一个不等式的应用

高中咤代数》(甲种本)第二册P93例10用数学归纳法证明了著名的伯努利不等式:者劣>一1,_巳、产O,叹N,且。》2,则 (1+x)伦卜l牛,,劣恨未介绍它的应用.现举几例,供参考。 例l设试>1,成万,n>2.求证 证式等价于刀‘一1<~罕一.令刀云一:二二,则。一(1+二)”.所以原不等__/(1十劣)”一1环久、—. 几而坦下犷曰>旦土竺2二l 介朴所以原不等式成立. 例2数列: (1)i正胡下面两个数列分别是递增数列和递减{(‘月一告)”{;‘2,{(,+韵““}·证(‘,令二一恭‘”》2).…(卜箭)”>1十二(一洽),(l十翻‘(卜分>卜告,(1+决)”>(着)卜‘一(,+么)”一‘故数列{(l…     

龙岩市2003年中考数学模拟试卷

一、填空题(共15小题,每小题3分,计45分) 1.-2的绝对值是____。2.用“>,=.<”号填空,3。14-π____0.     

“不等式与不等式组”和“实数”易错题选析

【例1】用不等式表示:(1)x的52与4的差不小于2;(2)b的3倍与5的和是非负数.【错解】(1)52x-4>2;(2)3b+5>0.【剖析】将文字语言转换成数学语言,是学习数学的一项基本功.上述解答错误的原因是不理解文字语言的含义,从而不能正确地把“文字语言转化为数学语言”.实际上“不小于”就是“大于或等于”,而“非负数”则包括了“正数和零”.【正解】(1)52x-4≥2;(2)3b+5≥0.【例2】判断下列说法是否正确:(1)x=0是不等式x+2<3的解;(2)不等式3x-6>0的解集是x=3.【错解】(1)正确.因为x=0满足不等式x+2<3;(2)正确.因为x=3满足不等式3x-6>0.【剖析】解答此…     

“一元一次不等式(组)”学习问答

1.在理解不等式的性质时要注意些什么问题? 答:理解性质1时,要注意:(1)类似于等式的性质,“不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式”.(2)“不等号的方向不变”是指新的不等式与原不等式是同向不等式,即原不等式如果是“>”号(或“<”号),那么它的两边都加上(或减去)一个数后,所得的不等式     

错在哪里?

冷(江或江用县中学王渔生来稿)题.解不等式亿丽二飞一亿歹不亏>l解:在{忿色。吟!>2的条件下,4一号旦一号一‘·(一邻一4一号5‘·鲁一甲<“, 5 ina一sin日2,.故有边为正,再平方,得戈2侧2娜+:80>。,J‘》2【x“一24戈+80>02《二<4或x>20。解答错‘了!错在哪里?对不等式了石不一了又一干污>1两边平以后所得不等式已和原不等式不等价。正确解法:先移项得 侧牙不几>1+侧牙干5。“。·勿.”方,1一2 一 一i在x>2的条件下两边平方并整理得 戈一10>2、/又.不亏显然戈>10。 两边再平方…     

不等式的基本性质测试题

，只时间:4s她’‘分:一、坡空题(每小题3分，共21分) 1.已知“>b，用“>’’、‘·)”、“<”或“簇”号填空.并在括号内写出该不等式成立的依据、，J‘、.1、.J护r 1.、.了.、(l)a+6_b+6; (2)一7a_一7b;甲份，、2 2. tj)—口—D; 3—3个数即可) 4.若x0，那么a+l与a的大小关系是______.‘.已知三角形的两边长分别为6和8，则第三边长x的取值范围是，.观察图1，把香蕉、桃子、苹果按质量从大到小进行排列:二、选择题(每小题3分，共21分) 8.在下列各式中，恒成立的是A .a-3>a B.a--2>a-3 c .2…     

高二数学单元测试

、选择题 (本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共60分 )1.若ａ <ｂ <0 ,则下列不等式中不能成立的是 (　　 )　　 (Ａ)ａ2 >ａｂ　　　　　 (Ｂ)ａ2 >ｂ2　　 (Ｃ) 1ａ >1ｂ (Ｄ) 1ａ -ｂ>1ａ2 .设ａ、ｂ、ｃ、ｄ∈Ｒ ,则下列判断正确的是(　　 )　　 (Ａ)“ａ >0”是“ａ2 >ａ”的必要不充分条件　　 (Ｂ)“1ａ <1”是“ａ >1”的充分不必要条件　　 (Ｃ)“ａ >ｃ且ｂ>ｄ”是“ａ +ｂ>ｃ +ｄ”的充要条件　　 (Ｄ)“ａ>ｂ”是“ａｃ2 >ｂｃ2 ”的必要不充分条件3 .若 -π2 <α<β <π2 ,则 2α -β的取值范围是 (　　 )　　 (Ａ) -32 π ,32 π…     

剖析错误解答 用好转化思想

贵刊 2 0 0 0年第 10期《运用数学思想方法解含参不等式》一文中 ,例 3的解答是错误的 ,现将“例 3”及“解答”与“评注”抄录如下 :例 3　若 a∈ [-1,3 ] ,解不等式 x2 -ax>3 x -2 a +1解 :原不等式变形为 ( 2 -x) a +x2 -3 x-1>0构造函数 f ( a) =( 2 -x) a +x2 -3 x -1,当 x =2时 ,不等式显然不成立 .由 a∈ [-1,3 ] ,且 f ( a) >0 ,知f ( -1) =x2 -2 x -3 >0f ( 3 ) =x2 -6x +5 >0解之得 x >5或 x <-1.评注 :本例以辩证转化思想为指导 ,把参变元 a视为主元 ,将变元 x看成常量 ,构造关于参数的一次函数 ,利用单调性求解 ,此法极其巧思 .…     

巧题·导思

在教学“米和米以内长度单位的换算”后,我出示了下面一道题目: 20厘米____2 师:请您在横线上填“>”、“<”或“=” 生1:横线上应填“>”号,因为20>2。 生2:横线上应填“=”号,因为20厘米=2分米。     

江苏省苏州市第一中学2000～2001学年第一学期初一年级数学期中测试试卷

一、填空(1分只25~25分)1.用代数式表示:(1)a的2倍与b的一半的差;‘2)设甲数为二,乙数比甲数的含大4,贝,乙数为(3)一个两位数,个位数字为a,十位数字比个位数字大2,则这个两位数是2.代数式x“十少 3的意义是若二的相反数是音的倒数,则士一_.绝对值等于2的数是—,平方等于器的数是—,立方等于本身的数是5.根据图一一L一一一上一-一一一一一习匕一一一习匕一一一 c bo·a,用“>”,“<”,“一”填空: 6.下列各数:集合的数是O,‘·b·‘0.{一3.5},一22,(一l)’00,(一2)“,属于整数。一+),a+砚,属于负数集合的数是,按从小到大的顺序,用“<”号连…     

反比例函数中考题精选

一、填空题1 已知函数ｙ =ｋｘ 的图象经过点 (2 ,3 ) ,则ｋ =. (2 0 0 1年江苏省徐州市中考题 )2 点Ａ(ａ ,ｂ)、Ｂ(ａ -1,ｃ)均在函数ｙ =1ｘ的图象上 .若ａ <0 ,则ｂｃ .(填“ >”、“ <”或“ =”)(2 0 0 1年河北省中考题 )3 某函数具有下列两条性质 :(1)图象关于原点Ｏ成中心对称 ;(2 )当ｘ >0时 ,函数值ｙ随自变量ｘ的增大而减小 .请举一例 (用解析式表示 ) :. (2 0 0 1年江苏省连云港市中考题 )4 已知反比例函数ｙ =ｋｘ 与直线ｙ =2ｘ和ｙ =ｘ + 1的图象过同一点 ,则当ｘ >0时 ,这个反比例函数的函数值ｙ随ｘ的增大而 .(填“增大…     

初一数学测试题(人教版)

A卷一、填空题 (每小题 2分 ,共 2 0分 )1.请你任意写出一个含有数字 2 0 0 4的二元一次方程 .2 .自从扫描隧道显微镜发明后 ,世界上便诞生了一门新的科学 ,这就是“纳米技术” ,96个纳米长度为 0 .0 0 0 0 0 0 0 96米 ,用科学记数法表示为 .3 .已知 x=-2y=1是方程 2ax-5 y =3的一个解 ,则a =.4.若a”号填空 ,并注明理由的名称 :( 1)a -6b -6,理由是;( 2 ) -6a -6b ,理由是.5 .不等式组 3x +2 >2 (x -1)4x-3≤ 3x -2 的解集是.( 2 0 0 3年天津市中考题 )6.÷ ( -14 x2 y) =-2x2 y2 +2 0xz-45 .7.( -2 0 0 5 ) 0 -( -0 .2 …     

智慧地图(一) “航天知识”篇

1.前苏联1957年2.尤里·阿列克谢耶维奇·加加林3.B4.尼尔·阿姆斯特朗“阿波罗11号”5.是6.辽宁省7.A8.“挑战者号”航天飞机9.A10.东方红1号智慧地图(一) “航天知识”篇     

数学奥林匹克高中训练题(47)

第一试 一、选择题(每小题6分,共36分) 1.若(1 .32)(1 3z)…(1 2 001x)的展开式中02的一次项系数为咒,则i”等于( ). (A)i (B)一i (C)1 (D)一1 2.已知不等式h。一2z 6k<0的解集为全体实数.则k的取值范围是( ). (胀>等或志<等 (叭<二譬 (c)志>一丛6 (I))是>等或是<一业6 3.数列lg 1 000,lg(1 000·COs{),lg(1 0【)(】‘∞s2号),…,lg(1 000。c。s”’号),…,当其前”项和最大时,咒的值是( ). (A)9(B)10(C)11(D)不存在 4.若动点P(32,Y)以等角速度r.O在单位圆上逆时针运动,则点Q(一2xy,Y。一z。)的运动方程是( ). (A)以角速度叫在单位圆…     

2006年11月号“数学创新与实践竞赛”参考答案

题1卫土里题2 3m.题3设等腰三角板的直角边长为a.如几图1，S，二364梦;如图2，凡~1 .57a2;如图3，凡“2.36矿.因51>凡>s2，故第一种情况面积最大. r(一一口一\、、、“_之辱{__、、、，I苦留I，图3、一\一户.今臼一︸\一︸图一匕:.--.:。如2006年11月号“数学创新与实践竞赛”参考答案~~     

七（上）数学期末自测题

同学们在考试中可以使用计算器 .一、填空题 (本大题共 1 4小题 ,每小题 2分 ,共 2 8分 .把答案填在题中横线上 )1 . - 2的倒数是　　　　 ,相反数是　　　　 .2 .计算 :( - 3) + ( - 5 ) =　　　　 ;( - 3)× ( - 5 ) =　　　　 .3.比较大小 (用“ >”或“ =”或“ <”号表示 ) :- 432 　　　　 + 432 ;- ( - 3.2 )　　　　 - | - 3.2 | .4.代数式a2 +ab与a2 -ab的和是　　　　　　　　 ,差是　　　　　　　　 .5 .正方体有　　　　条棱 ;若一个正方体所有棱的和是 36cm ,则这个正方体的体积是　　　　cm3.6.　　　　的表面(填几何体的名称…     

2003年高考数学试题(北京卷·理工农医类)

第Ⅰ卷 (选择题　共 50分 )一、选择题 :本大题共 1 0小题 ,每小题 5分 ,共 5 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1 .设集合A ={x|x2 -1 >0 },B ={x|log2 x >0 },则A∩B等于 (　　 ) .A .{x|x >1 }　　　B .{x|x >0 }C .{x|x <-1 }D .{x|x <-1或x >1 }2 .设 y1=40 9,y2 =80 4 8,y3=12- 1 5,则(　　 ) .A .y3>y1>y2 　　　B .y2 >y1>y3C .y1>y2 >y3　　　D .y1>y3>y23 .“cos2α =-32 ”是“α =kπ +5π1 2 ,k∈Z”的(　　 ) .A .必要非充分条件　　B .充分非必要条件C .充分必要条件D .既非充分又非必要…     

谈解决多元不等式问题的策略

解决多元不等式问题 ,往往需要灵活的变形、对问题的整体驾驭、解题方法的灵活选择 ,所以 ,师生对此普遍感到困难 .本文就解决多元不等式问题的常用策略作些梳理和探索 ,企图对于解决多元不等式这一问题有所帮助 .1　取等策略由等和不等的对立统一关系 ,借鉴处理等式的方法 ,以考虑不等式“取等号”条件 ,或利用同解不等式的关系 ,作为解决多元不等式问题的思考方向 ,就是我们所说的“取等策略”.例 1　已知 a >0 ,函数 f ( x) =ax -bx2 ,当 b >1时 ,证明 :对任意 x∈ [0 ,1] ,都有|f ( x) |≤ 1的充要条件是 b-1≤ a≤ 2 b .分析 :x∈ ( 0 …     

数学奥林匹克问题

本期问题 初79.(1)试证1998不能表示成任意多个连续奇数的和; (2)如果用“ ”,“-”号连接从1到1997这1997个数,则无论用多少个“-”号都不能使运算结果恰为1998; (3)如果用“ ”、“-”号连接从1到1999这1999个数,则最少用多少个“-”号可使结果恰为2000.     

凑配分裂 有效转化

利用数学归纳法来证明某些与自然数ｎ有关的不等式 ,证ｋ到 (ｋ 1)这一过程是许多同学感到困难的一步 .为此 ,笔者介绍一种“凑配分裂”的转化策略 ,以解决这一难点 .1　凑配从归纳假设ｎ=ｋ的不等式出发 ,凑配出待证ｎ=ｋ 1时的不等式的某一端 ,再结合不等式性质将问题有效转化 .例 1　 (《代数》课本下册 12 3页例 5)已知ｘ >- 1,且ｘ≠ 0 ,ｎ ∈Ｎ ,且ｎ≥ 2 ,求证 ( 1 ｘ) ｎ >1 ｎｘ .证明　 (ｉ)当ｎ=2时 ,左边 =( 1 ｘ) 2 =1 2ｘ ｘ2 ,右边 =1 2ｘ ,因为ｘ2 >0 ,所以原不等式成立 .(ｉｉ)假设不等式当ｎ =ｋ(ｋ≥ 2 )时成立 ,就是( …