不等式“H≤A”应用举例

n/(1/a_1 1/a_2 … 1/a_n),(a_1 a_2 … a_n)/n分别称为正数a_1,a_2,…a_n的调和平均和算术平均,依次记为H,A我们有不等式H≤A,仅当a_1=a-2=…=a_x时取等号。灵活运用这一不等式可证明一些较困难的不等式。     

不等式的证明

关于不等式的证明,不少学生感到无从下手,其原因是证明思路没有一定的程序可循。各种类型不等式的证明,虽然涉及的范围广泛,技巧多样,方法灵活,但常用的有下面几种方法。一、比较法这是证明不等式的基本方法。如要证A＞B,可证A－B＞0或B－A＜0——求差比较法;如A＞0．B＞0．要证A＞B．可证＞1或求商比较法。例1、求证：a2＋b2＋c2＋4＞ab+3b+2c二、综合法利用题没和某些已知不等式作为基础,运用不等式的性质推导出欲证的不等式。综合法的思路是“由因导果”。例2（见上倒入I小口H：“．’a“＋b“＋c“＋4＝ta“＋＿r）＋〕t…     

不等式A1/p·B1/q≤A/p+B/q的推广

不等式A1/pB1/q≤A/p+B/q是一个重要的不等式.本文将这一不等式推广到一般情况,并指出一般平均值不等式是这一(推广)不等式的特例.     

证明不等式的关键

证明不等式,特别是以不等式证明为核心的代数综合题,对广大学生来说,比较困难.证明不等式难在何处?难在恰当的用放大变形或缩小变形来进行不等式证明.例如,要证 A>B,若从 A出发,往往不是一步缩小变形得出 A>B,而是通过一系列的恒等变形或缩小变形得出:     

配置对偶式证明不等式

在证明一些不等式时,针对题中式子A的结构特点,配上一个与A有内在联系的式子B(称为A的对偶式),利用A、B之间的运算作为桥梁,可促使问题的转化和解决.这种方法证明不等式,思路独特,事半功倍,其关键是如何确定式子A的对偶式B.现举例说明常用的配偶手段.     

一个不等式的改进

《数学通报》1991年4月号数学问题（707）为：证明：在△ABC中，A、B、C两两不相等时，有原证明较繁，本文给出这一不等式的简单证明，同时也得出了改进的结果.证明令不等式（l）的左边为M（A，B，C）.由正弦定理知：边，所以由此即得：不等式（2）改进了不等式（1）.更进一步地，不等式（2）可改进为：由余弦定理得：当且仅当A＝B＝C＝60°时取等号.这样2＜N（a，b，c）≤3，当且仅当a＝b＝c时取等号.由此得0≤M（A，B，C）＜1.但由条件：A、C、C两两不相等，知不能取等号，所以不等式（3）得证.一个不等式的改进@田正平$杭州师范…     

巧用定比λ>0证明不等式

读贵刊1995年第3期“巧用一个充要条件证明不等式”一文,感到该文中所列例题若用定比λ＞0证明,思路会更加自然、明快、简洁．证明设,要证题中不等式成立,只要证以B点为分点去分AC,所得定比λ＞0即可．要证题中不等式,只要证明以B点为分点去分AC的定比A＞0即可．由定比分点的坐标公式有N3证明设A（6,0）,B（IOg。105,0）,C（7,0）．要证题中不等式,只要证明以B点为分点去分AC的定比A＞0即可．巧用定比λ>0证明不等式@郭燕$甘肃省兰州市兰钢中学!730020     

用不等式证明等式

我们往往习惯于用等式来证明不等式，而忽视了不等式在证明等式中的“反作用”．其实对于许多等式，包括用常规方法难以证明的竞赛题，倘若恰当地选择以不等式作为证题手段，便可出奇制胜．同时，通过这种证法，还可使我们进一步明确“等”与“不等”的辩证关系，深化对数学问题的理解．本文举例说明用不等式证明等式的三种常见思路．一、证明不等式A≥B与A≤B同时成立，得A=B.n(a β),求证(第十七届全苏中学生奥林匹克赛题）α-β可构成某△ABC的三个内角,由正弦定由余弦定理得cos(-综上两方面结果，必有例2已知实数x、y、z同时满足条…     

巧用几何图形证明不等式

一些代数不等式,用代数方法证明是较困难的,但若根据题设条件构造几何图形,运用几何方法,往往会得到巧妙直观的证明。本文介绍构造几种特殊的图形证明代数不等式,以供参考。一、构造正三角形例1 正数a、b、c、A、B、C满足条件a A=b B=c C=k,求证:aB bC cA相似文献   

由一个三角形不等式联想到的

在研究三角形不等式证明这个领域内 ,仅停留在探索一些简单不等式的证法技巧 ,总结一些解题规律上 ,这显然是不够的。我们应当在熟练掌握一些简单不等式证法技能的基础上 ,探索、证明、推理、创造性地研讨出一些新的结论。本文拟就一道三角形不等式来探讨一些新结论 ,以达推陈出新之目的。为此先证明下面的引理 :引理　设△ABC的三边长为a、b、c,内切圆半径为r ,半周长为 p ,求证　 pr ≥ 3 3。证明　∵ ( pr) 2 =(cot A2 +cot B2 +cot C2 ) 2≥ 3 (cot A2 cot B2 +cot B2 cot C2 +cot A2 cot C2 )=3 (cot A2 +cot B2 +cot C2 ) (tan …     

几何不等式

涉及到几何量的不等式称为几何不等式,几何不等式的内容极为丰富,本文只拟就初中范围内讲一些证明几何不等式的方法。证明几何不等式除了应用不等式的基本性质和已经证明过的不等式外,还要注意几何图形的特点,尤其是一些其本的几何不等关系,如连接A、B两点的最短线是线段AB,特别地是三角形两边之和大于第三边;在三角中大角对大边;在直角三角形中斜边大于直角边;在同一圆中,两条劣弧中较大的所对的弦也较大,反过来也对,等等。一、利用基本的几何不等关系证题     

不等式综合复习

一、不等式的证明各种类型的绝对不等式、条件不等式的证明,虽然涉及的范围广泛,证法灵活多变,但常用的有下面几种证明方法: 1.比较法这是证明不等式的基本方法。如要证A>B,可证A-B>0或B-A<0; 如A>0,B>0,要证A>B,可证A/B>1或B/A<1。例1 设α、β、γ是锐角三角形的三个内角,且α<β<γ,求证:sin2α>sin2β>sin2γ。     

巧构几何图形证明不等式

一些代数不等式,用代数方法证明是较困难的。但若根据题设条件,构造出特殊的几何图形,运用几何方法。往往会使问题得到直观巧妙的证明。下面介绍构造几种特殊图形证明代数不等式,以供读者参考。例1.正数a、b、c、A、B、C满足条件a+A=b+B=c+C=k。求证aB+bC+cA相似文献   

化为同分母循环和证明一类分式不等式

分式不等式的证明难,其难点首先体现在如何去掉分母.本文将通过一些例子获得一个证明分式不等式的有效方法,并希望能成为一个通法:这就是将分式不等式的各部分巧妙地化为同分母循环和(即∑A/A B C=1)获证.     

杨乐不等式的注记

我国著名的数学家杨乐院士在函数值分布论的研究中曾建立如下的一个三角不等式 :cos2 λA cos2 λB- 2 cosλAcosλBcosλπ≥sin2 λπ (1 )其中 A>0 ,B>0 ,A B≤π,0 <λ<1 .此不等式有许多证法见文 [1 ]～ [3 ],文 [4]～ [6]对不等式 (1 )进行各种探索和推广 .如文 [4]一下子给出 1 5个类似于不等式 (1 )的新三角不等式 ;文 [5 ],[6]对不等式 (1 )给予推广和加强等 .笔者指出 :所有这些三角不等式均可由因式分解法[1 ] 给出统一的、简洁的、本质的证明 .还可以削弱一些条件 ,例如不等式 (1 )转化为证明 :[cosλ(A B) - cosλπ]· [c…     

B值鞅不等式

研究了取值于Banach空间的鞅,利用Fubini定理给出了一些新B值鞅的最大不等式,从而把实值鞅的最大不等式推广到了B值鞅的最大不等式．     

对证明一个不等式的原理的讨论

在《漫谈一道国际数学竞赛题的证明》(见本刊1989年第4期,以下简称《漫谈》)一文中提出了以下证明不等式的原理:“如果我们确认A≥B和C≥D同为真、假命题,为了证明A≥B,则只须证明A+C≥B+D成立就够了。”为更明确,我们把这一原理表述为     

一个三角不等式的证明与推广

<正> 在△ABC中有这样一个不等式sin A+sin B+sin C≤(3(3~(1/3))) ①对于这个不等式有各种各样的证明方法,笔者在此提供一种证法.这种证法有利于把这个不等式推广到更一般的情形.分析△ABC中,A+B+C=π,又sinπ/3=(3~(1/3))/2,故上述不等     

一个不等式的推广

将它推广到一般情形。定理1：设，则有：证明：不等式的左端＿根据定理1很容易得到下面的不等式：2若S＝1．则这是Shapiro不等式的特殊情况。定理2显然A是可同序矩阵，B和C是A的乱序矩阵，根据微微对偶不等式法则，有特例，当n＝2时，不等式为．（1995年《数学通报》第4期问题9     

一类条件不等式的一种代换证明

<正>对于或可化为条件为A+B+C=1(A,B,C>0)一类条件不等式的证明,其方法灵活多样且没有固定、统一的方法,本文介绍一种代换证法,可有效地证a b明这类不等式,即可令A=a/(a+b+c),B=b/(a+b+c),C=c/(a+b+c)(a,b,c>0),这样就可将所证不等式转化为关于三元a,b,c的一个无条件约束的代数不等式从