一道最值问题的多视角求解

<正>极值最值问题是数学学习中常见的问题.本文以一道最值问题为例,介绍如何通过对问题条件、结论的分析,形成不同的表象,产生数学联想,获得解题思路.希望能为学生多视角寻找解题途径,拓宽解题思路提供借鉴.问题设a,b∈R,a2+2b2=6,则a+b的最值是多少?视角1判别式的视角     

一道典型最值问题的求解与一般化

<正>在解题教学中,能否给学生搭建一个平台,让学生的创造性思维有所发展,让学生通过对解题过程的参与、体验和思考,觉得数学好学又"好玩"呢?本文谈一点笔者的教学体会.一、课堂解题教学片断1.提出问题,启发学生发现解题方法问题1已知点P(2,-1),求过点P且     

一道典型最值问题的求解与一般化

<正>在解题教学中,能否给学生搭建一个平台,让学生的创造性思维有所发展,让学生通过对解题过程的参与、体验和思考,觉得数学好学又"好玩"呢?本文谈一点笔者的教学体会.一、课堂解题教学片断1.提出问题,启发学生发现解题方法问题1已知点P(2,-1),求过点P且     

数学解题中的误解辨析

在数学解题中,学生往往会出现各种解题错误。因此,在教学中重视对学生解题错误的分析,采取措施避免,对提高学生的解题能力是大有帮助的。下面是本人根据学生的一些解题错误,进行归纳和分析,供同行借鉴。1、概念模糊对基本概念的理解不深不透,对相近的概念混淆不清,导致解答错误。例1:已知函数f(x)=1-ax2+25√(-5≤x≤0),点p(-2,-4)在它的反函数图像上,求f-1(x)。误解:点p(-1,-4)在已知函数的反函数图像上,∴点p'(-4,-2)在f(x)的图像上。因此得:1-a·(-4)2+25√=-2,∴a=-1。从而f(x)=1--x2+25√(-5≤x≤0),解得x=25-(1-y2)√,故f-1(x)=25-(1-…     

由一道课本习题的提示引发的几点思考

现行高中新编数学教材第一册(上B)中有这样一道习题:已知cos(α-β)=-45,cos(α+β)=54,且(α-β)∈(π2,π),(α+β)∈(32π,2π),求cos2α,cos2β的值.题后括号里还附有提示:2α=(α+β)+(α-β),2β=(α+β)-(α-β).笔者认为,对学生不易想到的解题方法和技巧,应当给学生留有一定的思考时间进行探究,因而这一提示,实质上是个“蛇足”.基于上述认识,在教学中,笔者事先将这一习题作为例题呈现给学生,并取消了提示,让学生进行求解,结果有三分之二学生的解题过程是这样的:由cos(α-β)=-45,cos(α+β)=54,得cosαcosβ+sinαsinβ=-45,(1)co…     

把未知当已知变繁解为简解

由于学生在解决问题时 ,或多或少都会带有一定的模仿和尝试 ,再加上缺乏对解题过程的回顾与反思 ,常常导致解题质量不高 ,效率低下 ,其突出表现之一就是解题过程繁琐 .如果在解完一道题之后 ,教师引导学生抓住未知不放 ,并把已经求到的结论当作已知的条件一起参与到反思活动中去 ,那么常常会使解题过程删繁就简、化难为易 .而且 ,通过这样的反思活动对培养学生的解题能力也大有裨益 .兹举数例说明 .例 1　点到直线距离公式的推导 .教材利用三角知识推导出点Ｐ0 (ｘ0 ,ｙ0 )到直线ｌ:Ａｘ +Ｂｙ +Ｃ =0的距离为ｄ =｜Ａｘ0 +Ｂｙ0 +Ｃ｜Ａ2 +…     

一道含45°角的试题引发的思考

<正>中考复习的过程中,我们经常会遇到一类题目,学生在解题时很难快而准地找到解题思路.一题多解训练可以优化解题方法,提高解题能力.本文以2020年盐城市亭湖区一模的一道试题为载体,谈谈如何通过"一题多解"引发学生发散思维,提高快速解题的能力.一、试题呈现如图1,在平面直角系中,点A(12,0),点B(0,4),点P是直线y=-x-1上一点,且∠ABP=45°,则点P的坐标为_____.     

两椭圆的“相遇”

在讲授椭圆这部分内容时,我曾给学生出了这样一道题目:"过点P(2,1)作直线与椭圆x2/a2+y2/b2=1交于A、B两点,若点P平分弦AB,求弦AB所在的直线方程."学生很快就想出了两种解法:一种是设弦AB所在的直线方程为y-1=k(x-2),然后将直线方程代入椭圆方程来解题;另一种是用两点法.     

暴露思维过程 提升解题能力

<正>解题教学不能仅仅讲解参考答案,要从学生的角度思考问题;要通过学生的自主探究、合作交流、踊跃展示来暴露思维,达到提升学生分析问题、解决问题能力的目的.在一次县教研室举行的高三数学组备课活动中,笔者有机会听取了一节题为"解析几何与向量联袂"的观摩课,现就其中的一道例题谈谈自己的想法.问题1已知点P(1,3)和⊙O:x²+y2+y²     

学生会做的题目,教师就不用讲吗

在一节"二次函数的图像和性质"复习课上,教师先是通过提问的方式让学生回答前一天布置的课外练习题的答案,然后只对学生回答错误或不会做的题目进行讲解.那么,学生"会"做的题目,教师真的就不用讲了吗?下面仅选择其中一道选择题和一道填空题来说明学生"会"做的某些题目,教师适当的讲解还是有必要的.实例1(选择题):已知函数y=(k-3)x~2+2x+1的     

一堂习题课的“节外生枝”

数学教学,离不开解题教学,解题教学的过程正是思想交流,思维碰撞的过程,思维的发散与发展,能力的提炼与提升往往是难以预设的,如果把控不好,也会弄得“一发不可收拾”,还会被学生“牵着牛鼻子走”. 1 案例描述 在上完三角函数后,笔者开设了一堂习题课,在引导学生系统梳理这一章的知识网络后,出示了一道例题:若n∈Z,化简sin(nπ-α) cos[(n-1)π-α]sin[(n+1) π+a] cos(nπ+a).     

践行一题多解 拓展思维深度

<正>中考题往往在平凡中见新意,教师在教学过程中如果能善于利用中考试题这一良好素材,对其进行深入探究,通过一题多解培养学生的发散思维与创新能力,让学生通过解题学会思考、学会体验、学会表达,必能让学生体会到"多解"带来的思维乐趣和收获.本文以一道中考题为例,介绍如何在解题教学中践行一题多解,开拓学生的思维深度.一、原题呈现(2020年河南中考题)如图1,在边长为2槡2的正方形ABCD中,点E、F分别是边AD、     

新教材一道例题的解题思考

解题,作为数学学习过程的主要形式,其目的不在于解答问题本身,而在于学生接受一种“思维的体操”的训练.通过解题,在帮助学生夯实基础知识、训练基本技能的同时,培养学生良好的思维品质,进而使学生能更好地汲取数学解题中的营养价值.本文拟对新教材中的一道参考例题[第一册(下)P85-例2]做多角度思考,以帮助学生提高解题认识. 题目已知sin(α+β)=2/3,sin(α-β)=     

例说函数综合应用题的解题策略

<正>函数综合应用题是各地中考题的热点,也往往是让部分学生束手无策的难点.这样的题常会拉开学生得分的档次,本文以各地与此相关的中考题为例,总结对应的解题策略.一、斜率——夹角问题例1 (2018年广东中考题)如图1,已知顶点为C(0,-3)的抛物线y=ax2+b(a≠0)与x轴交于A、B两点,直线y=x+m过顶点C和点B.     

一道代数证明题证法的探究“历程”

数学学习离不开解题学习,数学教学离不开数学解题的教学,本文记录了笔者在函数一章复习课时遇到的一道代数证明题,充分展现了学生解题的思维发展全过程,揭示了解题方法的发展和形成过程.希望以此例做个示范,教学生学习如何解数学题,教学生学会数学地思维.1教学片断笔者在高一教学的一次作业讲评中,有这样的一道题:已知a>0,b>0,a+b=c.求证:(1)若r>1时,a~r+b~rc~r.1.1类比联想,首次迁移笔者投影了学生A的第(1)问的证明过程:∵c~2=(a+b)~2=a~2+b~2+2ab,∴c~r=(a+b)~r=a~r+b~r+X(X为中间项),     

一道课本习题的探索与反思

<正>在数学解题训练中,解题后的反思是一个十分重要的环节.解题后的反思,是对自己解题过程的回顾和思考,是一种十分宽泛的思维活动,具有开放性和发散性的特质.解题后的探索与反思有利于提高数学素养和解题能力.如,在苏教版选修1-2"复数"一章中第19页有这样一道题:求证:|z1z2|=|z1||z2|.证明设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,     

平凡之中显精彩——一道三角函数求值题的多角度、多层次的审视

盲目的解题往往会使我们陷入题海,学习很难高效,因而在解一道试题时,不能满足于题目解出来了,浅尝辄止,应该尝试从多种角度、多种层次审视试题,真正做到解一道题通一类问题．下面通过教学中一道三角函数求值题的多视角反思．扬起学生思维的风帆,全面挖掘试题的教学价值．     

培养学生利用基本图形解题的意识——一道得分率极低的测试题的讲评及反思

<正>在浙教版八(下)《一次函数》这章的单元测试题中,有一道题得分率非常低,本文以此为例,谈谈培养学生利用基本图形解题的意识.原题如图1,直线y=-3^(1/2)/3x+4与x轴、y轴分别交于点A、点B,以线段AB为直角边     

抓住关键解题

有这样一道题:设(11-6(2~1/2))~1/2的整数部分为a,小数部分为b,试求a及a+b+2/b的值。许多省市的数学复习资料中都有这种类型的题目,而学生对这种类型的题目又无从着手,在教学时,我是这样做的:解题前,先引导学生分析,通过分析找出解题的关键。     

探点中考因动点而生的直角三角形

正中考命题特别钟爱动点,动点以其知识点多、题型复杂成为中考命题提升难度,拉开差距,选拔考生的一个"热"点,常出现于中考数学压轴题或者倒数第二道题.学生对动点是又爱又恨.可对于大多数学生呢,这可是"失分重灾区".分析运动过程、揭开"动点"问题的神秘面纱,理解并掌握其中的解题方法与解题技巧就显得尤为重要.例在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=-m-14x2+5m4x+m2-3m+2与x轴的交点分别为原点O和点A,点B(2,