我这样引导学生判断“3+2x=1”是不是方程

解答六年制数学第十册“简易方程”复习第3题:“下面的式子,哪个是方程?哪个不是方程?为什么?3+2x=1,14.8-x=7.2,7+9×3=34,0.5x+7,8+x<20,1.8x-2.6=6.4。”刚讨论第1小题“3+2x=1”,学生意见就不一致。有的同学认为:“3+2x=1”符合方程的定义,它是方程;有的同学认为:“3+2x=1”,x不论取整数     

x=3是方程

含有未知数的等式叫做方程。x=3是含有未数(x)的等式,所以x=3是方程。x=3是等式,关于这一点老师们都没异议。=3,这个等式中含有未知数,许多老师表示不理。他们认为,既然x=3,那么x就不是未知数。这种认识是错误的。因为只有在x=3这个方中x才等于3,在x=5中x就等于5了,所以说是未知数而不是已知数。其实,对于任何一个关x的方程,只要方程有解,x都是确定的值(在个方程里)。如对于方程x2-2x+1=0,你能说为在这个等式中x=1,所以它不是方程吗?综上所述,x=3是方程。x=3是方程     

构造组合模型求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N*)的正整数解的个数及应用

许多书上求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N鄢)的正整数解都是利用等异元素允许重复的组和数来求的。下面本人用相异元素不允许重复的组和数来求方程x1+x2+Λ+xn=m(m∈N鄢)的正整数解。作为特例,先求方程x1+x2+……+x5=7正整数解。构造模型:设有7个小球排成一排,这7个小球之间有6个空,在这6个空中任选4个画上线,则7个小球将分成5部分,比如:摇00｜00｜0｜0｜0这5部分刚好是方程x1+x2+……+x5=7一个正整数解。其中x1=2,x2=2,x3=1,x4=1,x5=1。比如:摇0｜00｜0｜00｜0这5部分也刚好是方程x1+x2+……+x5=7一个正整数解。其中x1=1,x2=2,x3=1,x4=2,x5=1。…     

关于丢番图方程15+25+35+……+x8=py2

证明了丢番图方程15+25+35+……+x5=py在p=12k+1且P能使u2-6v2=3和s2-6pt2=1有正整数解时,丢番图方程15+25+35+……+x5=py2必有无穷多组正整数解(xnyun)=(xxyxn(xn+1)vn/2.     

关于丢番图方程x3+y3=2z2与x3+y3=2z4

获得了丢番图方程x3+y3=2z2的通解公式,证明了方程x3+y3=2z4仅有适合(x,y)=1的整数解x=y=z=1对广义Fermat猜想的研究具有重要作用.     

关于Diophantine方程x3+1=3py2

设 p是奇素数,证明了:当 p=12r2+ 1,其中 r是正整数,则方程 x3+ 1=3py2无正整数解 (x,y).     

方程w~3+x~3+y~3+z~3=w+x+y+z=4的整数解

<正>文[1]给出3元3次方程x3+y3+z3=x+y+z=3①仅有4组整数解(x,y,z)=(1,1,1),(-5,4,4),(4,-5,4),(4,4,-5)的证明.本文将方程1进一步推广为4元3次方程w3+x3+y3+z3=w+x+y+z=4②的形式,并得到它的全部整数解,当w=1时方程2退化为方程1.首先,引入著名的马尔可夫方程     

有趣的直线x_0x+y_0y=r~2

在高二解析几何教材的圆锥曲线一章中有这样的一个结论 :若P(x0 ,y0 )是圆 :x2 + y2 =r2 上的一点 ,那么过该点的圆的切线方程是x0 x + y0 y =r2 .(证明见教材 ) .问题 :若点P(x0 ,y0 )在圆x2 + y2 =r2 外(或圆内 )时 ,直线l:x0 x + y0 y =r2 是什么样的直线 ?与圆x2 + y2 =r2 有什么关系 ?不妨设点P(x0 ,y0 )不在坐标轴上 .直线l:x0 x + y0 y =r2 的斜率是kl =-x0y0(y0 ≠ 0 ) ,而kOP =y0x0(x0 ≠ 0 ) .∵klkOP =-1,∴直线l⊥OP .圆心O(0 ,0 )到直线x0 x + y0 y=r2 的距离为d =r2x20 + y20=r2｜OP｜.①由①可见 ,直线l与圆的关系由｜…     

发现x~3+y~3≠(x+y)~3后

今天在做作业时,我遇到一道题: 先化简x3-x2y+xy2+yx2-y2x+y3,再求值,其中x=11/2,y=-11/3 乍一看,这题不难,于是我作出了如下解答．解:∵原式=x3-(x2y-yx2)+(xy2-y2x)+y3 =x3-0+0+y3 =x3+y3 =(x+y)3 当x=11/2,y=-11/3时,有 (?)．可是我一验算,发现做错了,究竟是哪儿错了呢?难道x3+y3≠(x+y)3? 于是我从(x+y)3开始研究,发现 (x+y)3 =(x+y)(x+y)(x+y) =(x2+xy+yx+y2)(x+y)     

函数f(x)=x+k/x(k>0)的性质及其变形和应用

本文就函数f(x)=x+k/x(k>0)的图像,性质及其变形和应用进行归纳总结并展开讨论.结论1函数f(x)=x+k/x(k>0)的图象及性质:(1)图象如右图所示:(2)性质:①是奇函数;②在区间(k,+∞)和(?∞,?k)上单调递增,在区间(?k,0),和(0,k)上单调递减;③在x>0时,有最小值2k,在x<0时,有最大值?2k;④存在两条渐近线为直线y=x和x=0.应用1试讨论y=b/a+a/b(ab≠0)的取值情况.解当ab>0时,y≥2;当ab<0时,y≤?2,评述构造函数y=x+1/x,充分利用性质③进行解题.应用2求函数y=x+4/(x?3)(x>3)的最小值.解y=x?3+4/(x?3)+3≥7,当且仅当x=5时等号成立.所以y的最小值为7.评述令…     

从一道题谈起

最近,我听了一位教师课题为《曲线方程的求法》的一节课.其中一道例题:求圆心在(2,1),且与x2+y2?3x=0的公共弦所在直线过点(5,?2)的圆的方程.解由已知可设圆的方程为x2+y2?4x?2y+F=0.(1)又x2+y2?3x=0,(2)(1)?(2)得?x?2y+F=0.而直线?x?2y+F=0过点(5,?2),把(5,?2)代入?x?2y+F=0,得F=1.因此所求圆的方程为:x2+y2?4x?2y+1=0.评课会上,有人提出:(1)?(2)所得?x?2y+F=0一定是相交弦吗?若不是,它又是什么呢?本文就此展开讨论.不失一般性,设两个不同的圆22O1:x+y+D1x+E1y+F1=022(D1+E1?4F1>0).(3)22O2:x+y+D2x+E2y+F2=022(D2+E2?4F2>0).(4)(3…     

有趣的直线x_0x/a~2+y_0y/b~2=1

在高二教材中的圆锥曲线一章中,有这样的结论: 如图1,若P(x0,y0)是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a >b>0)上的一点,那么经过该点的椭圆的切线方程为x0x/a2+y0y/b2=1 问题:若点P(x0,Y0)在椭圆外部(或内部)时, 直线l:x0x/a2+y0y/b2=1是什么样的直线?与椭圆有怎样的关系?     

也从方程x+1/x=c+1/c的解法谈起

本刊今年第6期《从方程x+1/x=c+1/c的解法谈起》一文中,将初中《代数》课本第三册中的一道练习题“解关于x的方程x+1/x=c+1/c”作了两次推广: 推广一:关于x的方程x+b/x=c+b/c的解为x_1=c,x_2=b/c(c≠0)。 推广二:关于x的方程x~(1/n)+1/(x~(1/n))=c+1/c的解为x_1=c~n,x_2:=1/(c~n)。     

关于|x+1/x|≥2

“求证 :| x + 1/x|≥ 2 ( x≠ 0 ) .”(人教社高中《代数》(下册 )第 3 0页第 1 1题 )这是训练基本不等式的一个典型题目 ,但是许多学生将其错误地理解成“只要 x≠ 0 ,就能保证 | x + 1/x|≥ 2 .”文 [1 ]举出的反例说明 ,当 x是虚数时 ,可能 | x + 1x| <2 .本文在复数范围内给出 | x + 1/x| >2 (或| x + 1x| =2 ,或 | x + 1/x| <2 )这类关系成立的一个充要条件 .定理 1 :设 z∈ C\{0 } ,m∈ R+,则| z + m2z| <2 m | z + mi| >2 m| z -mi| <2 m　　或 | z + mi| <2 m| z -mi| >2 m　　　　　 ( 1 )| z + m2z| =2 m | z + mi| =2 m　　…     

巧寻因式(x2±x+1)

我们知道x3-1=(x-1)(x2+x+1),且对于一元多项式F(x)=a1 xn+a2xn-1+…+axx+an+1,若F(1)=0,则F(x)中一定含因式(x-1),若F(x)中不含因式(x-1),又如何寻求f(x)是否含因式(x2+x+1)?事实上,若F(x)含因式(x2+x+1),而不含因式(x-1)时,令x-1≠0,则有F(x)(x-1)=(x3-1)g(x).显然,当x3=1时,F(x)(x-1)=0,故有F(x)=0,而x3=1可转化为x3-1=0即(x-1)(x2+x+1).若x≠1,则必有x2+x+1=0.所以,把x3=1代入F(x)中,一定有F(x)=k(x2+x+1).若不然F(x)≠0.由此,很容易识别F(x)中是否有因式(x2+x+1)其方法是:     

关于丢番图方程x2±y4=z5与x5+y5=z2

利用费尔马无穷递降法证明了丢番图方程x2+y4=z5,x4-y4=z5,x5+y5=(Z|z)均没有正整数解.     

关于Diophantine方程x3±8=Dy2

证明了当D为奇素数,且D=3(8k+5)(8k+6)+1,其中k是非负整数,则方程x3+8=Dy2无正整数解;当D为奇素数,且D=3(4k++3)(4k+4)+1,则方程矿x3+8=Dy2无正整数解.     

从方程x+1/x=c+1/c的解法谈起

如何解可化为一元二次方程的方程x+(1/x)=c+(1/c)（关于x的方程，c≠0）？按照通常的解法，是将分式方程化为整式方程，即cx~2-（c~2+1）x+c=0，解关于x的一元二次方程得x_1=c，x_2=(1/c)经检验知x_1=c，x_2=(1/c)是原方程的解。笔者认为，倘若应用该题的结论，便可简化许多有关习题的解题过程。现举例如下：例1 解关于x的方程x+(1/(x-1))=a+(1/(a-1))。解：将原方程变形为     

问讯处

正x=1,有的老师认为是方程,也有老师认为是方程的解,究竟哪一种观点正确?为什么?陕西永寿王晋远现行中小学数学教材给方程下的定义是:含有未知数的等式,叫方程。如果x=1中的x表示未知数,那么它就是方程。当然,x=1也是某些方程的解,如当x=1时,方程x+5=6等号左右两边的值相等,所以x=1是方程x+5=6的解。可能有老师认为x=1无需解方程就已知它的解,所以它不是含有未知数的等式。请注意,现行数学教材有关方程这     

方程x2+p|x|+q=0与x|x|+px+q=0的根与判别式△=p2-4q的关系

在实数范围内,方程x~2 p|x| q=0(p≠0)与x|x| px q=0共同特点是含有|X|,它们的实根的求解与方程x~2 px q=0是否有所不同,其根的存在是否由判别式△=p~2-4q唯一确定呢?下面就这两个方程加以讨论,得其根的情况: