三角形“内点”的一个性质及其应用

三角形的“重心”、“内心”都是三角形内的点,它们有许多独特而优美的性质．本文给出三角形内任一点（称之为“内点”）的一个性质,并举例说明它在解某些平面几何问题中的应用．定理设Ｐ是△ＡＢＣ内一点,ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ交对边于Ｄ、Ｅ、Ｆ．则（１）ＡＰＰＤ＝ＡＦ...     

函数与几何结合的综合题

中考数学试题中经常出现函数与平面几何相结合的综合题 ,解这类题要求考生能灵活掌握函数的性质与平面几何图形的特征及相关知识 ,其基本思想是“数形结合” .图 1例 1　如图 1 ,Ａ、Ｂ是直线ｌ上的两点 ,ＡＢ =4ｃｍ ,过ｌ外一点Ｃ作ＣＤ∥ｌ,射线ＢＣ与ｌ所成的锐角∠ 1 =6 0°,线段ＢＣ =2ｃｍ .动点Ｐ、Ｑ分别从点Ｂ、Ｃ同时出发 ,Ｐ以每秒 1ｃｍ的速度沿由Ｂ向Ｃ的方向运动 ,Ｑ以每秒 2ｃｍ的速度沿由Ｃ向Ｄ的方向运动 .设Ｐ、Ｑ运动的时间为ｔ(秒 ) ,当ｔ>2时 ,ＰＡ交ＣＤ于点Ｅ .( 1 )用含ｔ的代数式分别表示ＣＥ和ＱＥ的长 ;( 2 )求…     

寻找二面角的平面角的关键

求一个二面角的平面角的大小是高中立体几何的一个重要内容 ,也是一个难点 .学生往往不是不会计算 ,而是找不到二面角的平面角 .二面角的平面角定义告诉我们 :以二面角棱上任意一点为端点 ,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 ,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 .我们可以将这两条射线叫做“前两个量” ,如图 1 ,二面角α—ｌ—β ,Ｐ∈ｌ,ＰＡ α ,ＰＢ β且ＰＡ⊥ｌ,ＰＢ⊥ｌ,将ＰＡ、ＰＢ叫做“前两个量” .连结ＡＢ ,可以将“ＡＢ”叫做“第三个量” ,显然ＡＢ⊥ｌ.在实际解题过程中 ,无论是已知二面角的大小还是要求二面角的大…     

对教材中点到直线的距离公式推导的建议

人教版高级中学课本《平面解析几何》全一册 (必修 )第一章第 1 .1 0节“点到直线的距离”在开头这样写道 :“已知点Ｐ(ｘ0 ,ｙ0 )和直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 ,怎样求点Ｐ到直线ｌ的距离呢 ?根据定义 ,点Ｐ到直线ｌ的距离是点Ｐ到直线ｌ的垂线段的长 .设点Ｐ到直线ｌ的垂线为ｌ′,垂足为Ｑ .由ｌ⊥ｌ′可知ｌ′的斜率为 ＢＡ(Ａ≠ 0 ) ,根据点斜式可写出ｌ′的方程 ,并由ｌ与ｌ′的方程求出点Ｑ的坐标 ;由此可根据两点距离公式求出 |ＰＱ|,这就是点Ｐ到直线ｌ的距离 .这个方法虽然思路自然 ,但是运算很繁 .”接着一转笔锋 ,用平面几何和三…     

高斯作椭圆的切线引起的思索

一、三位数学家作椭圆切线的三种方法怎样从椭圆外一点作椭圆的切线呢？有一次大数学家高斯的朋友舒马赫给他写信,说明了数学家勒姆柯尔关于过椭圆外一点,引椭圆切线的方法．勒姆柯尔首先过点Ｐ引四条割线ＰＡｉＢｉ（ｉ＝１,２,３,４）,且Ａ１Ｂ２∩Ａ２Ｂ１＝Ｃ,...     

关于复平面上的一种轴反射变换及其应用

本文介绍了一种复平面上的轴反射变换 ,并举例说明把坐标平面上的有关求轴对称点坐标的问题 ,转化到复平面上来解决 ,可以使运算变得简捷 .为行文方便 ,我们约定文中所用大写字母既表示复平面上的点 ,也表示相应的复数 .定理　设Ａ、Ｂ为复平面Ｃ上的两个不同点 ,过Ａ、Ｂ两点的直线为ｌ ,则以直线ｌ为轴的轴反射变换是ｆ(Ｐ) =Ｂ-Ａ Ｂ - Ａ ( Ｐ- Ａ) Ａ (Ｐ ∈Ｃ) .( )　　证明　记Ｐ′ =ｆ(Ｐ) ,∵　 (Ｂ -Ａ) (Ｐ -Ｐ′) (Ｂ -Ａ) (Ｐ -Ｐ′)=( Ｂ - Ａ)〔(Ｐ -Ａ) - Ｂ -Ａ Ｂ - Ａ ( Ｐ - Ａ)(Ｂ -Ａ)〔( Ｐ - Ａ) - …     

极限思想在解题中的应用

“极限”是高中数学中的重要的概念 ,也是高考必考的内容之一 ,在高中数学教学中深受广大师生的重视 .但一般情况下大家往往只把注意力放在求某一个式子的极限值或用定义证明极限等问题上 ,而对极限思想的应用还未引起足够的重视 .笔者在数学教学和辅导中遇到不少数学题用一般方法解答十分繁琐而应用极限思想来处理更能体现数学的美妙之处 .以下献上几道应用极限思想解答的数学习题 ,与读者切磋 (每道题给出两种解法 ,旨在比较中知其繁简 ) .题 1　过椭圆ｘ2 9ｙ2 =36上一点Ｐ(32 ,2 )的两条弦ＰＡ、ＰＢ ,分别与长轴交于Ｍ、Ｎ两点 ,若｜…     

再谈1999年高考物理第15题的解法

本刊１９９９年第１１期、第１２期都刊登了当年高考物理第１５题的解法，我认为这两种解法比较复杂．它们都应用到几何证明及几何计算，同时，还应用到物理上找等势点、作等势线的知识．这样的解法步骤多、过程复杂，特别是在正方形ＡＢＣＤ的对角线ＡＣ上找Ｂ点的等势点是学生一时难以想到的． 我们知道，在匀强电场中，如两条线平行，则在这两条线上距离相等的两点间电势差相等．如图１所示：ｌ１、ｌ２是匀强电场中的两条平行线，Ａ和Ｂ，Ｃ和Ｄ分别是１１、１２上的两点，如有ＡＢ＝ＣＤ，则有ＵＡＢ—ＵＣＤ．证明如下： 过Ａ点作电场…     

对一道竞赛题的探究

对一道竞赛题的探究陈桂芳（兰州市四十四中７３００７０）题目过∠Ａ内一定点Ｐ的直线与这个角的两边交于Ｂ、Ｃ两点，问１ＰＢ＋１ＰＣ何时取到最大值．这是一道美国数学奥林匹克试题，其解法已在多家刊物上出现，即ＰＡ⊥ＢＣ时，１ＰＢ＋１ＰＣ取到最大值．本文从这一...     

“正难则反”数学思维的应用

“正难则反”是解答数学问题的一种灵活思维 方法，它的意思是；当我们从正面入手解答数学问题 感到困难时，可以考虑从问题的反面着手去解答，如 我们平时用到的“反证法”就是这一数学思维的具体 运用。 下面结合具体的例子，谈谈“正难则反”这一数 学思维的应用。 １解答集合问题 例１已知集合Ａ＝｛（ｘ，ｙ）ｙ＝４ｘ２－２（ｐ －２）ｘ－２ｐ２－ｐ＋１），集合Ｂ＝｛（ｘ，ｙ）－１≤ｘ ≤ｌ，ｙ＞０｝，若ＡＢ≠，求实数Ｐ的取值范围． 分析要使ＡＢ≠，则须满足在－１≤ｘ ≤１时，抛物线至少有一点在ｘ轴的上方；其反面是 ＡＢ…     

数学概念与生活概念

学习数学时，人们总喜欢以日常生活中熟悉的概念作比喻，帮助形成数学概念．在学直线公理“过两点有且只有一条直线”时，有位老师联系这样一个例子：几年前，在《西安大追捕》这部电视剧中，一个血债累累的杀人犯为逃避警方的追捕，躲在贩毒同伙家的阳台上试枪，准备杀害追捕他的警察。     

隐去结论,让学生自己去探索

隐去结论，让学生自己去探索湖南省长沙市第２９中学熊跃农我们先看一组问题：图１１．如图１，两圆相交于Ａ、Ｂ两点，过Ｂ点的直线交两圆于Ｃ、Ｅ，在ＢＡ的延长线上任取一点Ｐ，连结ＰＣ、ＰＥ，分别交两圆于Ｄ、Ｆ．（１）图中除Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ及Ａ、Ｂ、Ｅ、Ｆ两组四...     

关于三角形的等外接圆点

设Ｐ是△ＡＢＣ内的点,使得△ＰＡＢ、△ＰＡＣ、△ＰＢＣ的内切圆半径相等,则称Ｐ为△ＡＢＣ的“等圆点”。《中等数学》１９９７年第３期（三角形的“等圆点”问题）对这种等四点作了研究。受此文启发,本文考虑使△ＰＡＢ,△ＰＡＣ,△ＰＢＣ外接圆半径均相等的点Ｐ的性质问题,得出以下结果。定理设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面上的一点,那么Ｐ使△ＰＡＢ、△ＰＡＣ、△ＰＢＣ的外接回半径均相等的充要条件是Ｐ是否△ＢＣ的垂心或Ｐ在西△ＡＢＣ的外接回上。证明设△ＡＢＣ、△否则明、△ＡＯＣ、△ＢＰＣ的外接四分别为Ｏ、Ｏ１、Ｏ２、Ｏ…     

充要条件缺“一点”

充要条件缺“一点”河南汤育景人民教育出版社出版的职高《数学》第二册１４９页例２给出结论：“同一平面的两条斜线段相等的充要条件是它们在这个平面上的射影相等或它们与平面所成的角度相等”。教材这样叙述这个知识点是不科学的。如图１，ＡＯ⊥ａ，Ｂ是ＡＯ上一点，...     

点与直线关系的一个应用

已知点Ｐ(ｘ1,ｙ1)不在直线ｌ:Ａｘ Ｂｙ Ｃ =0 (Ｂ≠ 0 )上 ,若Ｐ在ｌ的上方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ)>0 ;若Ｐ在ｌ的下方 ,则Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .1　证明　设Ｐ0 (ｘ1,ｙ0 )为ｌ上的一点 ,则Ａｘ1 Ｂｙ0 Ｃ=0 ,所以Ｂｙ0 =- (Ａｘ1 Ｃ) ,有Ｂ2 ｙ0 =-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) .　　若Ｐ在ｌ的上方 ,则ｙ1>ｙ0 ,∴Ｂ2 ｙ1>Ｂ2 ｙ0 ,即　　　Ｂ2 ｙ1>-Ｂ(Ａｘ1 Ｃ) ,得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) >0 ;　　若Ｐ在ｌ的下方 ,则 ｙ1<ｙ0 ,同上可得Ｂ(Ａｘ1 Ｂｙ1 Ｃ) <0 .2　应用例 1　已知直线ｌ :ａｘ ｙ 2 =0 ,点 Ｐ( - 2 ,1) ,Ｑ( 3,2 ) ,且Ｐ、Ｑ位于直…     

一道高考题的推广及其应用

一道高考题的推广及其应用中国科大附中黄严生如图，三棱锥Ｐ－ＡＢＣ中，已知ＰＡ⊥ＢＣ，ＰＡ＝ＢＣ＝ｌ，ＰＡ与ＢＣ的公垂线段ＥＤ＝ｈ．求证：三校锥Ｐ－ＡＢＣ的体积这是１９８７年的一道高考题，此题可以推广成下面的命题。如图，三校推Ｐ－ＡＢＣ中，ＰＡ与ＢＣ所...     

对称在最值问题中的应用

当解有关解析几何中的综合题时,常遇到求极值的问题,有时需要应用点关于直线对称的性质,解满足以距离和最小或距离差的绝对值最大为条件的综合题．一、解以满足距离和最小为条件的综合题我们知道,如果已知Ａ、Ｂ两点在直线的同侧,如何在直线ｌ上找一点Ｍ使｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜最小：可先求出点Ａ（或Ｂ）关于直线ｌ的对称点Ａ′（或Ｂ′）,连结Ａ′Ｂ（或ＡＢ′）,它与ｌ的交点为Ｍ,则Ｍ必满足条件｜ＭＡ｜＋｜ＭＢ｜最小．例１　已知直线ｌ：ｘ－ｙ＋９＝０,以椭圆ｘ２＋４ｙ２＝１２的焦点为焦点,且过ｌ上一点Ｍ的椭圆,使其长轴…     

切勿忽视隐含条件

在求解一些数学题目时，若不注意隐含条件的挖掘，往往容易造成错解。下面试举几例说明之。 例１．双曲线上的一点Ｐ到右焦点的距离为５，则下面结论正确的是（）。 Ａ．Ｐ到左焦点的距离为８； Ｂ．Ｐ到左焦点的距离为抡 Ｃ．Ｐ到左焦点的距离不确定３ Ｄ 这样的点Ｐ不存在 错解：设双曲线左、右焦点分别为Ｆ１、Ｆ２，则由双曲线的定义，＝－５（舍去）故选Ｂ 分析：错解忽视了双曲线定义中“点Ｐ到两焦点Ｆ１、Ｆ２距离的差的绝对值是常数”的限制条件：这个常数不仅必须满足小于｜Ｆ１Ｆ２｜，还要同时满足 ｜ＰＦ１｜＋｜ＰＦ２｜≥｜…     

浅议数形结合方法的应用

数形结合是高考重点考察的数学思想之一 ,在各个层次、各个阶段的命题中 ,都有着较充分的体现 .数形结合方法使用的主动性和熟练性 ,集中表现出学生的数学意识和潜质 ,反映了数学的简练和趣味 .就中学数学内容而言 ,数形结合多指以形助数 ,即以图形或图像之关系反映相应的代数关系 ,并解决有关代数问题 ,具体应关注以下几个方面 :1　以图形增强代数概念的直观性　　　　　图 1例 1　已知Ｐ点分ＡＢ的比为 13,则Ｂ点分ＡＰ的比为多少 ?此问题若以有向线段数量来分析 ,至少要注意(1)点分有向线段所成比的定义 ;(2 )对于数量有ＡＢ=-ＢＡ ,ＡＢ…     

关于勃罗卡角、点的两个关系式

关于勃罗卡角、点的两个关系式河南石油勘探局职工大学张永召如图，Ｐ为△ＡＢＣ中一点，若∠ＰＡＢ＝∠ＰＢＣ＝∠ＰＣＡ＝α，则Ｐ点称为勃罗卡点，角α称为勃罗卡角．定理１设α为△ＡＢＣ的勃罗卡角，则１ｓｉｎ２α＝１ｓｉｎ２Ａ＋１ｓｉｎ２Ｂ＋１ｓｉｎ２Ｃ．证明...