成果集锦

成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录内容较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮编：３０１８００．自然数集的一个有趣性质我校数学竞赛曾出过这样一道题：把数１，２，…，１６分成两组，使每组的８个数中任两...     

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初等数学问题 (续 ) 1 7的解决杨之在“第四届全国初数会议”上所作“初等数学问题 (续 )”的报告中 ,提出的无限棋盘上最小图形问题(问题 1 7)是 :在无限棋盘上 ,求一个由 1 0 0个正方形 (棋盘格 )组成的图形 ,使其直径 (图形任两点间的最大距离 )达到最小 ,这最小直径是多少     

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多项式幂展开式的再发现唐志华江苏省宜兴市丁蜀高中编者按：学完“二项式定理”之后,如果我们懂得一点类比、推广等合情推理方法,自然会想到去研究（a＋b＋…＋d）”展开式,但往往走入误区．以下是唐志华老师再发现多项式定理的真实（大大减缩叙述）的过程．（a＋b）”展开式的系数可排成“杨辉三角”,且有一系列美妙的性质,这促使我研究（a＋b＋…＋d）”展开式的系数．先从（a＋b＋c）”研究起,命n＝1,2,3,4等,观察,看不出任何规律性．这时,有两条路：一是类比于（1＋x）”,考虑（1＋x＋x2）”,发现有类似的系数三角：有类…     

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ｗｈｃ１３６的证明文［１］第２２９页列出杨学枝的如下猜想：ｗｈｃ１３６设Ｐ、Ｑ、Ｒ分别为△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的点,记ＡＱ＋ＡＲ＝ｕ,ＢＲ＋ＢＰ＝λ,ＣＰ＋ＣＱ＝ｖ,则ｐ＋ｑ＋ｒ≥（μ＋λ＋υ）－１２（λυμ＋υμλ＋μλυ）,其中ＱＲ＝ｐ,...     

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成果集锦关于三角形ｎ等分线的三个命题定理１［１］设△ＡＢＣ的的ｎ（ｎ≥２）等分线交对边ＢＣ于Ｄ１、Ｄ２、…、Ｄｎ－１，则该定理应用面积法易证，此处略．定理２条件同定理１，则特别，当ｎ＝２时，得角平分线公式定理３条件同定理１，则证明：设，则．在△ＡＤＣ...     

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球体积公式的极限法推导本文的目的在于使学生明白 ,球体积公式不只有应用祖日恒原理这一种推导方法 .定理　半径为Ｒ的球 ,其体积Ｖ =43πＲ3 .证明 :考虑半球 ,将其大圆弧分为 2ｎ等份 (如图 ) ,过分点作球大圆的平行截面 ,设第ｉ个截面 (自下而上 )的半径为ｒｉ,其圆周上一点与球心连线与大圆面所成角θｉ=ｉπ2ｎ,ｉ=0 ,… ,ｎ(ｒ0 =Ｒ ,ｒｎ=0 ) .第ｉ- 1与第ｉ个截面间的距离为ｈｉ,以其为上、下底构成的圆台体积记为Ｖｉ,则可以证明Ｖ =2ｌｉｍｎ→∞ ∑ｎｉ =1Ｖｉ.我们来计算Ｖｉ.由于ｒｉ=Ｒｃｏｓθｉ,ｒｉ-1 =Ｒｃｏｓθｉ-1 ,…     

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成果集锦一个“平面一点型”三角形不等式定理设△ＡＢＣ的边为ａ、ｂ、ｃ，其内切与外接圆半径分别为Ｒ、ｒ，Ｐ为平面内任一点，则（１ａ＋１ｂ＋１ｃ）（ＰＡ＋ＰＢ＋ＰＣ）≥（２５＋６ｒＲ－ｒＲ－ｒ）１２（△ＡＢＣ为正三角形，Ｐ为其中心）．定理的证明需用如下事...     

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由三堆物博弈产生的一个有趣数阵由个数分别为ａ、ｂ、ｃ的三堆物体中 ,甲乙轮流拿取 :①每次可从任一堆中取走任意个 ;②每次至少取一个 ;③每次只能从某一堆上取 ,不得从两堆或三堆上取 .那么 ,谁取到最后一场 ,就算获胜 .这时 ,我们称数组 (ａ ,ｂ ,ｃ)为一个局势 .如果面对     

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本刊 1999年第 11期发表了杨学枝的一个不等式猜想 :设a、b、c为锐角△ABC的三边 ,a≥b、c,ma、mb、mc 分别为三边上的中线 ,则 2a -b -c≥mb mc- 2ma.到 2 0 0 0年 1月中旬 ,收到“证明”十余份 ,现摘发其中一部分 (按来稿先后顺序 ) ,以飨读者     

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成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮码３０１８００．涉及三角形旁切圆的两条定理在△ＡＢＣ中，采用通常符号．设它的三个旁切圆均外切于⊙Ｌ且内切于⊙Ｍ，则⊙Ｌ和⊙Ｍ...     

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广义射影定理定理　在△ＡＢＣ中 ,ＡＤ是高 ,ＡＢ =ｃ,ＡＣ =ｂ.(1 )若Ｄ在边ＢＣ上 ,则ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤ =ＡＣ2-ＢＣ·ＣＤ =ＡＢ2 -ＢＤ·ＢＣ =ｂｃｃｏｓＡ ;(2 )若Ｄ在ＢＣ或ＣＢ的延长线上 ,则ＡＤ2 ＣＤ·ＢＤ =ＡＣ2 ±ＢＣ·ＣＤ =ＡＢ2 ＢＤ·ＢＣ =ｂｃｃｏｓＡ .证明 :(1 )当Ｄ与Ｂ或Ｃ重合时 ,等式显然成立 .当Ｄ在ＢＣ上时 ,如图 ,记∠ＣＡＤ =α ,∠ＢＡＤ =β ,则ｃｏｓＡ =ｃｏｓ (α β)=ｃｏｓαｃｏｓβ-ｓｉｎαｓｉｎ β=ＡＤｂ ·ＡＤｃ -ＣＤｂ ·ＢＤｃ=ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤｂｃ .∴ＡＤ2 -ＣＤ·ＢＤ =ｂｃｃ…     

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计算ｃｏｓｎ2π7 ｃｏｓｎ4π7 ｃｏｓｎ6π7的一个通项公式逆用如下组合恒等式[1] : [ｎ2 ]ｋ =0 Ｃｋｎｃｏｓ(ｎ -2ｋ)ｘ=2 ｎ - 1ｃｏｓｎｘ(ｎ为奇数 ) ,2 ｎ - 1ｃｏｓｎｘ 12 Ｃｎ2ｎ(ｎ为偶数 ) ,即将ｘ =2π7,4π7,6π7代入 ,三式相加 ,当ｎ为奇数时 ,ｆ(ｎ) = ｉ=2     

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凸四边形上的最大点在四边形上 ,到各顶点距离之和为最大的点 ,就叫四边形的最大点 .引理 1　设P为凸四边形ABCD的边AD上一点 ,若DB DC≥AB AC ,则PB PC≤DB DC .过P以B、C为焦点作椭圆 ,则A、D至少有一点在椭圆外 ,由DB DC≥AB AC ,故D必在椭圆外 ,于是PB PC≤DB DC .引理 2　设P为凸四边形内一点 ,那么在四边形边上存在点P1,使h(P)≤h(P1) ,其中h(x) =xA xB xC xD .以A、D为焦点过P作椭圆 (图 1 ) ,过P作椭圆的切线交AB于Q ,DC于P1,则Q、P1均在椭圆之外 ,不妨设P1B P1C≥QB QC ,则由引理 1知PB …     

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分割梯形面积的一个不等式定理　在梯形ＡＢＣＤ中,底ＡＢ＝ａ,ＣＤ＝ｂ,ａ＞ｂ,过对角线交点的直线ｌ分梯形为两部分,其面积之差为Δ,梯形面积为Ｓ,则ΔＳ≤（ａ－ｂ）（ａ２＋ｂ２＋４ａｂ）（ａ＋ｂ）３（＝｜ｌ∥ＡＢ）．设梯形对角线交点为Ｏ,过Ｏ作ＥＦ∥ＡＢ,Ｍ、Ｎ分别为ＡＢ、ＣＤ的中点,则ＭＮ过点Ｏ,如图．以下用△ｘｙｚ同时表示三角形和它的面积,Ｓｘｙｚｗ表示四边形的面积．我们分两种情形讨论．（１）ｌ处于ＰＱ位置．作ＥＲ∥ＣＢ交ＯＰ于Ｒ,则Ｒ在ＯＰ上,则△ＰＲＥ≥０,从而△ＰＯＥ≥△ＱＯＦ,同样,△…     

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xｘ2ｎ ｘ2ｎ -1 … ｘ 1的一个下界福建省资源工业学校　吴善和　　定理　设ｘ∈Ｒ ,ｎ≥ 2为自然数 ,则ｘ2ｎ ｘ2ｎ- 1 … ｘ 1 >12 12ｎ 2 .　　 ( )证明 :当ｎ =2时 ,( )式左 =ｘ2 (ｘ 12 ) 2 34ｘ2 ｘ 1=ｘ2 (ｘ 12 ) 2 34(ｘ 23 ) 2 23 >23=右 .设ｎ =ｋ(     

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正ｎ边形的方程多边形方程,不限于“绝对值方程”一种形式,本文就获得了下述定理．定理中心在极点,一顶点为（Ｒ,０）（Ｒ＞０为正ｎ多边形的半径）的正ｎ边形的方程为ρ＝Ｒｃｏｓπｎｃｏｓ１ｎａｒｃｃｏｓ（－ｃｏｓｎθ）．（１）证明：设正ｎ边形Ａ１Ａ２…Ａｎ...     

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筝形初探两个全等的三角形沿对应边拼接的方式有二：一图１是中心对称拼接（图１）,获得的是平行四边形;另一种是轴对称拼接,得到的是本文将研究的图形（图２）．前者可看作将一个三角形以一边的中点为中心旋转１８０°的结果,后者可看作以一边为轴将三角形翻折的结果...     

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成果集锦本栏短文由中国初等数学研究工作协调组杨世明老师摘编，凡摘录较少的，当不影响全文发表．杨老师地址：天津市宝坻县教研室，邮码：３０１８００求黑洞数的初级复合法对初级黑洞（６１７４）、（８６４１９７５３２）等，中间适当插入若干数，可衍生成新的“复合...     

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等差数列的一个性质定理　设 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ,ｍｉ∈Ｎ ,ｉ =1,… ,ｋ.若∑ｋｉ =1ｎｉ=∑ｋｉ=1ｍｉ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .证明 :设 {ｆ(ｎ) }的公差为ｄ ,则ｆ(ｎｉ) =ｆ(ｍｉ) (ｎｉ-ｍｉ)ｄ .于是∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =∑ｋｉ=1ｆ(ｍｉ) ∑ｋｉ=1(ｎｉ-ｍｉ)ｄ=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) ｄ(∑ｋｉ =1ｎｉ-∑ｋｉ=1ｍｉ)=∑ｋｉ =1ｆ(ｍｉ) .推论 1　 {ｆ(ｎ) }为等差数列 ,ｎｉ∈Ｎ ,且∑ｋｉ=1ｎｉ=ｋｍ ,则∑ｋｉ=1ｆ(ｎｉ) =ｋｆ(ｍ) .推论 2　 {ａｎ}是等差数列 ,公差为ｄ ,Ｓ-ｎ 表示前ｎ个奇数项和 ,Ｓ …