巧用等积变换方法解题

有关图形面积的计算或证明是常见的数学问题,通常用“割补法”来解决,但是用“割补法”的计算比较繁琐,因而容易出现差错.学习了“平行线间的距离处处相等”以及“等底等高的三角形面积相等”后,就能运用“等积变换”的方法简捷、巧妙地解决这类问题,下面举例说明.例1如图1,已知,正方形ABCD的边长是a,正方形CEFG的边长为b,且点B、C、E在一条直线上.连结AG、GE、AE,求S△AGE.解方法一:如图2,补△AHG,构成矩形BEFH,得S△AGE=S矩形BEF H-S△ABE-S△EFG-S△AHG=b(a+b)-21a(a+b)-21b2-21a(b-a).=21b2.方法二:如图3,连结DE,…     

一道竞赛题的思考

2002年的一道省初三数学竞赛题:已知:如图1,在矩形 (1)如图2标出乙1,艺2,当匕1和乙2中有一个是直角,另一个是任意角时,不妨设匕1为直角,则S二曰今B Xl二1.1M1MK毛MN中有两个一条边长为1的平行四边形,则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是() A.大于1 B.等于1 C.小于1 D.小于或等于1讯‘嚷{L‘~-一‘‘J公‘习M豁图1 这道题激发了许多教师的兴趣,引起了一番热烈的讨论,看法各异,归纳之有下列几种情况: 1.认为公共部分的面积(用S表示,下同)是个定值,与两平行四边形都是矩形时的公共部分面积相同,故S“1,应选B. 2.认为平行四边形八月CD…     

奇思妙解两例(初二、初三)

题1如图1,矩形ABCD中,八刀一a,且二 一b,M是BC的中点,DE土AM,E是垂足. 之B 召M =900,A刀 求证二DE-一兰巫址一 了4了干石丁‘ 证法1巧用面积公式 连结DM,则 S矩形~一25△~. 在矩形月刀CD中, “目” Blee,怨se.JC 、J刃 关少 l~~ ~.:犷上又.洲- 乙 -a, b 2’ 所以、韶az (t)’一告一 又s△~一合AM·DE 图1 1,,.,,~一 丁犷怪a“十扩.」力匕. 任 而 代人(, S矩形ABcD一动, 、,。~~Zab ,得优-闷元云万’ 所以 兄△HNG里Rt△月DA, 艺1一月,艺2一y, 证法2补形法 如图2,作矩形a子FC,使矩 形政子FC与矩形ABCD全等,延 长AM交DC…     

反比例函数的一个常用性质

研究函数问题,须抓住函数的本质特征.反比例函数y=kx(k≠0)中k有一个很重要的几何意义:如图1,过双曲线y=xk上任一点P作x轴、y轴的垂线PC、PD,所得矩形DOCP的面积S=PC·PD=x·y=k,S△POC=21S矩形DOCP=12k.这是一个十分有用的结论,运用这一结论可以较为简捷地的世界我喜解决许多问题.例1如图2,正比例函数y=x和y=ax(a>0)的图象与反比例函数y=kx(k>0)的图象分别相交于A和C点,若直角三角形AOB和直角三角形COD的面积分别为S1和S2,则S1和S2的关系是().(A)S1>S2(B)S1=S2(C)S1相似文献   

寻求最优方案——对一道课本题目的延伸与探索

新教材高一下册第四章“三角函数”中有图 1如下一道问题 :如图 1,有一块以点 O为圆心的半圆形空地 ,要在这块空地上划出一个内接矩形 ABCD辟为绿地 ,使其一边 AB落在半圆的直径上 ,另外两点 C,D落在半圆的圆周上 .已知半圆的半径为 r,如何选择关于点 O对称的点 A,B的位置 ,可以使矩形ABCD的面积最大 ?分析　令∠ AOD=θ,则 AD=rsinθ,ΟΑ= rcosθ,所以矩形 ABCD的面积 S=rsinθ· 2 rcosθ=r2 sin2 θ≤r2 ,其中等号成立的条件是 sin 2θ=1,即θ=π4 ,不难看出 ,A,B两点与 O点的距离都是 22 r时 ,矩形 ABCD的面积最大 ,最大…     

构造一元二次方程证明几何不等式

<正>近年来,在部分省、市中考试题中,时常出现一些有关几何不等式的证明题.证明这类问题的方法较多,本文拟介绍一种通过构造一元二次方程,运用根的判别式来证明的方法.现以部分试题为例说明如下:例1如图1,四边形DEFG是△ABC的一个内接矩形,设△ABC的面积为S,矩形DEFG的面积为S1.求证:S1≤S2.分析本题的关键是寻求联系两个面积的桥梁,可以先通过图形的相似等几何知识找到二者的关系式,然     

圆柱、圆锥的侧面展开图问题

一、知识要点本节主要内容包括两部分：一是圆柱、圆锥的有关概念;二是圆柱、圆锥的侧面展开图及侧面积和表面积的计算．1．圆柱圆柱可看作是由矩形绕着它的一条边所在直线旋转一周得到的几何图形2．圆柱的侧面展共图圆柱的侧面展开图是一个矩形,这个矩形的一边是圆柱底面圆的周长,另一边是圆柱的母线长（等于圆柱的高）．3．圆柱的侧面积、表面积设圆柱底面半径为R,母线长为h（或高为h）,则圆柱的侧面积S。。o一2。Rh;表面积S。。＆一2。R（R＋h）．4圆锥圆锥可看作是由直角三角形绕着它的一条直角边所在直线旋转一周得到的几何图…     

台体中截面面积公式推广

高中《立体几何》第 64页例 2“设棱台的两底面 积分别为 S1, S2,它的中截面积是 S0.求证 2 ”中给出了台体中截面面积公式,但用它求平行于台体底面任意截面的面积就比较困难了 .为了便于解决这类问题,本人对台体中截面面积公式作如下推广 . 如图 (1),若台体 (棱台、圆台 )的上、下底面积分别为 S1, S2,与底面平行,把侧棱 (母线或高 )自上而下分为 m∶ n的两段的截面面积为 S0,则 . 证明：∵ = 即 ∴ 若再令,则上述结论可变为 .于是有以下定理 . 定理 1台体 (棱台、圆台 )的上、下底面积分别为 S1, S2,与底面平行的平面,…     

添条垂线 更为简易

先后拜读了贵刊2002年第4期《“设数法”解题例谈》、第11期《巧用比例，化难为易》两文。对“在下图(1)中长方形ABCD的面积是24平方厘米，三角形AFD的面积是6平方厘米，三角形EFC的面积是3.5平方厘米，三角形AEF的面积是多少平方厘米?”一题分别用“设数”与“比例”的解法，受益匪浅。笔者认为如在图(1)中由E向AD作垂线，交于G，如下图(2)，解法更为简易。解：图S△AFD=6cm2，S长方形ABCD=24cm2。则S△AFD是S长方形ABCD的14，可得F是DC的中点，(DF=FC)，那么S△EFC是S长方形GECD的14，则S长方形GECD=3.5÷14=14(cm…     

反比例函数y=k/x(k≠0)中k的几何意义

一、比例系数k的几何意义 如图1,若P(x,y)是反比例函数y=k/x(k≠0)上任意一点,过P作PB ⊥x轴于B,PC⊥y轴于C,则S矩形PBOC=|OB|·|OC|=|x|·|y|=|xy|=|k|. 因△OPB与△OPC的面积都等于矩形PBOC面积的一半,于是有S △OOPB=S△OOPC=|k|/2.     

八年级（上）期末复习检测试题

一、填空题(每题2分,共24分)1.一个矩形的面积为32+,宽为,则矩形的长为.2.某校九年级(1)班有50名同学,综合数值评价“运动与健康”方面的等级统计如图1所示,则该班“运动与健康”评价等级为的人数是.3.八年级(1)班进行一次数学测验,成绩分为优秀、良好、及格、不及格四个等级.测验结果反映在扇形统计图上,如图2所示,则成绩良好的学生人数占全班人数的百分比是%.4.在平面镜里看到背后墙上的电子钟数如图3所示,这时的实际时间应该是.5.如图4是由边长为和的两个正方形组成,通过用不同的方法,计算如图4中阴影部分的面积,可以验证的一个公式是.6.…     

面积法证题初探

面积法证题是几何证明的一种重要方法,本文提出用面积法证题的常见几种思考方法,这里只需用到三角形面积公式 S=1/2ah_α和S=1/2ab sinC。方法1 (自等积法)任何平面图形其面积是唯一的。应用此性质证题时,可确定一个适当的三角形,用不同的面积公式来表达同一三角形的面积,这样就可得到一个关于面积的等式,消去无关的量,则得到应有的结论。例1 矩形ABCD中,M为BC的中点,DE⊥AM于E,求证 DE=2ab/(4a~2+b~2)~(1/2)(a、b是矩形的长和宽)。证明:如图,可选定△ADM,     

运用参数法求最大(小)值

在数学教学中,如能应用参数解极值问题,有时是比较方便的。下面我们举几个例子。 例1 求椭圆内接矩形面积的最大值。 解 设椭圆参数方程为:x=acosθ或y=asinθ θ为参数。由对称性,它的内接矩形面积为:S=4|acosθ·bsinθ|=2ab 。|sin2θ|≤2ab, ∴椭圆内接矩形面积的最大值为2ab。     

速度图象的巧用——介绍一堂习题课

速度图象是研究直线运动常用的一种方法,利用它可以直观物体速度变化的规津、求解运动的加速度以及物体在各段时间内的位移等等。在处理一些较复杂问题时,由于图象简明直观,对分析问题和解决问题,往往可以收到事半功倍的效果。为此,笔者结合高一必修教材的内容和要求,安排了一堂利用速度图象求证、解题的习题课,具体内容如下。 1.求证匀变速直线运动v—l图象下梯形“面积”s=vol+1/2ul~2。由图1可知,图线下梯形“面积”s=s_1+s_2,式中s_1为直角三角形“面积”,s_2为一矩形“面积”,不难看出,s_1=1/2ul~2,     

用几何法解工程问题

应用几何法探索工程问题的解法所依据的关系式是 (1)工作量二工效义时间:的任务;设D‘一x表示提前x天完成。因两(2)工(3)时效一器;间=瞥·┌─┐│}l│├─┼─┐│汀│ │└─┴─┘如图1,在矩形ABCD中,把相邻的个矩形ABCD与A石F‘面积相等,同时减去公共部分的面积,得SDGHCD 二SDREPH两边AB、BC分别表示工作时间和工效,那么依据公式(1)知,矩形ABCD的面积┌─┐│ │└─┘S口ABCD就表示工作t. 如图2,在由此得方程500x二50(1 10一x)解之得x二10。即可提前10天完成修路任务。 例2甲乙二人加工某机器零件,已知甲每小时比乙多做…     

浅谈极值问题的三角解法

一些极值问题,若用三角方法处理反比代数解法简明,因为运用三角知识易于建立几何图形中角与线段之间的函数关系,兹举数例说明。例1 定圆内接矩形中,何者面积最大。代数法如图,设定圆半径为R,AB=x,则BC=(4R~2-x~2)~(1/2)。矩形面积S=x (4R~2-x~2)~(1/2)。因S>0,故S~2与S取极大值的条件相同。而S~2=x~2(4R~2-x~2)。又x~2+4R~2-x~2=4R~2为定值。故当x~2=4R~2-x~2,即x=     

运用配方法解“双最”问题

用铝合金材料制成的所有形状如图1所示的矩形窗框中,怎样的矩形窗框,在透光面积确定时,用料最省,在用料确定时,透光面积最大？在现实生活和生产实践中,我们经常会遇到这样的“双最”问题．     

用“差不变性质”解几何题

如果被减数和减数都增加(或减少)同一个数,那么它们的差不变。运用这一“差不变性质”可以巧妙地解答一些几何题。例1如图1所示,∠AOB=900,C为AB弧的中点,已知阴影甲的面积为16平方厘米,阴影乙的面积是多少平方厘米?(2001年小学数奥决赛A卷)分析与解:运用“差不变性质”有S甲-S乙=S(甲+丙)-S(乙+丙)=S小半圆-18S大圆=12πr2-18π(2r)2=12πr2-18π4r2=12πr2-12πr2=0。即S甲=S乙=16平方厘米。例2如图2所示,四边形ABCD为长方形,BC=15厘米,CD=8厘米,△ABF的面积比△DEF的面积大30平方厘米,求DE的长。(第三届小学数学报竞赛试题)…     

构造矩形趣解代数题

有些代数问题，直接用纯代数法解相当繁杂，若能突破思维定式，构造出符合条件的矩形来解，则往往既能使解答新颖独特、直观形象，又能培养灵活、敏捷的发散思维能力．现举例说明．例１计算：１９９６１９９７×１９９７１９９６－１９９６１９９６×１９９７１９９７＝．（１９９７年“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）解析：题设算式酷似两个矩形面积之差，可构造如图１所示的矩形ABCD和矩形ECHF，即把算式转化成求小矩形ABHG与小矩形EDGF的面积之差（两个小矩形的宽均为１）．所以，原式＝S矩形ABHG－S矩形EDGF＝１９９７１…     

小议受力面积

初中物理“压力和压强”一节中讲到压强=压力/受力面积时,关于对受力面积的取舍,学生总感到困惑.其实我们只需要把受力面积理解为两个相互接触的面中的最小那个面的面积即可.现举例几题加以分析. 例1 如图1、图2所示,重力分别为G甲和G乙、底面积分别为S甲、S乙的两物体,(1)照图1放置时,求甲对乙的压强和乙对地面的压强.(2)