拆添项的一点经验

因式分解的拆添项技巧一般较难掌握。对于一个多项式f(x),当已知它有一零点a,即有f(x)=0时,依据因式定理,f(x)便有一个一次因式(x-a),这时对f(x)因式分解之拆添项便有章可循:可按系数比1:-a进行拆、添,下面举几例以示其法。 例1 分解因式:x~3+x~2-x-10. 析解 因为整系数多项式f(x)的最高项系数为1时,a是其常数项-10的约数,有±1,±2、±5,     

因式分解中的十字相乘法

十字相乘法是因式分解的一种较方便的方法,这里加以介绍.我们考察多项式:x~2-8x+15 (1)用配方法因式分解:原式=x~2-8x+16-1=(x-4)~2-1=(x-4-1)(x-4+1)=(x-5)(x-3)至此,我们已经把(1)式分解成两个因式了.现在我们来研究这两个因式(x-5)、(x-3)与多项式x~2-8x+15有怎样的关系?从等式中可以看出,多项式二次项的系数1刚好等于两个因式中x的系数的积1×1=1,常数项15刚好是两个因式的常数项的积(-3)(-5)=15,一次项的系数(-8)刚好是因式的x的系数1、1和常数项-3、-5交叉相乘积的和1×(-5)+1×(-3)=-8.即     

一元二次方程根与系数关系的应用

一元二次方程在有实数根的情况下,它的根与系数之间有着密切的关系,即对于一元二次方程ax^2＋bx＋c=0（a≠0）,若b^2-4ac≥0,则x1＋x2=-b/a,x1x2=c/a,特别地,当二次项系数为1时,两根之和就等于一次项系数的相反数,两根之积就等于常数项．     

巧寻因式(x2±x+1)

我们知道x3-1=(x-1)(x2+x+1),且对于一元多项式F(x)=a1 xn+a2xn-1+…+axx+an+1,若F(1)=0,则F(x)中一定含因式(x-1),若F(x)中不含因式(x-1),又如何寻求f(x)是否含因式(x2+x+1)?事实上,若F(x)含因式(x2+x+1),而不含因式(x-1)时,令x-1≠0,则有F(x)(x-1)=(x3-1)g(x).显然,当x3=1时,F(x)(x-1)=0,故有F(x)=0,而x3=1可转化为x3-1=0即(x-1)(x2+x+1).若x≠1,则必有x2+x+1=0.所以,把x3=1代入F(x)中,一定有F(x)=k(x2+x+1).若不然F(x)≠0.由此,很容易识别F(x)中是否有因式(x2+x+1)其方法是:     

用赋值法进行因式分解

曾有人用赋值为10的方法进行多项式的因式分解,此法虽可行．但在“适当分组”中规律性不强,本文赋值法中的赋值不为固定值,所赋的值是随多项式中的常数而确定,具体地说,所赋的值即是多项式中常数项的最大质因数,如：若常数项为10,则所赋的值就取5;若常数项为8,则所赋的值就取2,等等。本文主要对次数为三次和四次的整系数多项式因式分解给出赋值法的解法。但还不一定很成熟,望同行不吝指教。下面以举例的方式来介绍本法的运用O例1．因式分解：解：6的最大质因数为3,用3代X得;而,注意到最高项系数为1,应有形式：可写成x＋2不…     

谈谈因式分解

本文系统讨论了整系数多项式因式分解的一个核心问题:设 f(x)=a_0x~n+…+a_n,给定 m相似文献   

“xy+ax+by+c”型多项式的因式分解及其应用

“xy+ax+by+c”型多项式若能分解因式,则只能分解成两个一次因式(x+p)与(y+q)的积,即     

关于共轭多项式的一个性质

在复数域C上,设f(x)=C_nx~n C_(n-1)x~(n-1) … C_1x C_0C_i∈C,(i=0,1,2,…,n)是一个复系数多项式,则称 其中是C_i的共轭复数 为f(x)的共轭多项式。 在复数域C上,复系数多项式f(x)与其共轭多项式的最大公因式(f(x),(?)(x))是一个实系数多项式。 事实上,设d(x)=(f(x),(?)(x)),则d(x)|f(x),d(x)|(?)(x),所以(?)(x)|(?)(x),(?)(x)|(?)(x),即(?)(x)|f(x),因此,(?)(x)|(f(x),(?)(x))即(?)(x)|d(x),d(x)|(?)(x),所以d(x)=(?)(x),这说明d(x)的系数为实数,因此,(f(x),(?)(x))是一个实系数多项式。 关于共轭多项式,有一些很有趣的性质,本文仅讨论其中的一个。 定理:若复数α=a bi(a,b∈R)是复系数多项式f(x)的一个根,则α的共轭复数     

数学竞赛中条件多项式的求解方法

多项式理论是代数学的一个重要组成部分，有关多项式方面的问题常常被用作数学竞赛的试题．本文仅就数学竞赛中求解满足某些条件的多项式归纳几种方法介绍如下．1．从分析根的情况入手设n∈N,a_0，a_1，…，a_n∈C（或R，或Z）且a_n≠0，称f(x)=a_nx~n a_(n-1)x~(n-1) … a_0(1）为复（或实、或整）系数一元n次多项式．多项式的次数常记为degf(x)=n．单独的一个非零常数，叫做零次多项式；系数a_0，a_1，…，a_n全为零的多项式叫做零多项式．若数x_0满足f(x_0)＝0，则称x_0为多项式f(x)的根．由代数基本定理：复系数一元n次多项式f（x）有…     

一道因式分解题的多种解法

分组分解是同学们学习《因式分解》这一章的一个难点，特别是当多项式不能直接分组，需要考虑拆项（或添项）分组时，就感到更困难了．为了帮助同学们克服这种困难，本文通过一道因式分解题的多种解法，说明如何拆项（或派项）分组分解因式．若对同学们有所启迪，则甚感高兴．例分解因式：x2－2x2－5x＋6分析从整体上看，既无公因式可提，又不能用公式法或十字相乘法分解因式．因此，应考虑用分组分解法分解因式．但不难看出，此例不能直接分组，故应考虑用拆项（或添项）分组分解法分解因式．解法1拆常数项分组，即把常数项拆成两项，并把…     

因式分解的十二种方法

因式分解的方法多种多样 ,现总结如下 :一、提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式 ,那么就可以把这个公因式提出来 ,从而将多项式化成两个因式乘积的形式 .例 1　分解因式 :x3-2x2 -2x .解　原式 =x(x2 -2x -1 ) .二、应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系 ,如果把乘法公式逆用 ,那么就可以把某些多项式分解因式 .例 2　分解因式 :a2 + 4ab + 4b2 .解　原式 =(a + 2b) 2 .三、分组分解法要把多项式am+an+bm +bn分解因式 ,可以先把它前两项分成一组 ,并提出公因式a ;后两项分成一组 ,并提出公因式b ,从而得到a(m +n) +b(m+n)…     

二次方程的根与二次多项式的分解

设ax2 bx c是给定的(复系数)二次多项式,x1是任意一个复数,则易知,ax2 bx c被一次多项式x-x1除得的余式是一个常数,而商是一个一次多项式,即有     

整式检测题

一、选择皿1.下列结论正确的是(). A一1是代数式也是整式’B劣丫的系数是7 C.0不是整式一鱼~的次3数是2.多项式2一—十6aI,一二心月 里匕一护是().- 3 10 A.二次五项式·B.四次五项式C.五次五项式D.五次四项式3.一3十扩 x兮 、乍是(). A.按二的降幕排列B.按x的升幂排列c.按y的降幕排列D.按y的升幂排列4.化简【x一(y一劝]一【(x一妇一刘的结果是(). A.寿B.ZzC一寿I)一2z 5.若A和B均为5次多项式.则A一B一定是(). A.10次多项式B.常数C.次数不高于5的整式D.次数低j几5的多项式,1 59、2‘砚卜‘.若一取卜丫与告二丫是同类项,则代数…     

多项式值的符号及应用

对于一个实系数一元n(自然数)次多项式F(x),要确定它的值的符号,步骤往往是:1°将这,F(x)在实数集内分解因式;2°用,F(x)的各实根分全体实数为若干个开区间;3°确定F(x)的每一个因式在每一个开区间内的符号,从而确定F(x)在每一个开区间内的符号。上述三个步骤,可以简化,这就是改用符     

巧拆项妙分解三次式

在因式分解时 ,有时可用拆补项为分组分解创造条件 ,但拆补项的方法很多 ,对一个具体题目 ,究竟如何分法 ,却一时不易看出 ,而对于用 1或 - 1代式中未知数时 ,其值为零的多项式 ,可以找出一个如何拆补项的规律 .例　分解因式 :( 1 ) x3 - 3 x2 4;( 2 ) 3 x3 2 x - 5.解 :(     

求“多项式数列”的和数问题

定义设P(x)为m次多项式,则以a_n=P(n)为项的数列称为m次多项式P(x)的数列。问题设a_n为m次多项式P(x)的数列,问如何求和sum from k=1 to n(a_k)=sum from k=1 to nP(K)。为此我们先给出引理1 设f(x)为m次多项式,则一阶差分Δf(x)=f(x+1)-f(x)为m-1次多项式,命题是显然成立的,故证略。引理2 若P(x)=a_mx~m+…+a_1x+x_0,α_m≠0为一m次多项式。则有f(x)=β_m+1x~(m+1)+…+β_1x,使得Δf(x)=P(x)。证明时只要算出Δf(x)=f(x+1)-     

“十字相乘法”分解因式的一点探讨

对某些数字系数的二次三项式(ax~2+bx+c)的因式分解,运用观察法,即“十字相乘法”便可完成。例如分解4x~2+15x+9,在草稿纸上写出,结果得4x~2+15x+9=(4x+3)(x+3)。这里我们提出问题是为什么不把4分成2×2,而分成4×1呢?不把9分成9×1,而分成3×3呢?在教学中若采用“十字相乘法”分解因式是“对角乘积之和等于一次项的系数”,也就是凭观察凑     

因式分解方法的综合应用

将多项式分解因式，往往不能单一地使用某种方法，而是综合应用多种基本方法进行分解．解题的一般思考途径是：１．先看多项式是否有公因式可提取，若有，则应先提取公因式；２．再看是否可用公式法或十字相乘法分解因式；３．若以上方法都不行，则应考虑用分组分解法分解因式：（１）是否能直接进行分组；（２）若不能直接分组，则应考虑拆项或添项分组，使得各组都有公因式可以提取，或可用公式法、十字相乘法进行分解．下面举例说明因式分解方法的综合应用．例１分解因式：（１）（ｘ－ｙ）２一４ｚ（ｙ－ｘ）＋４z２；（２）-1/2x3＋xｙ…     

“和积公式”及其巧用

利用多项式的乘法法则很容易导出公式: (x+a)(x+b)=x2+(a+6)x+ab 它在多项式的乘法中,有着广泛的应用,由于公式中一次项系数为和的形式,常数项为积的形式,故称之为“和积公式”。     

待定系数法分解因式

待定系数法是一种十分重要的数学方法,具有广泛的应用.运用待定系数法分解因式是根据两个多项式相等则它们同类项的对应系数相等的原理.分解时,先假定某个多项式已经分解为含有字母系数的两个或两个以上的因式,再利用上述原理确定待定系数. 例l分解因式2尹一7xy+3犷十4x十3y一6. 解·:首项2尹可分解为2二·。 :.设原式一(2二十aly十::)(x+a。夕十。:) =2了2+(Za,+a,)却十alaZ少2十(2c2+c,)了 十(二;。:+山c;)少十c,c,. 比较等式两边多项式对应项的系数,得 f Za,+al-一7, {口la,一3, 一芍Zc,+c;一4,解得或 …rl‘2一,_ ‘“l‘2,1~“2‘l一…