妙用因式分解巧解题

<正>因式分解是整式运算的基础,它的应用十分广泛,变化灵活多样,几乎涉及到数学的各个领域.利用因式分解可以进行数值计算,代数式的化简求值,确定不定方程或方程组的整数解,还可以用于说理证明等.为了帮助大家学好这部分内容,本文列举几种题型及解法,供参考.一、巧求算式的值     

一个因式分解定理的两种妙用

介绍了有关实系数二元二次多项式因式分解的一个定理,并将定理用子解决直接确定双曲线的位置和二元二次方程的整数解问题.     

谈整式乘法与因式分解

整式乘法与因式分解是紧密相连的两部分数学基础知识． 1．整数乘法与因数分解 为了更好地认识整式乘法与因式分解．我们先回顾整数乘法与因数分解．     

求二元不定方程整数解的几种方法

求二元不定方程的整数解是数学中一个古老的课题，它不但可以解决一些实际问题，而且也是近年来数学竞赛中的一个重要内容．本文举例介绍其整数解的常见求法．     

用估值法解竞赛题

在与整数有关的竞赛题中,常见的题型有求方程或方程组的整数解,三角形的边长为整数的问题,还有比较特殊的不定方程的整数解等.为了解决这些问题,不可避免的要用到估值和尝试.所谓估值,就是通过利用不等式、利用判别式,利用均值不等式,夹逼等方法,对运算的结果作一个大概的估计,以确定某一个范围,这样不但可以大大提高运算速度,找到正确简捷的运算途径,而且可以优化学生的思维品质.     

例析方案设计题的构建模型与解题要点

分析近几年的中考题,我们发现方案设计类问题常用的数学模型有三种：（1）借助函数图象、函数解析式确定设计方案;（2）构建不等式（组）,利用不等式（组）的整数解,确定设计方案;（3）构建二元一次方程或三元一次方程,利用二元一次方程或三元一次方程的整数解确定设计方案．方案设计类题一般都不是很难,但这类问题的题干一般都比较长,     

例谈因式分解在解竞赛题中的应用

在很多竞赛题中,因式分解的应用很广泛,下面谈谈有关的应用. 一、求不定方程的整数解例1 方程x~2-y~2=2002有无整数解? 解 x~2-y~2可分解为(x+y)(x-y),因为x,y为整数,且     

活用因式分解

因式分解作为一种数学方法,应用十分广泛,利用因式分解可以解决许多数学问题．下面举例说明．     

浅谈一元二次方程的整数根问题

在各级各类的初中数学竞赛中,一元二次方程的整数根问题备受命题者的青睐,本文介绍几种求一元二次方程的整数根的方法以及与此有关的问题的解法.1整系数一元二次方程整数根的求法1.1利用判别式整系数一元二次方程有整数解时,判别式是完全平方数利用这条性质可以确定整参数的值,但需验证这些值是否使方程的根为整数.     

于奇偶矛盾处觅思路

利用整数的奇偶性解有关竞赛题,是近年各类初数竞赛中的一个热点．由于这类问题的切入口较多,学生往往感觉难以下手．笔者查阅了近几年的各地竞赛题,发现这类试题有不少可以利用整数的奇偶性来解题,尤其是“已知两个整数a和b,则a b与a-b的奇偶性相同”     

因式分解的应用

因式分解是一种技巧性很强的恒等变形,它是初中代数的重要内容之一,在解决其他许多问题时有着广泛的应用．根据题目特点,适当地应用因式分解解题,可以简化运算过程,提高解题速度．以下便以几道题目为例加以说明．一、复杂运算简单化二、求值问题迅速化三、整除性质明朗化∴　原式能被１３整除．四、判断合数熟练化例９　若ａ为大于１的整数,求证：ａ４＋４为合数．例１０　求证：对任意自然数ｎ,总能找到自然数ｍ,使得ｍｎ＋４为合数．例１１　四个连续自然数的积与１的和是一个合数吗？解　设四个连续自然数依次为∴　四个连续自然…     

因式分解的桥梁作用

在中学数学中，学习因式分解是培养我们创造能力和思维能力的重要途径，同时对于我们解题技能的培养有着独特的作用．一、因式分解实质是整式乘法运算的逆运算，因此通过加强因式分解的学习，可以使我们所学过的整式运算的知识得到进一步巩固和提高．二、分式加减法中的将异分母化为同分母需要通分，而找最小公分母时也需要将各分母分解因式．分式乘除法要进行约分，而分式约分也首先要将分子、分母分解因式才能进行．因此因式分解是分式运算的基础和工具．三、因式分解也是解某些方程的工具，不仅有些一元二次方程的解法要用到因式分解，有…     

数列中的不定方程问题

<正>数列是高中数学的重要内容,在高考中占有极其重要的地位.数列中不定方程的整数解问题逐渐成为一个新的考查热点.本文拟对与数列有关的不定方程的整数解问题的解法作初步探讨.题型1二元不定方程在高中阶段主要是求出此类不定方程的整数解,方法较灵活,下面介绍3种常用的方法.1.因式分解法.先将不定方程两边的数分解为质因数的乘积,多项式分解为若干个因式的乘积,再由题意分类讨论求解.     

谈学生解不定方程容易出现的几种错误

解二元一次不定方程，我们有如下定理：设不定方程ax＋by＝c（a、b、c为整数且（a、b）＝1）有一个整数解x0，y0，则它的全部整数解可以表示成（，其中t为任意整数。学生在运用定理时，往往忽略定理的前提条件而盲目套用以上通解公式而造成错误。解题中学生容易出现的错误主要表现在：（1）忽略a、b、c是整数的条件病例：不定方程0．b－O．4y一2的一个整数解是X。一0，儿—－5，代入通解公式得该不定方dX一0．4t程的全部整数解为（t是整数。Iy＝5＋O．st（一0．4检查：显然，当t—1时，得（就不是原不定方程的整数解。这是由于没有把方程…     

例谈求简单不定方程的整数解

在数学竞赛中,经常见到一些简单的不定方程,需要求它的整数解,这类试题技巧性强,需要掌握一些特殊方法和技巧,下面举例说明.一、因式分解法这种方法是将方程右边化为常数,左边作因式分解,右边作因数分解,于是将原方程转化为若干个方程组,然后求它们的解.     

例谈数列中整数解问题的求解策略

本文结合教学中学生遇到的困难,以近几年高考或模考中的数列整数解问题为例,谈谈数列中整数解问题的求解策略.策略1 利用多项式因式分解例1 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且2a5-a3=13,S4=16.(1)求数列{an}的前n项和Sn;(2)是否存在正整数m、n(n>m>2),使得S2、Sm-S2、Sn-Sm成等比数列?若存在,求出所有的m、n;若不存在,说明理由.     

整点最优解问题的求解

在解决线性规划问题的过程中,我们经常会碰到实际要求的最优解是整数解的问题,而我们利用图解法得到的解为非整数解,怎么办呢？教材上又没有做详细说明,同学们在学习时不好掌握．实际上在解决这类问题时常用到2种方法,下面举例说明．     

不等式与不等式（组）复习要点

不等式(组)是中考的热点题型,主要考查: 1．运用不等式的基本性质解一元一次不等式(组),借助数轴确定不等式(组)的解集; 2．求一元一次不筹式(组)的整数解、非负整数解等特殊解问题; 3．根据题中数量关系建立不等式(组)或方程和不等式的混合组,解决实际应用问题．     

中考一元二次方程问题归类例析

解一元二次方程的基本方法是直接开平方法、配方法、因式分解法和求根公式法．本例运用因式分解法易知解为1或0，故选C．     

求二次不定方程整数解的几种思路

<正>求不定方程的(正)整数解,是数学竞赛中常见的问题,常见的求解思路有如下几种.一、因式分解法例1求方程xy+x-y=2018的整数解.解原方程变形为xy+x-y-1=2017.∴(x-1)(y+1)=2017,∴{x-1=1,y+1=2017;或{x-1=2017,y+1=1;