一个有理型不等式问题类比猜想的证明

《数学通报》2010年第8期问题1869如下: 问题1869[1]设a,b＞0. (Ⅰ)若a+b≤√2,则1/1+a2++1/1+ b2≥1/1+(a+b)2 (1) 当且仅当a=b=√2/2时等号成立; (Ⅱ)若ab≥1/2,则1/1+a2++1/1+ b2≤1/1+(a+b)2 (2) 当且仅当a=b=√2/2时等号成立.     

三个二元无理不等式的推广与统一简证

<正>安振平先生在《数学通报》2003年第5期上提出第1435号征解题,即^[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)[1]:设a、b>0,求证:(a/a+3b)^(1/2)+(b/3a+b)(1/2)+(b/3a+b)^(1/2)≥1.并在2003年第6期运用分拆法提供了一种巧妙的解法.安振平先生在《不等式探究》一书中又提出     

《数学教学》两个数学问题的简证与加强

文[1]给出了《数学教学》2011年第2期数学问题与解答中第814题和第815题的解答,其证明过程较为繁琐且具有技巧性,笔者在此给出其较为简单的证明,并对第814题进行加强,给出其上确界.第814题:设a、b、c、d>0,且a+b+c+d=1,求证:a/1+a+b/1+b+c/1+c+d/1+d<1/1+abcd.……(1)     

构造方程时要三注意

贵刊1990年第五期《方程组的解法及其应用》一文中的例5及其解法是: 若a、b为实数,且a~2+3a+1=0,b~2+3b+1=0,求b/a+a/b的值。(1987年泉州市初二双基邀请赛题) 解:由已知及方程根的定义可知,a、b是方程x~2+3x+1=0的两根,由韦达定理得a+b=-3,ab=1,∴b/a+a/b=(a~2+b~2)/ab=((a+b)~2-2ab)/ab     

一个有理不等式猜想的证明

文[1]给出了如下不等式:设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a/1+a+b/1+b+c/1+c+d/1+d＜1/1+abcd (1) 文[2]给出了不等式(1)的一个类比 定理 设a,b,c,d＞0且a+b+c+d=1,则a2/1+a2+b2/1+b2+c2/1+c2+d2/1+d2＜1/1+a2b2c2d2(2) 并提出如下.     

《一组猜想不等式的证明》引发的思考

在文[1]中,陆爱梅老师提出一组四个猜想不等式: 猜想1 已知a,b,c是满足abc=1的正数,证明:a2/a3+2+b2/b3+2+c2/c3+2≤1/3(a+b+c); 猜想2 已知a,b,c是满足a+b+c=1的正数,证明:a2/b+c2+b2/c+a2+c2/a+b2＞3/4; 猜想3 已知a,b,c是满足a+b+c=3的非负实数,证明:a+b/a+1+b+c/b+1+c+a/c+1≥3; 猜想4 已知a,b,c是两两不同的实数,证明:(a-b/a-c)2+(b-c/b-a)2+(c-a/c-b)2≥a2+c2/a2+b2+b2+a2/b2+c2+c2+b2/c2+a2.     

一个分式不等式的多参数推广及应用

文[1]从指数及项数方面推广不等式 (a+1)3/b+(b+1)3/c+(c+1)3/a≥81/4.(1) 其中a,b,c∈R+(<中学数学>2000年第4期数学奥林匹克问题高91.)     

一类三角形不等式问题的探讨

2013年OlympicRevenge 第3题为: 已知a,b,c,d是满足ab+ ac+ad+ bc+ bd+ cd =6的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1+1/d2+1≥2.(1) 文[1]退化思考得到 命题4 已知a,b,c是满足ab+bc+ca =3的正数,求证:1/a2+1+1/b2+1+1/c2+1≥3/2.(2) 在(2)式中令a=√tanA/2,b=√3tanB/2,c=√3tanC/2,则命题4可变为:     

(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,((a+b)/2+2/(a+b))~2中谁最大?

1982年全国中学生数学竞赛试题中有一道选择题是要判断“当a≠b,a>0,b>0时(a+1/a)(b+1/b),(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2及((a+b)/2+2/(a+b))~2中哪个最大?”,答案是这三个数中没有最大的,由此产生下列问题:设a≠b,a>0,b>0,A=(a+1/a)(b+1/b),B=(ab~(1/2)+1/ab~(1/2))~2,C=((a+b)/2+2/(a+b))~2试比较A、B、C的大小?     

一个不等式猜想的否定——兼擂题(98)解答

贵刊2009年第4期擂题(98)如下: 设a,b,f,d,e＞0,且a+b+c+d+e＝1,λ≥0,证明或否定:对任意n≥2或n＜0,有 an/1+λa2+bn/1+λb2+cn/1+λc2+dn/1+λd2+en/1+λe2≥53-n/25+λ (1)     

几道课本习题的推广及应用

新版高中数学教材第二册 (上 )有这样几道习题 .第 1 1页习题 6 .2第 1题 ,求证 :(a + b2 ) 2 ≤ a2 + b22 可以改写成 a2 + b2 ≥(a + b) 22 .第 1 6页习题 6 .3第 1 (2 )题 ,求证 :a2 + b2+ c2≥ ab+ bc+ ca可以变形为 :3 (a2 + b2 +c2 )≥ a2 + b2 + c2 + 2 (ab+ bc+ ca) ,所以 a2+ b2 + c2≥ (a + b+ c) 23 .第 3 1页第 5题 ,求证 :3 (1 + a2 + a4 )≥ (1+ a + a2 ) 2 ,则是上题的一个特例 .由此 ,我们可以推广之 ,得 :定理 :ai∈ R,i =1 ,2 ,… ,n,则当 n≥ 2时∑ni=1a2i ≥(∑ni=1ai) 2n (1 )证明 :用数学归纳法n =2时 ,a21+ a22 ≥ …     

Klamkin不等式逆向的一个改进

设a,b,c是△ABC的三边边长,则有如下 Klamkin不等式:a/b+b/c+c/a≥1/3(a+b+c)(1/a+1/b+1/c) (1)文[1]给出了Klamkin不等式的如下逆向形     

一个不等式结论的再推广

题1:设a>1,b>1,求证:a2/b-1+b2/a-1≥8.(第26届独联体数学奥林匹克竞赛题) 题2:已知实数a>1,b>1,c>1.求证:a3/b2-1+b3/c2-1+c3/a2-1≥9(√3)/2.当且仅当a=b=c时,等号成立(<数学通报>2000年第11期数学问题解答1284).     

运用比例性质的常见错误剖析

初中《几何》第二册第4页上,叙述了比例的两个重要性质: (1)若a/b=c/d,则a±b/b=c±d/d。(合比性质) (2)若a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0),则a+c+…+m/b+d+…+n=a/b。(等比性质) 这两个性质可以广泛应用于代数、几何的众多方面,但在应用时,常会产生错误。     

一道美国竞赛题的简证及推广

题目 已知正实数a,b,c满足abc=1,证明:1/a5(b+2c)2+1/b5(c+2a)2+1/c2(a+2b≥1/3. 这是2010年美国国家队选拔考试第二题,刊在《中等数学》2012年第8期上,参考答案上通过构造两个和式,连续二次运用柯西不等式进行证明,显得有些繁琐,本题其实可以利用基本不等式得到简捷证明.     

基本不等式a~2+b~2≥2ab的变形与应用

基本不等式a2+b2≥2ab在不等式的证明中起重要作用,但有些不等式直接用它去证明比较困难,而应用该不等式的变形去证明却比较方便. 变形1a2+b2≥2ab a2+b2≥1/2(a+b)2. 例 1 已知 a,b,c∈R+,且a+b+c=5,a2+b2+c2=9,试证明:1≤a、b、c≤7/3. 证明:由已知 a+b=5-c,a2+b2≥9-c2,∵a2+b2≥1/2(a+b)2,∴9-c2≥1/2(5-c)2,∴3c2-10c+7≤0,∴1≤c≤7/3,同理1≤a≤7/3,1≤b≤7/3. 例2 设a,b∈R+,且a+b=1,求证:(a+1/2)2+(b+1/b)2≥25/2.     

2013年全国高中数学联赛B卷第10题的推广与证明

问题（2013年全国高中数学联赛B卷第10题）假设a,b,c>0,且abc=1,证明:a+b+c≤a2+b2+c2.这是一道优秀试题,现给出异于参考解答的几个证明.证法1由均值不等式得a2+1≥2a,b2+1≥2b,c2+1≥2c,a+b+c≥33（abc）^1/2=3,相加得a2+b2+c2+3≥2（a+b+c）=a+b+c+（a+b+c）≥a+b+c+33（abc）^1/2=a+b+c+3.     

一类赛题求解技巧

例1.已知(x-a-b)/c+(x-b-c)/a+(x-c-a)/b=3,且1/a+1/b+1/c≠0. 则x-a-b-c=____.(第8届缙云杯数学竞赛) 解由已知得(1/a+1/b+1/c)(x-a-b-c)=0,故应填“0”.这是“变换已知”到未知,另一是变换未知到已知.     

2014年日本数学奥林匹克不等式试题的推广

已知a/1+9bc+k(b-c)2+b/1+9ca+k(c-a)2+c/1+9ab+k(a-b)2 ≥1/2①,对满足a+b+c=1的所有非负实数a,b,c都成立,求实数k的最大值. 这是2014年日本数学奥林匹克高中决赛第5题,在式①中,令a=b=1/2,c=0,可得k≤4.关于该题的解答,可参考文[1],此处笔者拟给出式①的一个推广.     

一道竞赛题的演绎

题目(1991年“希望杯”竞赛试题)已知两数a、b,ab≠1,且2a2+1234567890a+3=0 (1)3b2+1234567890b+2=0, (2)则b/a=____. 解:显然b≠0,由(2)得, 2(1/b)2+12345678901/b+3=0,(3)∵ab≠1,∴a≠1/b.由(1)、(3)可得,a、1/b分别是一元二次方程2x2+123467890x+3=0的两个根,因此b/a=a·1/b=3/2.