巧用a+b+c=0

~~     

函数y=ax c b/x d(ab≠0,d∈R)的性质探微

题目函数表示平面上的一类重要曲线,它是直线与双曲线的叠加,自身有许多重要的性质,在解决有关问题诸如最值、解不等式时经常涉及到它,为了从根本上弄清楚该函数表示曲线的性态,有必要深入探讨它的性质.显然该函数的定义域是x∈R且x≠-d.……     

当a+b+c=0时

我们知道,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的实数根,在b~2-4ac≥0时,可由求根公式求得。 现在,我们来探究一个问题,当a+b+c=0时,一元二次方程ax~2+bx+c=0(a≠0)的根有什么特点? 探究 ∵ a+b+c=0,∴b=-(a+c),∴ 原方程可化为ax~2-(a+c)x+c=0,即 (ax~2-ax)-(cx-c)=0. ∴ ax(x-1)-c(x-1)=0. ∴(x-1)(ax-c)=0. ∴ X_1=1,X_2=c/a。     

二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c的关系的应用

关于二次函数y=ax2+6x+c(a#0)的图像与系数a、b、c的关系,常用的知识点有如下几点: 1.a决定抛物线的开口方向、形状、大小以及二次函数有无最大(小)值:a>0←→抛物线开口向上←→二次函数有最小值(最小值为顶点的纵坐标);a<0←→抛物线开口向下←→二次函数有最大值(最大值为顶点的纵坐标);|a|越大←→抛物线开口越大;|a|相等←→抛物线形状大小相同.     

函数y=ax+b/x(a≠0,b≠0)的性质与应用

性质一:函数y=ax+b/x(a≠0.b≠0)(1)图象是不规则双曲线,它关于原点中心对称,其渐近线是直线y=ax与直线x=0(即y轴).     

遇到a+b+c=0怎么办?(初三)

同学们在解竞赛题时,常会遇到条件或隐含条件a b c=0,许多同学不知它有何用?下面就举例说明它的功能.结论1若a b =0(a≠0),则一元二次方程dx~2 bx c=0必有一个根为1;反之也成立.(请同学自己完成证明)     

条件"a＞b＞c且a+b+c＝0"的运用

对于条件“ａ>ｂ>ｃ且ａ ｂ ｃ=0” ,很多同学一直认为它只有“ａ >0 ,ｃ <0”的结论。其实它还有另外一个结论 ,即由它可推得“ｃａ ∈ (-2 ,-12 )”。证明过程为 :∵ａ ｂ ｃ =0 ,　∴ｂ =-ａ -ｃ。∵ａ >ｂ>ｃ,　∴ａ >-ａ -ｃ>ｃ。∵ａ >0 ,　∴ 1 >-1 -ｃａ >ｃａ ,∴     

关于a+b+c=0的一组优美结论

a+b+c=0(a,b,c∈R),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若 a+b+c=0,则 b~2≥4ac 或a~2≥4bc 或c~2≥4ab.证明:因为 a+b+c=0,所以 b=-(a+c),b~2=(a+c)~2=a~2+c~2+2ac≥2ac+2ac=4ac,即 b~2≥4ac.同理可得,a~2≥4bc,c~2≥4ab.结论2 若 a+b+c=0,则 a~3+b~3+c~3=3abc.证明:因为 a+b+c=0,所以 a+b=-c,(a+b)~3=-c~3,即 a~3+3a~2b+3ab~2+b~3+c~3=0,也即 a~3+3ab·(a+b)+b~3+c~3=0,又 a+b=-c,所以 a~3+b~3+c~3     

怎样用a+b+c=0?(初一、初二、初三)

夕,几口尸月J‘J、切~‘r闷目,曰一口目J子、-‘~户Jj 代数学习中,含条件a+b+。一0的问题屡见不鲜.解此类题时,可考虑以下三种转化. 1.移项 例1已知a十b+。=o,a‘十b‘+c峨一1,那么a(b+。)“+b(。+a)“+。(a+b)“=(D)解不能确定是正数、负数或零. (02年十三届希望杯初二竞赛)易得,(a+b+。)2=o,即解由 (96年聪明杯初一竞赛)a+b+‘一O,得 b+e=一a,c+a=一b,a+b故原式=a(一a)3+b(一b)3+。(一一—C。c)“ 矿十少十了+2(ab十阮+ca)一。, 1 ab+加+ca-一音(丫+梦+c“). 一.一,一2、一因为ab。<0,所以 a共O,b笋O,c界0,aZ+bZ+cZ>0.即ab十阮十ca<0…     

函数f(x)=(cx+d)/(ax+b)(a≠0且ad≠bc)

函数f(x)=(cx d)/(ax b)(a≠0且ad≠bc)常常出现在各类试题中,人们通常以它为载体来考查函数内容,如定义域、值域、单调性、奇偶性、反函数图象等等,然而大多数同学对这一函数往往不甚了解,以至无从下手,难以抓住要害,其实它是由初中所学的反比例函数即双曲线经过平移变换而得,因此它也具备双曲线的一般性质.那么它有哪些性质呢?     

“若ab=0,且a≠O,则b=0”的应用(初二、初三)

我们知道: 若ab一0,且a并O,则b一0. 这个命题十分简单,在数学竞赛中,有非凡的作用. 1.求值 例1满足等式:二万+y石一了吸灭了二石{一丫2003夕+丫2003习=2003的正整数对(二,夕)的个数是() (A)1.(B)2.(C)3.(D)4. (03年全国初中联赛) 分析根据等式的特征,可考虑运用分解因式的方法化难为易使问题获解.由已知等式分解因式得 (抓石一丫厄丽互)(存+石+丫丽丽)一。,因为石+石+了厄玩万并。,所以抓石一抓丽丽一。,得却一2003,而二,y都是正整数,2003是质数,于是 (y例2瑞。3或{立一2003,选(B).已知实数a,b,‘,d互不相等, 1“十万一b+工一一d十 1 —…     

要注意集合{x∈R|ax~2+2x+1=0,a∈R}与集合{x∈R|ax~2+2x+1=0}(a∈R)的区别

<正>北京市西城区教育研修学院编《学习·探究·诊断(数学·必修1)》(2015年8月北京第6版)第2页第14题及其答案(答案在该书第49页)是:题1已知集合A={x∈R|ax²+2x+1=0,a∈R}.若A中的元素至多只有一个,求实数a的取值范围.解(1)当a=0时,集合A中的方程即2x+1=0,     

a b c=0的一元二次方程

在一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)中,常常隐含着a+b+c=0,此时方程的根究竟有什么特征呢?下面我们来研究这个问题。首先,为了能更清楚地看到方程与系数的关系,我们可以先由a+b+c=0,得b=-(a+c),代入方程消去b,得ax2-(a+c)x+c=0,ax(x-1)-c(x-1)=0,(x-1)(ax-c)=0,哈,原来方程的两根为x1=1,x2=ca。由此,我们得到如下一个结论:当a+b+c=0时,关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的一根为1,另一根为ca。运用这个简单的结论解决一些相关的问题十分简洁。请看:例1解方程:穴3姨-2雪x2+穴1-3姨-2姨雪x+2姨+1=0分析:直接用解一元二次方程的方法求解显然很…     

复系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的讨论

有关复方程的问题，是高考及竞赛的主要内容，尤其是复系数的一元二次方程的根的情况，本文通过范例的正误解法对照、使学生澄清模糊认识，矫正方法，进而促进学生对基础知识和基本方法的掌握与应用。     

形如方程a(x~2+y~2)~k=f(z)(k≠0,a、k∈R)的图形判定

本文运用旋转曲面理论,提出了一种关于一类三元n次方程对应图形的判定方法,并从理论和实例上论证了判定三元n次方程的图形时,较之通常教材中采用的平行切面法,显得更为简单和明晰.     

(a·b)c=a(b·c)成立的充要条件

<正>我们知道,在向量数量积的运算中,不考虑(a·b)·c,这是因为数量积运算符号"·"只适用于两个向量之间,而不适用于数与向量之间,a·b是一个数,故(a·b)·c没有意义.但(a·b)c与a(b·c)都有意义,通常情况下,(a·b)c≠a(b·c),那么(a·b)c=a(b·c)在什么情况下成立呢?成立的充要条件又是什么呢?经探究,得知     

用判别式求函数y=a1x2+b1x+c1/ax2+bx+c(a≠0)值域的探讨

求有理分函数 y=a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c 的值域 (或最值 )是中学数学中的一个难点 ,由于受到各种资料的影响 ,学生常用一元二次方程根的判别式求解。但由于求解过程中采用了非等价变形 ,易导致解题出错。本文试对这个问题作初步探讨。用一元二次方程根的判别式求函数y =a1x2 +b1x+c1ax2 +bx+c (a≠ 0 )　　　　　 (1)的值域 ,先作如下变形 :(ay -a1)x2 + (by-b1)x +cy-c1=0　　　　 (2 )由于x是实数 ,所以△ ≥ 0 ,即(by-b1) 2 - 4(ay -a1) (cy-c1) ≥ 0　　　 (3)解不等式 (3)即得函数 (1)的值域。其实上述解法 ,求得 (3)中 y的值的集合不…     

浅谈函数y=k/x-a ＋ b （a,b∈R,k≠0）图像的作法

函数图像是是函数的一种表达形式,它形象地显示了函数的性质,为研究数量关系提供了“形“的直观性,是探求解题途径、获得问题结果的重要工具。