数学无穷思想的发展历程

无穷作为一个极富迷人魅力的词汇,长期深深激动着人们的心灵。彻底弄清这一概念的实质成为维护人类智力尊严的一种需要。而数学是“研究无限的学科”,因此数学就责无旁贷地担当起征服无穷的重任。我们在本文中将简要介绍一下数学中无穷思想发展的历程。光辉的起点：数学无穷发展的萌芽时期早在远古时代,无限的概念就比其它任何概念都激动着人们的感情,而且远在两千年以前,人们就已经产生了对数学无穷的萌芽认识。在我国,著名的《庄子》一书中有言：“一     

对中学生数学"无限"观念的教育庶谈

中学数学教育教学务必要重视学生对“无限”的认识,思考如何在教学中结合教材内容,实施数学“无限”思想的教育.中学数学教学中,教师应让学生了解数学领域中“无穷”概念的基本类型;让学生了解数学上塑造“无穷”的基本方式;让学生搞清“数学中的无穷与现实中的无穷的区别,‘任意大’与无穷大、‘任意小’与无穷小,点与线的关系,无穷大之间的层次有别,有限与无限的辩证关系”等关系.     

无穷性的悖论与公理集合论思想述略

康托尔首次引进无穷集合的概念,深刻揭示了无穷的本质特性,从根本上改造了数学的结构,促进了数学新分支的建立和发展。罗素悖论的出现表明集合论是有漏洞的,集合论产生悖论的根源在于集合定义中的自我指称、否定性概念以及与总体、无限的关系。公理化集合论的构建,为数学基础开辟了一个全新的平台。通过集合论的公理化,降低了悖论对数学的威胁。     

现代数学基础理论中的一个不可解危机

从新构建的基础理论学的角度,讨论同时存在于现有集合论中两种性质上截然不同的“无穷集合”概念——潜无穷式的与实无穷式的无穷集合．指出现有数学中通常所使用的“无穷”概念极端的模糊不清,一方面混淆了原来的“有穷”概念,另一方面使人们无法理解与解析数学中与“无穷”相关的许多数量形式的性质,因此导致许多错误的数学行为．数学基础理论中这个致命缺陷是导致第二次与第三次数学危机的最根本原因．因此,只有对传统的“无穷”概念进行修正,构建新的“有穷-无穷”理论体系及相关的数量体系才是彻底解决第二次与第三次数学危机的惟一途径．     

无定义的实无穷概念是第三次数学危机的真正根源

从新构建的基础理论学的角度，以全新的基础理论学的方法，讨论同时存在于现有集合论中两种性质上截然不同的“无穷集合”概念：潜无穷式的与实无穷式的无穷集合．指出现有集合论中通常所使用的“无穷”概念极端的模糊不清，其直接的后果就是：一方面混淆了原来的“有穷”概念，另一方面使人们无法理解与解析数学中与“无穷”相关的许多数量形式的性质，因此导致许多错误的数学行为．集合论基础理论中这个致命缺陷是导致第三次数学危机的最根本原因．得出明确的结论：迄今为止，所有与无穷小、无穷大相关的问题与悖论在现存的含有潜无穷与实无穷概念的无穷理论体系中是不可解的，只有对现有的“无穷”概念进行修正，构建新的“有穷-无穷”理论体系及相关的数量体系才是构建健康的无穷集合论的唯一途径．     

中西数学中有关无穷思想的比较与分析

无穷又称“无限”,是数学中的重要研究对象,在中国古代人们只重视无穷的实用价值,而在西方人们更加注重无穷在逻辑上的严密性,文中阐述了造成这种现象的原因主要有两个,一是中西古代数学在民族价值观中的地位不同,二是社会的精英人才对数学的关注程度不同．并对以上两点在数学文化史下进行了探讨．     

先秦数学之无穷思想

先秦时期是中国文化发展的第一个高峰期,在这个时期,百家争呜,学术思想空前活跃,数学的发展也达到了第一个高潮。无限思想在此期间开始萌芽,产生,并且在很多方面已经有了应用。无穷的空间观,思辨中的无穷思想等都是具体体现。     

浅谈数学中的无限思想

无限是数学上最重要的研究对象，也是哲学上最重要的范畴之一。数学史上的三次危机都是由于对无限本身的矛盾认识而引起的：空间概念的发展也经历了从有限到无限的过程；现代数学基础的三大学派的无穷观也各不相同。总之，人们对“无限”的认识也是一个无限的过程。     

数学无穷思想的发展历程(续二)

柳暗花明又一村:无穷小重返数学舞台 17世纪下半叶,牛顿、莱布尼兹创立的微积分学,用了无穷小量的概念,但因对其解释含糊不清,出现了贝克莱悖论,导致数学史上的“第二次数学危机”。19世纪,柯西、维尔斯特拉期等人引入极限论、实数论,使微积分理论严格化,从而避免了贝克莱悖论,圆满解决了第二次数学危机。然而与此同时,极限方法代替了无限小量方法。无穷小量作为“消失了量的幽魂”被排斥在数学殿堂之外了。     

人类科学中现有经典极限论的终结（I）

深入分析了现有经典极限论中的两个重大缺陷及其对于数论研究、级数理论研究和第二次数学危机研究的影响.得到了“是经典无穷观的本质性缺陷导致了经典极限论中完全相同的本质性缺陷;以经典无穷理论体系及相关数谱为基础的现有极限论根本就没有能力解决现有人类科学中与‘无穷小’、‘无穷大’概念相关的所有悖论与数学难题”的结论.介绍了经典极限论的本质性缺陷,宣告经典极限论的终结.     

试论数学中的“直觉”

数学是讲求严密逻辑性的基础科学,数学定理、公式都是以概念、判断、推理的形式进行的,但是在强调培养逻辑思维能力的同时,千万不能忽视培养数学直觉思维能力。这种直觉思维是建立在想象、猜测的基础之上的,想象力在数学发展史上功不可没,在文学、艺术等领域,人们经常对头脑中已有的表象进行加工改造,创造出各种生动丰富的文学、艺术新形象。在数学学习中,想象力的运用有着独到之处,它包括数字的无穷大小、空间的无限延伸、图形的无数变化等,只有插上想象的翅膀,才能在数学王国里感受无穷的奥妙。这种想象力又不同于胡思乱想,它不是凭空产生…     

自然数与无限性思想的历史透视

无穷一直是诗人、艺术家、哲学家、神学家、科学家关注的焦点,它有着极为丰富的内涵,在不同的思想领域中有着不同的表现形式.自然数引出的无限多、无穷大等概念,打开了人类认识无限性的大门.对自然数序列"不可穷尽"的不同理解,产生了"实无限"与"潜无限"的数学哲学争论.     

帮你学好“勾股定理”

【数学名言】 没有任何问题可以像“无穷”那样深深的触动人的情感，很少有别的观念能像“无穷”那样激励理智产生富有成果的思想，然而也没有任何其他的概念能像“无穷”那样需要加以阐明。——希尔伯特     

从数学思想方法的角度审视和加工“实数”

与“旧”教材对比,“实数”一章在北师版新教材中呈现出一些新的变化:增加“通过估算,比较两数的大小或检验计算结果的合理性;利用计算器探索无理数是无限不循环小数或探求数学规律的问题”,降低了“分母有理化”的要求,保留了“在数轴上作无理数对应的点”,删除了“二次根式的概念”.在遵循新课标、新教材教学的同时,产生了系列的困惑:如利用计算器探索无理数是无限不循环小数或探求数学规律的问题是否仅仅发展学生的合情推理能力?降低了“分母有理化”的要求,删除了“二次根式的概念”,是基于教学要求过高的考虑吗?对于“在数轴上作无理数…     

数学的无限与哲学的无限

无限的问题在数学的研究中与哲学的研究中都占有十分重要的地位,在一定意义上,数学可称为“无限的科学”。早在古希腊时代,亚里士多德就已明确指出:“既然研究自然是要研究空间的量、运动和时间的,其中每一个必然不是无限的就是有限的,因此,所有有名的哲学家,凡是接触过这门自然哲学的都讨论过有关无限的问题。”(《物理学》,商务印书馆,1982年75页)由于数学与哲学是从不同角度从事客观规律的研究的,关于无限的     

形如函数的精彩人生

巴斯光年在动画片《玩具总动员》中的口头禅“超越无穷”是近代电影史上最具持续影响力的誓句。其魅力在于它概括了巴斯光年积极却又模糊不清的思考方式．无穷的全部意义不正是“你无法超越无限,但你对它的看法可以实现超越”吗？     

人类科学中现有经典极限论的终结(Ⅰ)

深入分析了现有经典极限论中的两个重大缺陷及其对于数论研究、级数理论研究和第二次数学危机研究的影响.得到了"是经典无穷观的本质性缺陷导致了经典极限论中完全相同的本质性缺陷;以经典无穷理论体系及相关数谱为基础的现有极限论根本就没有能力解决现有人类科学中与‘无穷小'、‘无穷大'概念相关的所有悖论与数学难题"的结论.介绍了经典极限论的本质性缺陷,宣告经典极限论的终结.     

古诗词中的加减乘除

加减乘除，和差积商，本是枯燥的数学概念，也是非常理性的．但经过诗人的匠心独运，在诗词中妙用，就变得很有感情富有生命力，从而使诗歌韵味无穷，诗趣无限。     

无穷基数和连续统假设浅谈

在数学的发展过程中,人们很早就认识到有穷和无穷具有质的不同.但在相当长的时间里,数学家们并未意识到“无穷”之间的不同.康托尔(Cantor)在1874年发表了论文《论所有实代数数的集合的一个性质》,文中证明了所有实代数数的集合是可数的,而所有实数是不可数的.说明无穷之间也有差别,既存在可数无穷,也存在那种象所有实数集那样不可数的具有“连续统的势”的无穷.     

浅析大学生数学思维能力的培养

教育部高等学校数学与统计学教学指导委员会课题组在《数学学科专业发展战略研究报告》中提出:“对大学生的数学教育,是所有专业教育和文化教育中非常基础和非常重要的一个方面”,而培养“数学方式的理性思维”将对大学生产生巨大的作用,对所有的大学生都“必不可少”。作为本科院校的数学教师,我们所面对的教学对象是即将走向工作岗位的大学生,培养他们的数学思维能力就显得更加重要和迫切。强调“数学地思维”也是为了体现这样一个思想:数学不应该被看成单纯的工具,它对思维训练也有着十分重要的意义。一、数学思维的概念及结构分析数学思…