无限小及其意义

微识分学是由牛顿(1642—1727)和莱布尼兹(1646—1716)所创立。当初,这两人创立微积分的思想是不同的。牛顿是用极限的思想,而莱布尼兹是用无限小的思想。按牛顿的思想形成的极限微积分理论——标准分析,在今天已广泛流行;而按莱布尼兹的思想直到三百年后的二十世纪六十年代才由美国数学家逻宾逊用数理逻辑的方法形成第一个精确的无限小微积分理论——非标准分析。二十年来熟悉这一理论的人逐渐多起来,他们发现无限小微积分与极限微积分相比,有着突出的优点:在理论上不仅本身是严密完整的,而且可以使许多数学证明大为简化,在方法上简洁直观。这将有助于新的发现;也便于教学,学好初等代数的人就能接受。     

微积分理论发展的历史沿革

本文遵循历史发展的轨迹,探讨微积分理论发展的历史过程。     

无限小转动是赝矢量

在一般的理论力学教材中,都是按右手螺旋法则在转轴上截取一个有方向的线段dn来代表无限小转动的量值和方向,并且由于dn遵守平行四边形加法所应遵守的对易律,因此,无限小转动dn是一个矢量。这样确定的矢量dn是否有别于普通的矢量(如位矢r,速度v等)?如果有,为什么又可以用它计算刚体上任一点的速度呢?这两个问题在教材中一般都不加以论述。因     

用微积分理论证明不等式的方法

高等数学中所涉及到的不等式,大致可分为两种:函数不等式(含变量)和数值不等式(不含变量).对于前者,一般可直接或稍加变形构造一函数,从而可通过研究所构造函数的性质,进而证明不等式;对于后者,我们也可根据数值不等式的特点,巧妙地构造辅助函数,从而将数值不等式问题转化为函数的问题,研究方法正好与前者相似.     

区间微积分

本讲以"区间微积分"代替现行的"点态微积分",从而使三者,微分、积分和基本公式,一口气被隐含在微分的一个定义(区间化)之中,无需另证.这样的微积分,只要一堂课,无需一学期,不难、不长、无痛,使数学跟物理同步,不再拖物理的后腿.     

漫谈微积分

微积分的思想方法是17世纪产生的关键性的数学思想方法,不仅是学生以后学习高等数学．以及许多数学分支的基础,对于培养学生的数学思维,增强学生的解题能力也有很大的促进作用。微积分作为一个强大的工具,也可以帮助我们解决一些用初等数学思想处理比较繁琐的数学问题。     

说说微积分

古典数学问题中的量,有些是已知的,有些是未知的,总之,从未说它们是处于不停地变化之中,而微积分则是建立在变量概念和极限方法之上的一门数学学科.它能深刻描述自然和社会中各种事物的运动状态,给出古典数学不能描述的性质,或者说初等数学与高等数学有本质的区别.     

牛顿·莱布尼兹·微积分

牛顿是英国物理学家、数学家和天文学家,生于林肯郡的一个农村,从小喜欢手工劳动.1665年毕业于剑桥大学.1669年任该校数学教授.他曾担任英国皇家学会会长.牛顿在华里士求积问题的直接影响下发明了微积分,他开始称为“流数术”.这方面的理论主要记在下面三本书中:《无穷多项方程分析》,《流数术》和《曲线求积法》.     

微积分拾趣

微积分是理工科、经济类的一门重要基础课程。学好微积分,可以为学习其它学科打下坚实的基础。本文的目的以期提高学习微积分的兴趣,从中也可以学习微积分解题的综合分析能力和技巧。为此,以下所举各例共大家研讨时参考。 例1.如果函数φ(x)、f(x)、g(x)为X∈R上的单调增加函数,那么二重函数φ[φ(x)]、f[f(x)]、g[g(x)]在X∈R上是否也是单调增加函数?     

微积分教学中数学理论和哲学思想的联系

数学与哲学是密切联系、相辅相成的.数学理论中蕴含了丰富的哲学思想,哲学思想又指导着数学理论的发展.研究哲学思想和数学理论的联系,是认识数学的需要,也是研究数学,发展数学的需要.以微积分为例,探讨微积分中丰富、典型、深刻的辩证法思想,用哲学思想来指导教学和学习,可以使学生站在较高的角度认识数学、理解数学,提高学生的观察能力、思维能力、推理能力和创新能力.     

区间微积分

本讲以“区间微积分”代替现行的“点态微积分”,从而使三者,微分、积分和基本公式,一口气被隐含在微分的一个定义(区间化)之中,无需另证.这样的微积分,只要一堂课,无需一学期,不难、不长、无痛,使数学跟物理同步,不再拖物理的后腿.     

微积分理论在农业科学研究中建立数学模型的应用

运用微积分理论,建立施肥与产量,高产适宜密度,稻麦分蘖增长变化、群体光合作用等数学模型。为寻求高产量最佳施肥量,最适密度以及如何掌握稻麦分蘖消长规律,使群体动态沿着高产轨道运行,保持高光效最佳群体分布,提供合理的分析方法和定量指标参数,充分反映微积分理论是现代农业科学发展中不可缺少的理论基础。     

理解微积分对立统一关系 掌握微积分基本分析方法

一、微积分基本公式 我们知道,对于求变速直线运动的路程的问题,可以用两种方法计算: 第一种,若已知速度V(t),那么从t=a到t=b物体所经过路程S,可用积分算出,即 S=lim∑V(t)△t=∫v(t)dt 第二种,若已知运动规律s=s(t),那么当t=a到t=b时,路程函数改变量S(b)—S(a)就是物体从t=a到t=b所经过路程S,即 S=S(b)-S(a) 从以上两种解法的结果得到 S=∫V(t)dt=S(b)-S(a) 其中,路程函数S(t)与速度函数V(t)的关系是:S'(t)=V(t)。 一般情况,若F(x)是f(x)的原函数,     

从微积分的发展来看高等数学微积分的教学

微积分作为高等数学的必修课程,历来是高等院校的必开课程.微积分与实际生活密不可分,它应用于天文学、力学、化学、生物学、工程学、经济学等自然科学、社会科学及应用科学各个分支中,在科学技术飞速发展的今天,微积分更是有了越来越广泛的应用.高等教育院校作为我国的最高学府,每年都会吸纳很多人才,也会向社会输送很多人才.这些学生毕业后大多会从事科技研究工作,所以怎样让学生接受并学会枯燥无味的微积分知识,是摆在教育工作者面前的大难题.本文首先分析微积分的发展历史,进而从微积分发展的角度,针对高等数学的微积分教学提出几点教学建议.     

微积分拾零编译

本文从文［1]—[5]中编译其中一些主要结果和方法，这些结果和方法在微积分的研究方面颇具特色，具有独到之处。     

漫话微积分史

微积分是许许多多科学家长期探索而缓慢形成的。从逻辑思维的观点看 ,微积分经历了肯定 ,否定和否定之否定三个发展阶段。     

漫话微积分史

微积分是许许多多科学家长期探索而缓慢形成的。从逻辑思维的观点来看，微积分经历了肯定，否定和否定之否定三个发展阶段。