3~(1/2),x_2=2 3~(1/2)是方程x~2-4x 1=0的两根, ∴ x~4-5x~3 6x~2-5x=(x~2-4x 1)(x~2-x 1)-1=0。 (x~2-x 1)-1=-1。例2 已知实数a、b、c满足:a=6-b,c~2     

注重数学语言的训练

我们在调查中发现,学生解答问题“|x|=-x,x是什么数”的正确率是50%,解答问题“一个数的绝对值是它的相反数,这个数是什么数”的正确率几乎接近0;求7x~2-5x+3与3x~2-x-1的差的错误率是39%,而语言理解错误占其中的90%。这些事实充分说明数学语言对运算