如何求解“是否存在”型题

存在性问题是指判断满足某种条件下的结论是否存在的数学问题。解决这类问题的方法有两种,一种是具体找出满足条件的数学对象;另一种是假定其存在,通过推理导致矛盾,从而判断所讨论的数学对象不存在,现举例如下,供同学们参考。例1　已知抛物线y=x2-5mx+4m2(m为常数)(1)求证:此抛物线与x轴一定有交点;(2)是否存在正数m,使已知抛物线与x轴两个交点的距离等于6m-1? 若存在,求出m的值,若不存在,说明理由。证明(1):∵△=b2-4ac=(-5m)2-4×1×4m2=25m2-16m2=9m2≥0 　　　　∴此抛物线与x轴一定有交点。(2)假设存在正数m,使已知抛物线与x轴两个交…     

二次函数问题错解例析

二次函数问题一直都是中考的重点.这类问题包含的知识量大,综合性强,题型灵活多样.很多同学在解题时容易因概念模糊、知识掌握不够牢固、粗心大意忽视隐含条件等原因出错.因此,解题时一定要认真审题、仔细分析、周密思考、充分挖掘隐含条件,避免出现错解.现略举几例分析如下.例1已知抛物线y=(m 3)x2-m x 1与x轴有交点,试求m的取值范围.错解:因为抛物线y=(m 3)x2-m x 1与x轴有交点,所以Δ=(-m)2-4(m 3)≥0,即m2-4m-12≥0,解得m≤-2或m≥6.故m的取值范围为m≤-2或m≥6.分析:m的取值范围应满足两个条件:①抛物线与x轴有交点,即一元二次方程(m 3…     

判别式与韦达定理的应用

一元二次方程的根的判别式和韦达定理(根与系数关系)在解题中有广泛的应用,近年来中考中屡屡以压轴题形式出现,现举例说明·例1(四川省)已知关于x的方程x2-2(m+1)x+m2-2m-3=0,①的两个不相等实数根中有一个根为0,是否存在实数k,使关于x的方程x2-(k-m)x-k-m2+5m-2=0,②的两个实数根x1、x2之差的绝对值为1?若存在,求出k的值;若不存在,请说明理由·解:因为方程①有两个不等实根,所以Δ=|-2(m+1)|2-4(m2-2m-3)=16m+16>0,所以m>-1·又因为方程①有一根为0,所以m2-2m-3=0,即(m-3)(m+1)=0·解得m1=-1,m2=3·又因为m>-1,所以m1=-1应舍去,所以m=3·当…     

1988年中考数学试题选登(二次函数部分)

1、已知抛物线y=x~2-（m-3）x-m。（1）试证：不论m为何值，抛物线与x轴总有两个交点；（2）试求，当m为何值时，抛物线与x轴的两个交点的距离等于3；（3）用反证法证明；无论m为何值，抛物线与x轴的两个交点不可能都落在x轴的正半轴上。2、已知二次函数y=ax~2+bx+c（a＞0）的图象经过 M（1-2~(1/2)，0）、N（1+2~(1/2)，0）、p（0，K）三点。（1）如果△MNP是直角三角形，且∠P=90°，试确定 a、b、c的值；（2）如果△MNP是钝角三角形，且∠P是钝角，     

不应忽略的图形条件

题目　如图 1,已知抛物线y =2x2 -4x +m与x轴交于不同的两点A、B ,其顶点是C ,点D是抛物线的对称轴与x轴的交点 .( 1)求实数m的取值范围 ;( 2 )求顶点C的坐标和线段AB的长度(用含m的式子表示 ) ;( 3 )若直线y =2x +1分别交x轴、y轴于点E、F ,问△ABC与△EOF是否有可能全等 ?如有可能 ,请证明 ;如不可能 ,请说明理由 .( 2 0 0 1,上海市中考题 )错解 :( 1)因抛物线y =2x2 -4x +m与x轴交于不同的两个点A、B ,则关于x的方程 2x2 -4x +m =0有两个不相等的实数根 .所以Δ =( -4 ) 2 -4·2m =16-8m >0 .解得m <2 .( 2 )、( 3 )略 .分析 :由…     

妙用抛物线上定点位置解题

通常要证明:无论m为何实数,抛物线y=x~2-mx m-2与x轴必有两交点.只要证明判别式△=(-m)~2-4(m-2)>0.但观察发现:当x=1时y的值与m无关且为-1,即无数条抛物线过第四象限的定点(1,-1),又知此抛物线开口向上,因此它必与x轴有两交点.这就应用了抛物线上存在着定点这一特征而觅得解题捷径.下面再请看:     

例说探索性问题的常用解法

题目将抛物线C1:y=-3^1/2x2+3^1/2沿x轴翻折,得抛物线C2,如图1所示.（1）请直接写出抛物线C2的表达式.（2）现将抛物线C1向左平移m（m>0）个单位长度,平移后得到的新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到     

初中数学解题中常见错误分析

在中考复习中,注意某些公式、法则的适用范围以及它的限制条件,是很有必要的.在本文中,我们一起探讨数学中考中容易失分的几个问题.希望能引起同学们的重视,避免摔倒在别人多次绊倒的地方.一、忽视根的判别式例1设x1,x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个根.当m为何值时,x12+x22有最小值?求出这个最小值.错解:已知方程的两根是x1,x2,∴x1+x2=2m,x1·x2=2m2+3m-22 .∴x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(2m)2-2×2m2+3m-22=2m2-3m+2=2(m-34)2+78.(1)∴当m=34时,x12+x22有最小值78.分析:∵x1,x2是原方程的两实根,∴Δ=(-4m)2-4×2(2m2+3m-2)≥0.解得:m≤23.…     

有关一元二次方程根的中考题归类举例

全国各地中考涉及一元二次方程ax~2 bx c=0（a≠0）两根x_1、x_2的综合试题屡见不鲜，大凡解这类问题往往用到求根公式、根的判别式、根与系数关系，根的意义等知识．现筛选各地中考题中常见的问题，分六个方面归类解析．一、确定参数值（或范围）1．含有一个参数．例1已知：抛物线y＝（m-1）x~2 (m-2）x-1，（m为实数）（1）当m为何值时，抛物线与x轴有两个交点？（2）若关于x的方程（m-l）x~2 （m-2）x-1=0的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求m的取值范围．（3）如果抛物线与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于C点，且△ABC的面积等于2…     

二次函数中的多解与漏解

在学习二次函数时,由于概念不清、忽视条件(包括隐含条件)、考虑不周、审题不严等方面的原因,在解题中易产生多解与漏解的现象,现举数例.例1(2004年巴中市)抛物线y=mx2-3x+3m+m2经过原点,则m=.错解:由题设可得3m+m2=0,解得m=0或m=-3.评析:当m=0时,函数为一次函数,应将m=0舍去,从而m=-3.例2(2005年东台市)已知二次函数y=(m+2)x2+6x+m2-5与y轴交于点A(0,4),且函数有最大值,则m=.错解:由题意可得m2-5=4,m=±3.评析:因函数有最大值,则m+2<0,所以m<-2,应将m=3舍去,从而m=-3.例3(2004年北流市)已知抛物线y=x2-(k-1)x-3k-2与x轴交于A(x1,0),B(x2,…     

Δ~(1/Δ)/|a|在二次函数问题中的应用

如果抛物线y=ax~2 bx c与x轴有两个交点,那么方程ax~2 bx c=0有不相等的两实根,反之亦然,此时 ∵方程的两根为: ∴抛物线y=ax~2 bx c与x轴的两个交点A、B之间的距离为: 如果把作为一个公式来应用,那么对解决某些有关二次函数的问题就显得简便多了。 一、求二次函数的解析式 例1,已知对称轴与y轴平行的抛物线和y轴交点到原点的距离等于6,与x轴两交点的距离等于2,并且顶点在直线x y=0上,求二次函数的解析式。 解:设y=ax~2 bx c, 则顶点为 根据题意得: 解得: ∴所求解析式为: y=2x~2-8x 6或y=-2x~2-8x-6。 例2,二次函数y=ax~2 bx c在x=2时,它的最大值是16,且图象与x轴的两个交点间的距离是8,术该二     

确定方程中参系数的方法

一、由方程的定义确定参数例1若(m2-m-2)x2+mx+3=0是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是().(A)m≠-1;(B)m≠2;(C)m≠-1且m≠2;(D)一切实数.解:由一元二次方程的定义,得m2-m-2≠0,∴(m-2)(m+1)≠0,∴m≠2且m≠-1.故选(C).二、由方程根的定义确定参数例2方程x2-12x-m=0的一个根是2,那么m的值是.解:由方程根的定义,把x=2代入方程,得22-12×2-m=0,解得m=-20.三、由方程根的情况确定参数例3已知关于x的一元二次方程(1-2k)x2-2k+1√x-1=0有两个不相等的实数根,求k的取值范围.解:∵方程有两个不相等的实数根,∴△=(-2k+1√)2-4(1-2k)×(-1)=-4k…     

要注意函数的次数

在有关函数的题目中,函数的次数在已知函数中没有直接标明,需要分类讨论,否则导致错解.题目:已知函数y=（m-2）x2-2x 1与x轴有交点.则m的取值范围是（）.（A）m<3（B）m<3且m≠2（C）m≤3（D）m≤3且m≠2错解:△=4-4（m-2）≥0.     

一类区间上参数取值问题的解法

含参数的一次函数、二次函数在某区间上根的问题,是初中学习中综合性较强的内容.此类题目的解答一是有其特殊的方法,另外如果不填容易出现错误.现举例如下:例1已知函数f(x)=3ax-2a+1在区间[-1,1]上存在x0,使f(x0)=0,求实数a的取值范围.分析易知f(x)的图象在区间[-1,1]上为一条线段,且这条线段与x轴有交点.应该满足f(-1)·f(1)≤0,即(-5a+1)(a+1)≤0,解得a≤-1或a≥51.例2已知方程x2+(m-2)x+2m-1=0有具只有一个实根在(0,1)内,求实数m的取值范围.分析令f(x)=x2+(m-2)x+2m-1=0,图象为开口向上的抛物线,要使f(x)=0有具只有一个根在区间(0,1)内,…     

“判别式”在解题中的应用

实系数一元二次方程ax~2+bx+c=0(其中a≠0)的判别式Δ=b~2-4ac,与方程的根,有下列关系存在: >0时,方程有两个不等的实根; Δ=b~2-4ac =0时,方程有两个相等的实根; <0时,方程没有实根。从几何意义上来看,二次函数y=ax~2+bx+c(其中a≠0)的图象是一条抛物线,也有下列关系存在: >0时,抛物线与x轴有两个交点(相交); Δ=b~2-4ac =0时,抛物线与x轴有一个交点(相切); <0时,抛物线与x轴没有交点(相离)。     

a、b、c的符号与抛物线

我们知道,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象叫做抛物线,它的顶点坐标是(-2ba,4ac-b24a),对称轴是平行于y轴的直线x=-2ba·而a、b、c的符号与抛物线在坐标系中的位置关系有以下三条规律:1·a的符号与抛物线开口方向的关系:(1)a>0抛物线开口向上;(2)a<0抛物线开口向下·2·a、b的符号与抛物线的对称轴的位置的关系:(1)ab>0对称轴位于原点左侧;(2)ab<0对称轴位于原点右侧;(3)b=0对称轴是y轴(直线x=0)·3·c的符号与抛物线和y轴交点的位置的关系:(1)c>0抛物线和y轴的正半轴相交;(2)c<0抛物线和y轴的负半轴相交;(3)c=0抛物线和y轴的交点就是顶点·…     

与初三同学谈一元二次方程的应用

一元二次方程是初中数学的重要内容之一 ,以一元二次方程知识为背景的问题是历年中考的热门试题 .这里与同学们交流一下如何恰当地构造一元二次方程 ,利用根与系数的关系或判别式解题 .一、解不等式问题例 1　已知一元二次方程 2x2 -2x + 3m-1 =0有两个实数根x1 、x2 ,且它们满足不等式 x1 x2x1 +x2 -4 <1 ,求实数m的取值范围 .解　由题意得 :x1 +x2 =1 ,x1 x2 =3m -12 ,代入上式得3m-121 -4 <1 ,∴m >-53.又由Δ≥ 0可得4-4 × 2 ( 3m -1 ) ≥ 0 ,∴m ≤ 12 .∴m的取值范围是 -53相似文献   

一道中考压轴题的解法探讨

<正>一、试题呈现如图1,经过点A(0,-4)的抛物线y=1/2x2+bx+c与x轴相交于B(-2,0),C两点,O为坐标原点.(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线y=1/2x2+bx+c向上平移72个单位长度,再向左平移m(m>0)个单位长度得到新抛物线,若新抛物线的顶点P在ABC内,求m的取值范围;     

用一个公式求二次函数的解析式

用设二次函数y=ax2 bx c的图象与x轴的两个交点为A和B,则两交点的横坐标分别是方程ax2 bx c=0的两个根x1、x2,易求得线段A B=∣x1-x2∣=(x1 x2)姨2-4x1x2=(-ba)2-4ca姨=姨b2-4ac∣a∣.若已知或易求得二次函数的图象与x轴的两个交点之间的距离,则可以用这个公式来求二次函数的解析式.请看下面几道例题.例1以(1,2)为顶点的抛物线与x轴交于A、B两点,与y轴交于点M.已知A B=4,求这条抛物线的解析式.解:因为抛物线的顶点为(1,2),故设这条抛物线的解析式为y=a(x-1)2 2=ax2-2ax a 2.设A、B两点的坐标分别为(x1,0)、(x2,0),则A B=4a2-4a(a 2)姨…     

图象法解一元二次方程的一点补充

在目前的中学数学课本中,用图象法求一元二次方程 ax~2+bx+c=0(a≠0)的解,大多采用视抛物线 y=ax~2+bx+c 与 x 轴的位置关系这一种方法,(另外还有好几种).1°若抛物线与 x 轴相交,则对应的方程有相异的两个实数根.2°若抛物线与 x 轴相切,则对应的方程有相等的两个实数根(重根).3°若抛物线与 x 轴相离,则对应的方程无实数根.